Sự Xác Định Lũy Thừa Với Số Mũ Vô Tỷ

• [message]
• Bài Toán. Cho $a$ là một số thực dương còn $\alpha$ là một số vô tỷ, giả sử có hai dãy số hữu tỷ cùng hội tụ về $\alpha$ là $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(t_n\right)_{n\in\mathbb N}$, xét hai dãy cho bởi sự gán trị\[{u_n} = {a^{{r_n}}},\quad {v_n} = {a^{{t_n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Chứng minh rằng, $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến một giới hạn.
• Lời Giải. Chú ý rằng, nếu bài toán vừa đưa ra được giải quyết, thì ta sẽ có được định nghĩa tốt cho $a^{\alpha}$. Theo đó thì, giá trị của $a^{\alpha}$ chính là kết quả giới hạn duy nhất mà các dãy $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng hội tụ đến. Giờ, ta sẽ xử lý bài toán kia.
  
  
  Với $a=1$, thì bài toán hết sức tầm thường, vì theo khái niệm về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ đều là các dãy hằng và cùng hội tụ đến $1$.
  
  
  Ta chỉ cần xét trường hợp $a>1$, bởi vì nếu đạt được điều đó, thì với $0<a<1$ ta xét $a’=\dfrac{1}{a}$, nhờ các tính chất giới hạn sẽ có điều cần chứng minh.
  
  
  Trước tiên, ta cần đến bổ đề sau đây.
  
  
  Bổ Đề. Cho một dãy số thực $\left(s_n\right)_{n\in\mathbb N^*}$, khi đó luôn tồn tại một dãy con $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ của nó là dãy số đơn điệu.
  
  
  Chứng Minh Bổ Đề. Ta gọi một số nguyên dương $n$ là “ngáo” nếu $s_n\ge s_m$ với mọi số nguyên dương $m$ thỏa mãn $m>n$. Gọi $\cal N$ là tập các số nguyên dương “ngáo”, xét hai trường hợp sau
  Nếu $\cal N$ là một tập hữu hạn, lúc đó ắt phải tồn tại $N$ đủ lớn để $n$ không là “ngáo” với mọi số nguyên dương $n\ge N$. Đặt $n_1=N$, khi đó tồn tại số nguyên dương $n_2>n_1$ sao cho $s_{n_2}>s_{n_1}$ do $n_1$ không “ngáo”. Lại có $n_2>N$, nên $n_2$ không “ngáo”, vì thế phải tồn tại số nguyên dương $n_3>n_2$ để $s_{n_3}>s_{n_2}$.. Cứ như vậy, sẽ tồn tại dãy tăng ngặt các số nguyên dương $\left(n_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ để với mọi số nguyên dương $k$ thì $n_k$ không “ngáo” và điều quan trọng nhất là $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N^*}$ là một dãy số tăng ngặt.
  Nếu $\cal N$ là một tập vô hạn, điều đó nghĩa là tồn tại một dãy tăng ngặt các số nguyên dương $\left(n_k\right)_{k\in\mathbb N^*}$ để với mọi số nguyên dương $k$ thì $n_k$ là “ngáo”. Điều này sẽ dẫn đến là dãy con $\left(s_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N^*}$ phải là một dãy đơn điệu không tăng do bản chất các số “ngáo”. Ta có được điều cần chứng minh cho bổ đề, từ hai trường hợp đã xét.
  
  
  Quay là bài toán đặt ra, theo bổ đề ta trích được từ $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ dãy con $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ đơn điệu. Do $a>1$ và tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cũng là dãy đơn điệu cũng chiều với $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$, ở đây với mỗi $k\in\mathbb N$ thì \[{w_k} = {a^{{r_{{n_k}}}}}.\]Do $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ về $\alpha$ nên $\left(r_{n_k}\right)_{k\in\mathbb N}$ cũng vậy, sự hội tụ kèm theo tính bị chận cho nên lại theo tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, thì dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cũng bị chận. Theo nguyên lý Weierstrass, sẽ tồn tại\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {w_n} = L.\]Chúng ta sẽ hoàn chỉnh chứng minh, nếu như ta chỉ ra rằng\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {v_n} = L.\]Do tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ, các dãy $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ và $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cùng bị chặn, ta gọi $M$ là cận trên chung của chúng, rõ ràng $M>0$ và\[\left| {{w_k} – {v_k}} \right| = \left| {{a^{{r_{{n_k}}}}} – {a^{{t_k}}}} \right| \le M\left( {{a^{\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|}} – 1} \right);\quad (0).\]Bây giờ, lấy ra một số thực dương $\epsilon$ bất kỳ, do $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right| = 0$, cho nên tồn tại số tự nhiên $N_1$ để với mỗi số nguyên dương $k>N_1$ ta có $$\left|r_{n_{k}}-t_{k}\right|<\min \left\{\frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2 M(a-1)}\right\};\quad (1).$$ Vì $\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|$ là số hữu tỷ thuộc nửa khoảng mở $[0;\,1)$, nên theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có đánh giá sau đây \[{a^{\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|}} \le 1 + \left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|\left( {a – 1} \right);\quad (2).\]Từ $(0),\,(1)$ và $(2)$, với mỗi số nguyên dương $k>N_1$ ta có được\[\left| {{w_k} – {v_k}} \right| \le M(a-1)\left| {{r_{{n_k}}} – {t_k}} \right|\le\frac{\epsilon}{2};\quad (3).\]Lại vì $\left(w_n\right)_{n\in\mathbb N}$ là dãy hội tụ đến $L$, nên tồn tại số tự nhiên $N_2$ để với mỗi số nguyên dương $k>N_2$ ta có\[\left| {{w_k} – L} \right| < \frac{\epsilon}{2};\quad (4).\]Từ $(3)$ và $(4)$ ta thấy rằng: với bất kỳ $\epsilon >0$ luôn tồn tại số tự nhiên $N$ (ví dụ như $N=N_1+N_2$), sao cho với mỗi số nguyên dương $k>N$ thì\[\left| {{v_k} – L} \right| \le \left| {{w_k} – {v_k}} \right| + \left| {{w_k} – L} \right|<\epsilon.\]Như vậy $\left(v_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $L$, do vai trò tương đồng của $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb N}$ mà ta có được điều cần chứng minh.
  
  
  Lưu ý rằng, ở chứng minh trên tôi có sử dụng bất đẳng thức Bernoulli với số mũ hữu tỷ, như sau
  
  
  Bất Đẳng Thức Bernoulli. Cho $a>0$ khi đó với số hữu tỷ $r$ thỏa mãn $0\le r<1$ thế thì ta sẽ có đánh giá sau đây\[{a^r} \le 1 + r\left( {a – 1} \right).\]Chứng minh. Viết $r=\frac{m}{n}$ với $m,\,n$ là các số tự nhiên và $m<n$, khi đó theo bất đẳng thức AM-GM ta có\begin{align*}ma + \left( {n – m} \right) &= \underbrace {a + a + \ldots + a}_{m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \text{lần}} + \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{n – m\;\text{lần}}\\& \ge n\sqrt[n]{{{a^m}}} .\end{align*}Chia hai vế của đánh giá đó cho $n$ và rút gọn, ta có được điều cần chứng minh.
  
  
  Cũng muốn nhấn mạnh là, với mỗi số vô tỷ $\alpha$ thì luôn tồn tại vô số dãy hữu tỷ $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ hội tụ đến $\alpha$. Ví dụ, lấy số nguyên dương $M$ với $M>1$ bất kỳ, xét dãy số $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ cho bởi công thức số hạng tổng quát\[{r_n} = \frac{{\left\lfloor {{M^n}\alpha } \right\rfloor }}{{{M^n}}},\;\forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N.\]Khi $M=10$, dãy $\left(r_n\right)_{n\in\mathbb N}$ chính là xấp xỉ $\alpha$ theo từng chữ số thập phân.