Đề Thi Chọn Đội Tuyển TP HCM Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019-2020

1. a) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $$u_1 = -\frac{1}{3},\quad u_{n+1} = \frac{u_n+1}{\sqrt{u_n^2+1}},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n \to \infty$ và tìm giới hạn đó.
   b) Cho các số dương $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$. Chứng minh rằng $$4(1 - a)(1 - b) \geq (c + d)^2.$$
2. Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb R \to \mathbb R$ liên tục tại $0$ thoả mãn $$f (2018x ) + f (2019x ) = 2020x,\,\forall x \in \mathbb R.$$
3. Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn $O$, có trực tâm $H$ và $AB < AC$. Lấy điểm $T \ne A$ trên đường tròn $O$ sao cho $AT$ song song với $BC$. Giả sử $AH$ cắt $BC$ tại $K$ và $TH$ cắt $O$ tại điểm $D$ thuộc cung nhỏ $BC$. Gọi $L$ là trung điểm của $HT$.
   a) Chứng minh các điểm $A$, $L$, $O$, $K$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn.
   b) Gọi $P$ là giao điểm thứ hai của $AO$ với $O$. Đường thẳng đi qua $H$ và song song với $BC$ cắt đường thẳng $PD$ tại $X$. Chứng minh $XA$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$.
4. Cho đa thức hệ số thực $P( x )$ có bậc $2019$ và hệ số bậc cao nhất bằng $1$. Biết rằng $P( x )$ có đúng $2019$ nghiệm thực phân biệt không phải là số nguyên. Giả sử mỗi đa thức $P(2x^2 - 4x )$ và $P(4x - 2x^2 )$ đều có đúng $2692$ nghiệm thực phân biệt.
   a) Hỏi có bao nhiêu nghiệm của $P( x )$ thuộc khoảng $(−2; 2)$?
   b) Chứng minh rằng tồn tại ba đa thức cùng bậc $A( x )$, $B( x )$, $C ( x )$ có hệ số thực sao cho $$A( x ) B( x )C ( x ) = P( x ),\,\forall x \in \mathbb R,\quad B( x ) \ne A( x )C ( x ),\,\forall x \in (−1; 1).$$
5. a) Cho đa thức hai biến $P( x, y)$ với hệ số thực. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức một biến $S( x )$, $T ( x )$ với hệ số thực sao cho $$P( x, y) \equiv S( x )y + T ( x ) \pmod{x^2 + y^2 + 1}.$$ b) Tồn tại hay không một đa thức hai biến $P( x, y)$ với hệ số thực sao cho $P^2 ( x, y) + 1$ chia hết cho $x^2 + y^2 + 1$.
6. Với $n \geq 2$, hoán vị $( a_1 , a_2 ,\ldots , a_n )$ của $(1, 2, \ldots , n)$ được gọi là “chuẩn” nếu $a_{i+1} \geq a_i - 1$ với $i = 1, 2, \ldots, n - 1$. Tìm số các hoán vị “chuẩn”của $(1, 2, \ldots n)$.
7. Cho hai đường tròn $(O)$, $(O')$ cố định, cắt nhau tại hai điểm $B$, $C$ sao cho $O$, $O_0$ nằm cùng một phía đối với đường thẳng $BC$ (điểm $O'$ gần $BC$ hơn). Điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn không cân và các đoạn thẳng $AB$, $AC$ cắt $(O')$ lần lượt tại $F$, $E$. $BE$ cắt $CF$ tại $I$, $AI$ cắt $BC$ tại $D$, $IB$ cắt $DF$ tại $M$ và $IC$ cắt $DE$ tại $N$.
   a) Tia $O'I$ cắt đường tròn $(O)$ tại $R$. Chứng minh rằng $AR$, $MN$, $BC$ đồng quy.
   b) Chứng minh rằng khi $A$ thay đổi trên $(O)$ thì đường phân giác trong và đường cao qua đỉnh $I$ của tam giác $IMN$ lần lượt đi qua các điểm cố định.
   
8. Số nguyên dương $n$ được gọi là số “đẹp ”nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
• $n$ là số chính phương không chia hết cho $3$.
• Với mỗi ước $m \geq 15$ của $n$ thì $m + 15 = p^k$ với $p$ nguyên tố và $k \in \mathbb N$.
a) Chứng minh rằng nếu $n$ là số “đẹp ”và có ước nguyên tố lẻ $p$ thì $p = 7$.
b) Tìm tất cả các số “đẹp”(chú ý $n = 1$ là số “đẹp”).