Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Hải Dương Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2019-2020

1. a) Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $$f(f(x)-(x-y) f(y))=4 x-2(x-y) f(y),\,\forall x, y \in \mathbb{R}.$$ b) Cho số thực $a$ không âm và dãy $(u_{n})$ xác định như sau $$u_{0}=a, \quad u_{n+1}=\dfrac{1}{8} u_{n}^{2}+\dfrac{1}{4} u_{n}+1,\, \forall n \in \mathbb{N}.$$ Tìm $a$ để dãy $\left(u_{n}\right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
2. Cho một dãy gồm $100$ ô vuông. Trong mỗi ô vuông ta điền một trong bốn chữ số $2,0,1,9$. Hỏi có bao nhiêu cách điền sao cho tổng các số trong $100$ ô vuông là một số chia hết cho $4$.
3. Cho $ABC$ là tam giác nhọn $(A B < A C)$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $B C$, $C A$, $A B$. $A D$ cắt đường tròn $(I)$ tại $Q$ $(Q \neq D)$. Tiếp tuyến tai $Q$ của đường tròn $(I)$ cắt $E F$ tại $S$.
   a) Chứng minh bốn điểm $S$, $D$, $B$, $C$ thẳng hàng và theo thứ tự lập thành hàng điểm điều hoà.
   b) Goi $K$ là giao điểm của $E F$ và $D I$. $A K$ cắt $B C$ tai $M$. Kẻ $C H \perp A B$ $(H \in A B)$. Chứng minh $M H$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $S H D$. 
4. Cho dãy số ${ x_n }$ thỏa mãn $$x_1 = 2019, \quad x_{n+1} = 1 + \ln\frac{x_n(x_n^2+3)}{3x_n^2+1},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
5. a) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Xét đường tròn $(O')$ tiếp xúc với các cạnh $AB$, $AC$ lần lượt tại $P$, $Q$ và tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $S$. Gọi $D$ là giao điểm của $AS$ và $PQ$. Chứng minh rằng $\dfrac{BP}{CQ} = \dfrac{BS}{CS}$ và $\widehat{BDP} = \widehat{CDQ}$.
   b) Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $( I )$ và $D_1$, $E_1$ lần lượt là tiếp điểm của $( I )$ với các cạnh $BC$, $CA$. Lấy các điểm $D_2$, $E_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $BC$, $CA$ sao cho $BD_1 = CD_2$, $AE_1 = CE_2$. Gọi $P$ là giao điểm của $AD_2$ và $BE_2$. Gọi $Q$, $R$ là các giao điểm của $AD_2$ và $( I )$ ($Q$ nằm giữa $A$ và $R$). Chứng minh rằng $AQ = D_2 P$. 
6. Tìm các bộ số nguyên dương $( a, p, n)$ với $p$ nguyên tố thỏa mãn $$a^p + 1 = ( a +1)^n.$$
7. Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb R \to\mathbb R$ thoả mãn $$f ( x^2 + 2y f ( x )) + f (y^2 ) = f^2 ( x + y),\,\forall x, y \in \mathbb R.$$
8. Với một tập $X$, ta nói $X$ được phân hoạch thành các tập $X_1 , X_2 , \ldots , X_k$ nếu $\displaystyle X = \cup_{i=1}^{k}X_i$ và $X_i \cap X_j = \emptyset$, $\forall (i; j)$, $1 \leq i \ne j \leq k$. Với hai đoạn $AB$ và $CD$, ta gọi $AB$ cắt ngang $CD$ nếu tồn tại một điểm $I$ khác $A$, $B$, $C$ và $D$ mà $I$ thuộc cả hai đoạn $AB$ và $CD$. Cho $S$ là tập hợp tất cả các đoạn thẳng là các đường chéo của đa giác lồi $2019$ cạnh. Phân hoạch $S$ thành $k$ tập khác rỗng $S_1, S_2 , \ldots , S_k$ sao cho với mọi cặp chỉ số $(i; j)$, $1 \leq i$, $j \leq k$, $i \ne j$, tồn tại ít nhất một đoạn trong $S_i$ và một đoạn trong $S_j$ cắt ngang nhau. Tìm giá trị lớn nhất của $k$.