# [Solutions] Romanian Team Selection Tests For Junior Balkan Mathematical Olympiad 1998

1. Show that $\dfrac{\dfrac{1}{1\cdot 2} +\dfrac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\dfrac1{1997\cdot 1998}}{\dfrac{2}{1000\cdot 1998} +\dfrac{1}{1001\cdot 1997}}$ is an integer number.
2. Consider the rectangle $ABCD$ and the points $M,N,P,Q$ on the segments $AB,BC,CD,$ respectively, $DA,$ excluding its extremities. Denote with $p_{\square} , A_{\square}$ the perimeter, respectively, the area of $\square.$ Prove that
a) $p_{MNPQ}\ge AC+BD.$
b) $p_{MNPQ} =AC+BD\implies A_{MNPQ}\le \dfrac{A_{ABCD}}{2} .$
c) $p_{MNPQ} =AC+BD\implies MP^2 +NQ^2\ge AC^2.$
3. Let $n$ be a natural number. Find all integer numbers that can be written as $$\frac{1}{a_1} +\frac{2}{a_2} +\cdots +\frac{n}{a_n} ,$$where $a_1,a_2,...,a_n$ are natural numbers.
4. Solve in $\mathbb{Z}^2$ the following equation $$(x+1)(x+2)(x+3) +x(x+2)(x+3)+x(x+1)(x+3)+x(x+1)(x+2)=y^{2^x} .$$
5. We are given an inscriptible quadrilateral $DEFG$ having some vertices on the sides of a triangle $ABC,$ and some vertices (at least one of them) coinciding with the vertices of the same triangle. Knowing that the lines $DF$ and $EG$ aren´t parallel, find the locus of their intersection.
6. Find the smallest natural number for which there exist that many natural numbers such that the sum of the squares of their squares is equal to $1998.$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...