$hide=mobile$type=ticker$c=12$cols=3$l=0$sr=random$b=0

Lịch Sử Phép Tính Vi Tích Phân: Newton Và Leibniz Chung Ý Tưởng Nền Tảng Khác Cách Tiếp Cận

Trong bài này chúng ta cùng bàn đến một vấn đề có yếu tố lịch sử toán học đó là lịch sử phép tính vi tích phân, nơi đó Newton và Leibniz chung ý tưởng nền tảng nhưng lại khác cách tiếp cận.

Trong đời sống hàng ngày, chúng ta dùng gia tốc theo nghĩa làm tăng tốc độ, và giảm tốc theo nghĩa làm chậm lại, nhưng trong cơ học, cả hai sự thay đối đầu gọi là gia tốc: trong trường hợp thứ nhất thì nó dương, còn trường hợp thứ hai thì nó âm.

Khi chúng ta lái xe dọc đại lộ, tốc độ của xe được hiển thị trên đồng hồ tốc độ – ví dụ, nó có thể bằng 50mph. Hướng thì là hướng đi của xe. Khi chúng ta nhấn ga, xe sẽ tăng tốc; còn khi chúng ta đạp phanh, xe sẽ giảm tốc, tức có gia tốc âm.

Nếu xe chuyển động với một tốc độ cố định sẽ dễ dàng nhận biết tốc độ của xe là bao nhiêu. Từ viết tắt mph (miles per hour) đã nói rõ: số dặm đi được trong 1 giờ. Nếu xe đi 50 dặm trong 1 giờ, chúng ta chia khoảng cách cho thời gian sẽ nhận được tốc độ. Tất nhiên, chúng ta không cần lái xe cả 1 giờ, nếu chiếc xe đi 5 dặm trong sáu phút, tức cả khoảng cách và thời gian đầu được chia cho 10, thì tỉ số của chúng vẫn là 50 dặm/giờ. Nói ngắn gọn:

tốc độ = khoảng cách đi được chia cho thời gian đã đi.

Cũng tương tự, nếu gia tốc là cố định thì ta có:

gia tốc = sự biến thiên của tốc độ chia cho khoảng thời gian thay đổi.

Tất cả xem ra có vẻ như đơn giản, nhưng những khó khăn về khái niệm sẽ phát sinh khi tốc độ hay gia tốc không còn là cố định nữa. Vả lại cả hai không thể đồng thời là hằng số, bởi vì gia tốc không đổi (và khác 0) kéo theo sự thay đổi của tốc độ. Giả sử bạn lái xe dọc theo đường làng, tăng tốc lúc đường thẳng và chậm lại chỗ đường ngoặt. trong trường hợp ấy tốc độ của bạn thay đổi và do đó gia tốc cũng thế.

Sau khi Newton trở thành một nhà khoa học xuất chúng, khá lâu sau khi hai người đã xây dựng xong nền tảng của giải tích, một vài người bạn của Newton đã dấy lên một cuộc tranh cái vô nghĩa nhưng rất nóng bỏng về quyền công bố trước, khi buộc tội Leìbnìz đã đạo văn từ những bản thảo chưa công bố của Newton. Một số ít nhà toán học ở châu Âu lục địa đã đáp lại bằng lời tố cáo ngược về sự đạo văn của Newton. Các nhà toán học Anh và lục địa hầu như không liên lạc với nhau trong một thế kỷ, điều này đã gây ra thiệt hại lớn cho các nhà toán học Anh, nhưng không có bất kỳ ảnh hướng nào tới các nhà toán học ở lục địa. Họ đã phát triển giải tích thành một công cụ trung tâm của Vật lý toán, trong khi các đồng nghiệp của họ ở Anh cứ sôi sục lên vì những lời lăng mạ Newton thay vì khai thác những viễn kiến sâu sắc của ông. Câu chuyện này rối rắm và vẫn còn được tranh cãi trên phương diện học thuật bởi các sử gia khoa học, nhưng nói một cách khoáng đạt, thì Newton và Leibniz đã phát triển những ý tưởng nền tảng của giải tích một cách độc lập – ít ra cũng độc lập trong chừng mực mà nền văn hóa chung về toán học và khoa học của họ cho phép.

Các ký hiệu của Leibniz khác với của Newton, nhưng các ý tưởng cơ bản thì khá giống nhau. Dù vậy, trực quan nằm đằng sau chúng thì lại khác nhau. Cách tiếp cận của Leibniz hình thức hơn, và thao tác trên các ký hiệu đại số. Còn Newton thì luôn có trong đầu một mô hình Vật lý, ở đó hàm số đang xét là một đại lượng Vật lý biến thiên theo thời gian. Đó chính là nguồn gốc của thuật ngữ lạ “fluxion” (dòng chảy và sau này cũng được dùng với nghĩa vi phân) – một cái gì đó flow (chảy – biến thiên) theo thời gian.

Phương pháp của Newton có thể được giải thích bằng ví dụ sau: Một đại lượng $y$ bằng hình phuơng $x^2$ của một đại lượng $x$ khác. (Đây là hình mẫu mà Galileo đã tìm ra cho một viên bi lăn: vị trí của nó tỉ lệ với bình phương thời gian trôi qua, do đó ở đây có thể coi $y$ là vị trí và $x$ là thời gian. Ký hiệu thông thường của thời gian là $t$, nhưng hệ tọa độ chuẩn trong mặt phẳng sử dụng $x$ và $y$), đại lượng $o$ bắt đầu được sử dụng, ký hiệu cho một sự thay đổi nhỏ của $x$. Độ thay đổi tương ứng của $y$ là hiệu $(x+ o)^2 - x^2$ hay rút gọn thành $2xo + o^2$. Tốc độ thay đổi (lấy trung hình trên một khoảng thời gian nhỏ có chiều dài bằng $o$ khi $x$ tăng thành $x + o$ do đó bằng $\dfrac{2xo + o^2}{o}=2x+o$. Nó phụ thuộc vào $o$, đúng như trông đợi vì chúng ta lấy trung bình tốc độ thay đổi trên một khoảng khác $0$. Tuy nhiên, khi o trở nên ngày càng nhỏ hơn, tiến dẫn (hay “chảy” dẫn) tới $0$, thì tốc độ thay đổi $2x + o$ sẽ càng tiến đầu tới $2x$. Nó không, còn phụ thuộc vào $o$ nữa, và nó cho ta tốc độ thay đổi tức thời của $x$.Về cơ bản, Leibniz cũng đã thực hiện những tính toán giống hệt như vậy, chỉ khác là ông thay ký hiệu $o$ bằng ký hiệu $dx$ (có nghĩa là “sự thay đổi nhỏ của $x$”), và định nghĩa dy là sự thay đổi nhỏ tương ứng của $y$. Khi biến $y$ phụ thuộc vào một biến $x$ khác nào đó, tốc độ thay đổi của $y$ đổi với $x$ gọi là đạo hàm của $y$.

Newton ký hiệu đạo hàm của $y$ bằng cách thêm dấu chấm ở trên nó: $\overset{.}{y}$, còn Leibniz thì dùng ký hiệu $\dfrac{dy}{dx}$. Với các đạo hàm cấp cao hơn, Newton dùng thêm nhiều dấu chấm hơn, trong khi Leibniz dùng các ký hiệu kiểu như $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Ngày nay, chúng ta gọi $y$ là một hàm số của $x$ và viết $y = f(x)$, nhưng vào thời điểm đó khái niệm này chỉ tồn tại ở dạng thô sơ. Chúng ta sử dụng cả ký hiệu của Leibniz và cả biến thế ký hiệu của Newton trong đó dấu chấm được thay bằng dấu phẩy, dễ dàng cho in ấn hơn: $y’$, $y”$. Chúng ta cũng viết $f'(x)$ và $f”(x)$ để nhấn mạnh rằng,bản thân các đạo hàm cũng là các hàm số. Tính toán các đạo hàm được gọi là phép lấy Vi phân. Phép tính tích phân – vốn là phép tính diện tích – hóa ra lại là phép tính ngược của phép tính vi phân – vốn dùng để tính độ đốc của đường cong. Để thấy tại sao, hãy tưởng tượng rằng chúng ta thêm một lát mỏng vào phần bóng mờ ở hình bên dưới. Lát mỏng này thực ra rất gần với một hình chữ nhật mảnh và dài, với chiều rộng là $o$ và chiều cao là $y$. Do đó diện tích của nó rất gần với $oy$. Tốc độ mà diện tích này thay đổi, đối với $x$ là tỉ số $oy/o$, đúng bằng $y$. Do đó đạo hàm của diện tích chính là hàm ban đầu. Cả Newton và Leibniz đều hiểu rằng cách tính diện tích, một quá trình gọi là phép tính tích phân, là đảo ngược của phép tinh vi phân theo nghĩa này. Leibniz ban đầu ký hiệu tích phân bằng ký hiệu omn., viết tắt của omnia, hay từ “tổng” (“sum”) trong tiếng Latin. Sau này ông đổi thành ký hiệu $\int$, một chữ $s$ kéo dài theo lối cổ, cũng là để chỉ từ “sum’. Newton không có một ký hiệu hệ thống nào cho tích phân.

Tuy nhiên. Newton đã tạo ra một bước tiến quan trọng. Wallis đã tính được đạo hàm của tất cả các hàm dạng $x^{\alpha}$: nó bằng $\alpha x^{\alpha-1}$. Như vậy, đạo hàm của $x^3$, $x^4$, $x^5$ là $3x^2$, $4x^3$, $5x^4$. Ông đã mở rộng kết quả này cho một đa thức bất kỳ, tức một tổ hợp hữu hạn các lũy thừa, Ví dụ như $3x^7 - 25x^4 + x^2 - 3$. Thủ thuật ở đây là xét từng lũy thừa một cách riêng rẽ, tìm các đạo hàm tương ứng, rồi sau đó kết hợp chúng lại theo cùng một cách. Newton thấy rằng phương pháp này cũng có thể áp dụng cho các chuỗi vô hạn, một dạng biểu diễn bao gồm một số Vô hạn các lũy thừa của cùng một biến. Điều đó cho phép Ông thực hiện các phép tính vi tích phân trên nhiều biểu thức khác, phức tạp hơn các đa thức.

Đưa ra sự đối chiếu sát sao giữa hai phiên bản của phép tính vì tích phân, chỉ khác nhau ở những điểm không quan trọng về ký hiệu, ta có thể dễ dàng hiểu được tại sao lại đẩy lên cuộc tranh luận về quyền công bố trước. Tuy nhiên, ý tưởng cơ bản thực ra chỉ là một cách hệ thống hóa khá trực tiếp câu hỏi ẩn sau nó, Vì thể dễ thấy tại sao Newton Và Leibniz có thể đi đến các phiên bản của mình độc lập với nhau, dù có nhiều nét tương tự. Thực ra, trong mọi trường hợp, với những kết quả của mình, Fermat và Wallis đã Vượt trội hơn hai người đó. Do đó, cuộc tranh luận này quả là vô nghĩa.

Một cuộc tranh cãi mang lại nhiều thành quả hơn, đó là về vấn đề cấu trúc logic của phép tính Vi tích phân, hay nói chính xác hơn là cấu trúc phi logic của nó. Người phê phán mạnh nhất là triết gia người Ailen George Berkeley, giám mục xứ Cloyne. Berkeley có một đề tài thảo luận về tôn giáo; ông cảm thấy rằng quan điểm duy vật về thể giới phát triển từ các công trình của Newton biểu thị Chúa như một đấng sáng tạo tách rời, Ngài lùi ra xa, đứng sau các tạo Vật của mình ngay khi sự sáng thế hoàn tất và sau đó Ngài để mặc cho chúng tự vận hành, một Đức Chúa không mấy giống như Chúa được nhân cách hóa và hằng có ở khắp nơi trong đức tin Kitô. Do đó, ông tấn công tính thiếu nhất quán về mặt logic trong chính những nền tảng của giải tích, với hy vọng làm mất uy tin môn khoa học xây dựng từ đó. Sự công kích của ông không có ảnh hưởng đáng kể tới sự phát triển của Vật lý toán, bởi một lý do đơn giản: những kết quả thu được nhờ sử dụng giải tích mang lại cho ta sự hiểu biết sâu sắc hơn rất nhiều về thế giới tự nhiên, và rất phù hợp với thực nghiệm, đến nổi những nền tảng logic dường như không quan trọng. Ngay cả bây giờ, các nhà Vật lý vẫn giữ quan điểm này: nếu một lý thuyết vận hành tốt thì ai còn quan tâm đến việc bắt bẻ logic làm gì.

Berkeley công bố những chỉ trích của ông trong một cuốn sách nhỏ, xuất bản năm 1734, với tựa đề Nhà giải tích, một thuyết trình gửi tới nhà toán học dị giáo (The Analyst, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician). Thực tế, Newton đã cố gắng tìm giải pháp cho tính logic, bằng cách cầu Viện đến sự tương tự trong vật lý. Ông không nhìn o như một đại lượng cố định, mà như một cái gì đó trôi theo dòng, tức là biến thiên theo thời gian, nó ngày càng tiến gần tới $0$ nhưng không bao giờ đạt tới đó. Đạo hàm cũng được định nghĩa bằng một đại lượng trôi theo dòng: đó là tỉ số độ thay đổi của $y$ và độ thay đổi của $x$. Tỉ số này cũng tiến tới một giá trị nào đó, nhưng không bao giờ đạt tới giá trị ấy, giá trị này chính là tốc độ thay đổi tức thời – tức đạo hàm của $y$ đối với $x$. Berkeley đã gạt bỏ ý tưởng đó như là “bóng ma của một đại lượng đã biến mất”. Leibniz cũng gặp phải những chỉ trích dai dẳng, nhà hình học Bernard Nieuwentijt đã công bố những phê phán của minh vào năm 1694 và 1695. Leibniz đã không biện minh cho phương pháp của mình thông qua các “đại lượng vô cùng bé”, một thuật ngữ để gây ra hiểu lầm. Tuy nhiên, ông đã giải thích rằng điều ông muốn nói qua thuật ngữ này là nó, không phải là một đại lượng không cố định có thể nhỏ tùy ý (điều này không mang ý nghĩa logic nào cả) mà nó là một đại lượng biến thiên khác $0$, có thể trở nên nhỏ tùy ý. Cách hiện hộ của Newton và Leibniz về căn bản là như nhau. Đổi với các đối thủ của họ, hai cách giải thích này chẳng qua chỉ làsự bịp bơm về ngôn từ mà thôi.

Trong cuốn Những nguyên lý, Newton đã xoay quanh vấn đề này. Ông thay $2x + o$ hàng “tỉ số nguyên thủy” của ông và $2x$ hàng “tỉ số tối hậu”. Nhưng chìa khóa thực sự để có thể tiến bộ là phải giải quyết vấn đề một cách trực diện. Làm sao chúng ta biết rằng $o$ càng tiến gần về $0$ thì $2x + o$ càng tiến gần về $2x$? Khi chúng ta nói rằng $o$ tiến gần đến $0$, ta hàm ý rằng với bất kỳ số dương khác 0 nào, ta đầu có thể chọn được $o$ bé hơn số đó. (Điều này là hiển nhiên: lấy $o$ bằng nửa số đó chẳng hạn). Tương tự, khi ta nói $2x + o$ tiến đến $2x$, ta hàm ý rằng hiệu của chúng tiến tới $0$, theo nghĩa vừa nói ở trên. Vì hiệu số đó, trong trường hợp này, tình cờ lại chính bằng $o$, nên nó thậm chỉ còn hiển nhiên hơn: bất kể “tiến đến $0$” mang ý nghĩa gì, thì cũng rõ ràng là $o$ tiến đến $0$ khi $o$ tiến đến $0$. Một hàm phức tạp hơn hàm bậc hai sẽ đòi hỏi phân tích phức tạp hơn. Phép tinh vi tích phân bây giờ đã có một cơ sở logic vững chắc, nó xứng đáng và đã có được một cái tên phản ánh địa vị mới của mình: giải tích.

Liệt kê tất cả các lĩnh vực mà giải tích có thể được ứng dụng là một nhiệm vụ bất khả thì, chẳng khác nào bắt liệt kê tất cả mọi thứ trên thế giới phụ thuộc vào việc sử dụng một cái vặn đinh ốc. Ở một mức độ tính toán đơn giản, những ứng dụng của giải tích bao gồm việc tính độ dài của đường cong, diện tích của các mặt và các hình dạng phức tạp, thể tích của các hình khối, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và khối tâm của Vật. Kết hợp với các định luật của cơ học, giải tích giúp ta tìm ra quỹ đạo của tên ‘lửa không gian, ứng suất trong đá ở một đới hút chìm có thể tạo ra động đất, kiểu dao động của một tòa nhà cao tầng khi xảy ra động đất, một ôtô nảy lên nảy xuống thể nào khi bị xóc, thời gian cần để một vi khuẩn gây bệnh lan truyền, cách thức lành vết thương phẫu thuật, và lực tác dụng lên một cây cầu treo khi có gió mạnh.

Thái Vân

$hide=mobile$type=ticker$c=36$cols=2$l=0$sr=random$b=0

$hide=mobile

Name

Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,An Giang,40,Andrew Wiles,1,Anh,2,APMO,21,Austria (Áo),1,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,72,Bắc Bộ,2,Bắc Giang,59,Bắc Kạn,3,Bạc Liêu,15,Bắc Ninh,58,Bắc Trung Bộ,3,Bài Toán Hay,5,Balkan,40,Baltic Way,32,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,69,Bến Tre,68,Benelux,15,Bình Định,62,Bình Dương,36,Bình Phước,48,Bình Thuận,41,Birch,1,BMO,40,Booklet,12,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,British,16,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,2,BxMO,14,Cà Mau,21,Cần Thơ,25,Canada,40,Cao Bằng,11,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,43,Caucasus,3,CGMO,11,China - Trung Quốc,25,Chọn Đội Tuyển,491,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,125,Chuyên SPHCM,7,Chuyên SPHN,26,Chuyên Trần Hưng Đạo,2,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,666,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,48,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,72,Đắk Nông,13,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,2125,Đề Thi JMO,1,DHBB,28,Điện Biên,12,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,5,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,62,Đồng Tháp,62,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Dương Quỳnh Châu,1,Dương Tú,1,Duyên Hải Bắc Bộ,28,E-Book,31,EGMO,29,ELMO,19,EMC,10,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,30,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,14,GGTH,30,Gia Lai,38,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,4,Hà Lan,1,Hà Nam,38,Hà Nội,258,Hà Tĩnh,87,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,64,Hải Phòng,54,Hậu Giang,11,Hậu Lộc,1,Hélènne Esnault,1,Hilbert,2,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,31,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,116,HSG 10 2010-2011,4,HSG 10 2011-2012,6,HSG 10 2012-2013,5,HSG 10 2013-2014,4,HSG 10 2014-2015,5,HSG 10 2015-2016,2,HSG 10 2016-2017,5,HSG 10 2017-2018,3,HSG 10 2018-2019,3,HSG 10 2019-2020,8,HSG 10 2020-2021,2,HSG 10 2021-2022,2,HSG 10 2022-2023,3,HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu,2,HSG 10 Bắc Giang,1,HSG 10 Bạc Liêu,2,HSG 10 Bắc Ninh,3,HSG 10 Bình Định,1,HSG 10 Bình Dương,1,HSG 10 Bình Thuận,3,HSG 10 Chuyên SPHN,5,HSG 10 Đắk Lắk,2,HSG 10 Đồng Nai,4,HSG 10 Gia Lai,2,HSG 10 Hà Nam,3,HSG 10 Hà Tĩnh,13,HSG 10 Hải Dương,9,HSG 10 KHTN,9,HSG 10 Kon Tum,1,HSG 10 Nghệ An,1,HSG 10 Ninh Thuận,1,HSG 10 Phú Yên,2,HSG 10 Quảng Trị,2,HSG 10 Thái Nguyên,8,HSG 10 Thanh Hóa,1,HSG 10 Trà Vinh,5,HSG 10 Vĩnh Phúc,14,HSG 1015-2016,3,HSG 11,117,HSG 11 2010-2011,4,HSG 11 2011-2012,5,HSG 11 2012-2013,7,HSG 11 2013-2014,4,HSG 11 2014-2015,8,HSG 11 2015-2016,2,HSG 11 2016-2017,5,HSG 11 2017-2018,4,HSG 11 2018-2019,5,HSG 11 2019-2020,5,HSG 11 2020-2021,5,HSG 11 2021-2022,1,HSG 11 An Giang,1,HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu,1,HSG 11 Bắc Giang,4,HSG 11 Bạc Liêu,2,HSG 11 Bắc Ninh,4,HSG 11 Bình Định,11,HSG 11 Bình Dương,3,HSG 11 Bình Thuận,1,HSG 11 Cà Mau,1,HSG 11 Đà Nẵng,9,HSG 11 Đồng Nai,1,HSG 11 Hà Nam,1,HSG 11 Hà Tĩnh,10,HSG 11 Hải Phòng,1,HSG 11 Kiên Giang,4,HSG 11 Lạng Sơn,11,HSG 11 Nghệ An,6,HSG 11 Ninh Bình,2,HSG 11 Quảng Bình,9,HSG 11 Quảng Ngãi,8,HSG 11 Quảng Trị,3,HSG 11 Sóc Trăng,1,HSG 11 Thái Nguyên,8,HSG 11 Thanh Hóa,4,HSG 11 Trà Vinh,1,HSG 11 Tuyên Quang,1,HSG 11 Vĩnh Long,2,HSG 11 Vĩnh Phúc,10,HSG 12,622,HSG 12 2009-2010,2,HSG 12 2010-2011,39,HSG 12 2011-2012,44,HSG 12 2012-2013,58,HSG 12 2013-2014,53,HSG 12 2014-2015,44,HSG 12 2015-2016,36,HSG 12 2016-2017,47,HSG 12 2017-2018,58,HSG 12 2018-2019,44,HSG 12 2019-2020,43,HSG 12 2020-2021,51,HSG 12 2021-2022,34,HSG 12 2022-2023,24,HSG 12 An Giang,7,HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu,11,HSG 12 Bắc Giang,17,HSG 12 Bạc Liêu,3,HSG 12 Bắc Ninh,13,HSG 12 Bến Tre,18,HSG 12 Bình Định,16,HSG 12 Bình Dương,8,HSG 12 Bình Phước,8,HSG 12 Bình Thuận,8,HSG 12 Cà Mau,8,HSG 12 Cần Thơ,7,HSG 12 Cao Bằng,5,HSG 12 Chuyên SPHN,9,HSG 12 Đà Nẵng,3,HSG 12 Đắk Lắk,20,HSG 12 Đắk Nông,1,HSG 12 Điện Biên,3,HSG 12 Đồng Nai,20,HSG 12 Đồng Tháp,18,HSG 12 Gia Lai,13,HSG 12 Hà Nam,4,HSG 12 Hà Nội,15,HSG 12 Hà Tĩnh,15,HSG 12 Hải Dương,14,HSG 12 Hải Phòng,19,HSG 12 Hậu Giang,3,HSG 12 Hòa Bình,10,HSG 12 Hưng Yên,9,HSG 12 Khánh Hòa,2,HSG 12 KHTN,26,HSG 12 Kiên Giang,11,HSG 12 Kon Tum,2,HSG 12 Lai Châu,4,HSG 12 Lâm Đồng,10,HSG 12 Lạng Sơn,8,HSG 12 Lào Cai,16,HSG 12 Long An,17,HSG 12 Nam Định,7,HSG 12 Nghệ An,12,HSG 12 Ninh Bình,11,HSG 12 Ninh Thuận,6,HSG 12 Phú Thọ,16,HSG 12 Phú Yên,12,HSG 12 Quảng Bình,12,HSG 12 Quảng Nam,9,HSG 12 Quảng Ngãi,5,HSG 12 Quảng Ninh,19,HSG 12 Quảng Trị,9,HSG 12 Sóc Trăng,4,HSG 12 Sơn La,5,HSG 12 Tây Ninh,6,HSG 12 Thái Bình,11,HSG 12 Thái Nguyên,13,HSG 12 Thanh Hóa,18,HSG 12 Thừa Thiên Huế,18,HSG 12 Tiền Giang,3,HSG 12 TPHCM,12,HSG 12 Tuyên Quang,2,HSG 12 Vĩnh Long,6,HSG 12 Vĩnh Phúc,22,HSG 12 Yên Bái,6,HSG 9,533,HSG 9 2009-2010,1,HSG 9 2010-2011,21,HSG 9 2011-2012,44,HSG 9 2012-2013,44,HSG 9 2013-2014,36,HSG 9 2014-2015,40,HSG 9 2015-2016,39,HSG 9 2016-2017,42,HSG 9 2017-2018,47,HSG 9 2018-2019,50,HSG 9 2019-2020,20,HSG 9 2020-2021,53,HSG 9 2021-2022,57,HSG 9 2022-2023,1,HSG 9 An Giang,8,HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu,7,HSG 9 Bắc Giang,12,HSG 9 Bạc Liêu,1,HSG 9 Bắc Ninh,12,HSG 9 Bến Tre,9,HSG 9 Bình Định,10,HSG 9 Bình Dương,6,HSG 9 Bình Phước,13,HSG 9 Bình Thuận,5,HSG 9 Cà Mau,1,HSG 9 Cần Thơ,4,HSG 9 Cao Bằng,1,HSG 9 Chuyên SPHN,2,HSG 9 Đà Nẵng,10,HSG 9 Đắk Lắk,11,HSG 9 Đắk Nông,2,HSG 9 Điện Biên,3,HSG 9 Đồng Nai,7,HSG 9 Đồng Tháp,10,HSG 9 Gia Lai,8,HSG 9 Hà Giang,3,HSG 9 Hà Nam,9,HSG 9 Hà Nội,25,HSG 9 Hà Tĩnh,16,HSG 9 Hải Dương,14,HSG 9 Hải Phòng,7,HSG 9 Hậu Giang,4,HSG 9 Hòa Bình,3,HSG 9 Hưng Yên,9,HSG 9 Khánh Hòa,4,HSG 9 Kiên Giang,15,HSG 9 Kon Tum,8,HSG 9 Lai Châu,1,HSG 9 Lâm Đồng,13,HSG 9 Lạng Sơn,9,HSG 9 Lào Cai,3,HSG 9 Long An,9,HSG 9 Nam Định,8,HSG 9 Nghệ An,19,HSG 9 Ninh Bình,13,HSG 9 Ninh Thuận,3,HSG 9 Phú Thọ,12,HSG 9 Phú Yên,8,HSG 9 Quảng Bình,13,HSG 9 Quảng Nam,11,HSG 9 Quảng Ngãi,12,HSG 9 Quảng Ninh,15,HSG 9 Quảng Trị,9,HSG 9 Sóc Trăng,8,HSG 9 Sơn La,4,HSG 9 Tây Ninh,16,HSG 9 Thái Bình,9,HSG 9 Thái Nguyên,5,HSG 9 Thanh Hóa,17,HSG 9 Thừa Thiên Huế,8,HSG 9 Tiền Giang,6,HSG 9 TPHCM,10,HSG 9 Trà Vinh,2,HSG 9 Tuyên Quang,5,HSG 9 Vĩnh Long,11,HSG 9 Vĩnh Phúc,12,HSG 9 Yên Bái,4,HSG Cấp Trường,89,HSG Quốc Gia,109,HSG Quốc Tế,16,HSG11 2021-2022,3,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,39,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,57,IMT,2,IMU,2,India - Ấn Độ,47,Inequality,13,InMC,1,International,340,Iran,13,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,30,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,26,KHTN,61,Kiên Giang,71,Kim Liên,1,Kon Tum,23,Korea - Hàn Quốc,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,46,Lai Châu,10,Lâm Đồng,44,Lăng Hồng Nguyệt Anh,1,Lạng Sơn,35,Langlands,1,Lào Cai,33,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Hồng Phong,5,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,2,Leibniz,1,Long An,49,Lớp 10 Chuyên,666,Lớp 10 Không Chuyên,347,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lưu Lý Tưởng,1,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,12,Menelaus,1,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Atiyah,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,MYM,25,MYTS,4,Nam Định,44,Nam Phi,1,National,276,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,69,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Minh Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,9,Nguyễn Nhất Huy,1,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,2,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Song Thiên Long,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,58,Ninh Thuận,24,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,21,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,127,Olympic 10/3,6,Olympic 10/3 Đắk Lắk,6,Olympic 11,118,Olympic 12,50,Olympic 23/3,2,Olympic 24/3,10,Olympic 24/3 Quảng Nam,10,Olympic 27/4,23,Olympic 30/4,57,Olympic KHTN,7,Olympic Sinh Viên,76,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,332,Olympic Toán Sơ Cấp,3,Ôn Thi 10,2,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Quang Đạt,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,31,Phú Yên,39,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,55,Putnam,27,Quảng Bình,57,Quảng Nam,51,Quảng Ngãi,44,Quảng Ninh,55,Quảng Trị,38,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,13,RMO,24,Romania,37,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,70,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út,9,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,28,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,28,Sóc Trăng,32,Sơn La,21,Spain,8,Star Education,1,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,17,Tập San,3,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,36,Thạch Hà,1,Thái Bình,42,Thái Nguyên,58,Thái Vân,2,Thanh Hóa,74,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,Thông Tin Toán Học,43,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPT Chuyên Nguyễn Du,9,THPTQG,16,THTT,31,Thừa Thiên Huế,52,Tiền Giang,28,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,147,Trà Vinh,9,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,37,Trại Hè Hùng Vương,28,Trại Hè Phương Nam,7,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,12,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trường Đông,21,Trường Hè,8,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,520,TST 2008-2009,1,TST 2010-2011,22,TST 2011-2012,23,TST 2012-2013,32,TST 2013-2014,29,TST 2014-2015,27,TST 2015-2016,26,TST 2016-2017,41,TST 2017-2018,42,TST 2018-2019,30,TST 2019-2020,36,TST 2020-2021,29,TST 2021-2022,36,TST 2022-2023,42,TST An Giang,7,TST Bà Rịa Vũng Tàu,11,TST Bắc Giang,5,TST Bắc Ninh,11,TST Bến Tre,8,TST Bình Định,5,TST Bình Dương,6,TST Bình Phước,8,TST Bình Thuận,9,TST Cà Mau,6,TST Cần Thơ,5,TST Cao Bằng,2,TST Đà Nẵng,8,TST Đắk Lắk,11,TST Đắk Nông,2,TST Điện Biên,2,TST Đồng Nai,12,TST Đồng Tháp,12,TST Gia Lai,4,TST Hà Nam,7,TST Hà Nội,11,TST Hà Tĩnh,14,TST Hải Dương,11,TST Hải Phòng,13,TST Hậu Giang,1,TST Hòa Bình,3,TST Hưng Yên,9,TST Khánh Hòa,8,TST Kiên Giang,10,TST Kon Tum,6,TST Lâm Đồng,11,TST Lạng Sơn,2,TST Lào Cai,5,TST Long An,6,TST Nam Định,8,TST Nghệ An,7,TST Ninh Bình,11,TST Ninh Thuận,4,TST Phú Thọ,13,TST Phú Yên,5,TST PTNK,14,TST Quảng Bình,12,TST Quảng Nam,6,TST Quảng Ngãi,7,TST Quảng Ninh,8,TST Quảng Trị,9,TST Sóc Trăng,4,TST Sơn La,7,TST Thái Bình,6,TST Thái Nguyên,8,TST Thanh Hóa,9,TST Thừa Thiên Huế,4,TST Tiền Giang,5,TST TPHCM,14,TST Trà Vinh,1,TST Tuyên Quang,1,TST Vĩnh Long,6,TST Vĩnh Phúc,7,TST Yên Bái,8,Tuyên Quang,12,Tuyển Sinh,4,Tuyển Sinh 10,1013,Tuyển Sinh 10 An Giang,17,Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu,21,Tuyển Sinh 10 Bắc Giang,19,Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu,7,Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Bến Tre,33,Tuyển Sinh 10 Bình Định,19,Tuyển Sinh 10 Bình Dương,12,Tuyển Sinh 10 Bình Phước,19,Tuyển Sinh 10 Bình Thuận,15,Tuyển Sinh 10 Cà Mau,5,Tuyển Sinh 10 Cần Thơ,9,Tuyển Sinh 10 Cao Bằng,2,Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN,15,Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng,17,Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk,20,Tuyển Sinh 10 Đắk Nông,6,Tuyển Sinh 10 Điện Biên,4,Tuyển Sinh 10 Đồng Nai,18,Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp,22,Tuyển Sinh 10 Gia Lai,10,Tuyển Sinh 10 Hà Giang,1,Tuyển Sinh 10 Hà Nam,14,Tuyển Sinh 10 Hà Nội,80,Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh,18,Tuyển Sinh 10 Hải Dương,16,Tuyển Sinh 10 Hải Phòng,14,Tuyển Sinh 10 Hậu Giang,3,Tuyển Sinh 10 Hòa Bình,15,Tuyển Sinh 10 Hưng Yên,12,Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa,12,Tuyển Sinh 10 KHTN,19,Tuyển Sinh 10 Kiên Giang,31,Tuyển Sinh 10 Kon Tum,6,Tuyển Sinh 10 Lai Châu,5,Tuyển Sinh 10 Lâm Đồng,10,Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn,6,Tuyển Sinh 10 Lào Cai,9,Tuyển Sinh 10 Long An,17,Tuyển Sinh 10 Nam Định,21,Tuyển Sinh 10 Nghệ An,22,Tuyển Sinh 10 Ninh Bình,19,Tuyển Sinh 10 Ninh Thuận,10,Tuyển Sinh 10 Phú Thọ,17,Tuyển Sinh 10 Phú Yên,11,Tuyển Sinh 10 PTNK,35,Tuyển Sinh 10 Quảng Bình,11,Tuyển Sinh 10 Quảng Nam,15,Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi,12,Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh,11,Tuyển Sinh 10 Quảng Trị,6,Tuyển Sinh 10 Sóc Trăng,15,Tuyển Sinh 10 Sơn La,5,Tuyển Sinh 10 Tây Ninh,14,Tuyển Sinh 10 Thái Bình,16,Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên,16,Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa,24,Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế,22,Tuyển Sinh 10 Tiền Giang,14,Tuyển Sinh 10 TPHCM,23,Tuyển Sinh 10 Tuyên Quang,3,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long,12,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc,21,Tuyển Sinh 2008-2009,1,Tuyển Sinh 2009-2010,1,Tuyển Sinh 2010-2011,6,Tuyển Sinh 2011-2012,20,Tuyển Sinh 2012-2013,63,Tuyển Sinh 2013-2014,78,Tuyển Sinh 2014-2015,78,Tuyển Sinh 2015-2016,60,Tuyển Sinh 2016-2017,72,Tuyển Sinh 2017-2018,126,Tuyển Sinh 2018-2019,60,Tuyển Sinh 2019-2020,90,Tuyển Sinh 2020-2021,59,Tuyển Sinh 2021-202,1,Tuyển Sinh 2021-2022,70,Tuyển Sinh 2022-2023,114,Tuyển Sinh Chuyên SPHCM,7,Tuyển Sinh Yên Bái,6,Tuyển Tập,45,Tuymaada,6,UK - Anh,16,Undergraduate,69,USA - Mỹ,62,USA TSTST,6,USAJMO,12,USATST,8,USEMO,4,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,4,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,31,Vĩnh Long,37,Vĩnh Phúc,86,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,53,VNTST,23,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Xác Suất,1,Yên Bái,24,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,13,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad.NET: Lịch Sử Phép Tính Vi Tích Phân: Newton Và Leibniz Chung Ý Tưởng Nền Tảng Khác Cách Tiếp Cận
Lịch Sử Phép Tính Vi Tích Phân: Newton Và Leibniz Chung Ý Tưởng Nền Tảng Khác Cách Tiếp Cận
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2020/03/lich-su-phep-tinh-vi-tich-phan-newton.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2020/03/lich-su-phep-tinh-vi-tich-phan-newton.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN
Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy Table of Content