Trong bài này chúng ta cùng bàn đến một vấn đề có yếu tố lịch sử toán học đó là lịch sử phép tính vi tích phân, nơi đó Newton và Leibniz chung ý tưởng nền tảng nhưng lại khác cách tiếp cận.
Trong đời sống hàng ngày, chúng ta dùng gia tốc theo nghĩa làm tăng tốc độ, và giảm tốc theo nghĩa làm chậm lại, nhưng trong cơ học, cả hai sự thay đối đầu gọi là gia tốc: trong trường hợp thứ nhất thì nó dương, còn trường hợp thứ hai thì nó âm.
Khi chúng ta lái xe dọc đại lộ, tốc độ của xe được hiển thị trên đồng hồ tốc độ – ví dụ, nó có thể bằng 50mph. Hướng thì là hướng đi của xe. Khi chúng ta nhấn ga, xe sẽ tăng tốc; còn khi chúng ta đạp phanh, xe sẽ giảm tốc, tức có gia tốc âm.
Nếu xe chuyển động với một tốc độ cố định sẽ dễ dàng nhận biết tốc độ của xe là bao nhiêu. Từ viết tắt mph (miles per hour) đã nói rõ: số dặm đi được trong 1 giờ. Nếu xe đi 50 dặm trong 1 giờ, chúng ta chia khoảng cách cho thời gian sẽ nhận được tốc độ. Tất nhiên, chúng ta không cần lái xe cả 1 giờ, nếu chiếc xe đi 5 dặm trong sáu phút, tức cả khoảng cách và thời gian đầu được chia cho 10, thì tỉ số của chúng vẫn là 50 dặm/giờ. Nói ngắn gọn:
tốc độ = khoảng cách đi được chia cho thời gian đã đi.
Cũng tương tự, nếu gia tốc là cố định thì ta có:
gia tốc = sự biến thiên của tốc độ chia cho khoảng thời gian thay đổi.
Tất cả xem ra có vẻ như đơn giản, nhưng những khó khăn về khái niệm sẽ phát sinh khi tốc độ hay gia tốc không còn là cố định nữa. Vả lại cả hai không thể đồng thời là hằng số, bởi vì gia tốc không đổi (và khác 0) kéo theo sự thay đổi của tốc độ. Giả sử bạn lái xe dọc theo đường làng, tăng tốc lúc đường thẳng và chậm lại chỗ đường ngoặt. trong trường hợp ấy tốc độ của bạn thay đổi và do đó gia tốc cũng thế.
Sau khi Newton trở thành một nhà khoa học xuất chúng, khá lâu sau khi hai người đã xây dựng xong nền tảng của giải tích, một vài người bạn của Newton đã dấy lên một cuộc tranh cái vô nghĩa nhưng rất nóng bỏng về quyền công bố trước, khi buộc tội Leìbnìz đã đạo văn từ những bản thảo chưa công bố của Newton. Một số ít nhà toán học ở châu Âu lục địa đã đáp lại bằng lời tố cáo ngược về sự đạo văn của Newton. Các nhà toán học Anh và lục địa hầu như không liên lạc với nhau trong một thế kỷ, điều này đã gây ra thiệt hại lớn cho các nhà toán học Anh, nhưng không có bất kỳ ảnh hướng nào tới các nhà toán học ở lục địa. Họ đã phát triển giải tích thành một công cụ trung tâm của Vật lý toán, trong khi các đồng nghiệp của họ ở Anh cứ sôi sục lên vì những lời lăng mạ Newton thay vì khai thác những viễn kiến sâu sắc của ông. Câu chuyện này rối rắm và vẫn còn được tranh cãi trên phương diện học thuật bởi các sử gia khoa học, nhưng nói một cách khoáng đạt, thì Newton và Leibniz đã phát triển những ý tưởng nền tảng của giải tích một cách độc lập – ít ra cũng độc lập trong chừng mực mà nền văn hóa chung về toán học và khoa học của họ cho phép.
Các ký hiệu của Leibniz khác với của Newton, nhưng các ý tưởng cơ bản thì khá giống nhau. Dù vậy, trực quan nằm đằng sau chúng thì lại khác nhau. Cách tiếp cận của Leibniz hình thức hơn, và thao tác trên các ký hiệu đại số. Còn Newton thì luôn có trong đầu một mô hình Vật lý, ở đó hàm số đang xét là một đại lượng Vật lý biến thiên theo thời gian. Đó chính là nguồn gốc của thuật ngữ lạ “fluxion” (dòng chảy và sau này cũng được dùng với nghĩa vi phân) – một cái gì đó flow (chảy – biến thiên) theo thời gian.
Phương pháp của Newton có thể được giải thích bằng ví dụ sau: Một đại lượng $y$ bằng hình phuơng $x^2$ của một đại lượng $x$ khác. (Đây là hình mẫu mà Galileo đã tìm ra cho một viên bi lăn: vị trí của nó tỉ lệ với bình phương thời gian trôi qua, do đó ở đây có thể coi $y$ là vị trí và $x$ là thời gian. Ký hiệu thông thường của thời gian là $t$, nhưng hệ tọa độ chuẩn trong mặt phẳng sử dụng $x$ và $y$), đại lượng $o$ bắt đầu được sử dụng, ký hiệu cho một sự thay đổi nhỏ của $x$. Độ thay đổi tương ứng của $y$ là hiệu $(x+ o)^2 - x^2$ hay rút gọn thành $2xo + o^2$. Tốc độ thay đổi (lấy trung hình trên một khoảng thời gian nhỏ có chiều dài bằng $o$ khi $x$ tăng thành $x + o$ do đó bằng $\dfrac{2xo + o^2}{o}=2x+o$. Nó phụ thuộc vào $o$, đúng như trông đợi vì chúng ta lấy trung bình tốc độ thay đổi trên một khoảng khác $0$. Tuy nhiên, khi o trở nên ngày càng nhỏ hơn, tiến dẫn (hay “chảy” dẫn) tới $0$, thì tốc độ thay đổi $2x + o$ sẽ càng tiến đầu tới $2x$. Nó không, còn phụ thuộc vào $o$ nữa, và nó cho ta tốc độ thay đổi tức thời của $x$.Về cơ bản, Leibniz cũng đã thực hiện những tính toán giống hệt như vậy, chỉ khác là ông thay ký hiệu $o$ bằng ký hiệu $dx$ (có nghĩa là “sự thay đổi nhỏ của $x$”), và định nghĩa dy là sự thay đổi nhỏ tương ứng của $y$. Khi biến $y$ phụ thuộc vào một biến $x$ khác nào đó, tốc độ thay đổi của $y$ đổi với $x$ gọi là đạo hàm của $y$.
Newton ký hiệu đạo hàm của $y$ bằng cách thêm dấu chấm ở trên nó: $\overset{.}{y}$, còn Leibniz thì dùng ký hiệu $\dfrac{dy}{dx}$. Với các đạo hàm cấp cao hơn, Newton dùng thêm nhiều dấu chấm hơn, trong khi Leibniz dùng các ký hiệu kiểu như $\dfrac{d^2y}{dx^2}$. Ngày nay, chúng ta gọi $y$ là một hàm số của $x$ và viết $y = f(x)$, nhưng vào thời điểm đó khái niệm này chỉ tồn tại ở dạng thô sơ. Chúng ta sử dụng cả ký hiệu của Leibniz và cả biến thế ký hiệu của Newton trong đó dấu chấm được thay bằng dấu phẩy, dễ dàng cho in ấn hơn: $y’$, $y”$. Chúng ta cũng viết $f'(x)$ và $f”(x)$ để nhấn mạnh rằng,bản thân các đạo hàm cũng là các hàm số. Tính toán các đạo hàm được gọi là phép lấy Vi phân. Phép tính tích phân – vốn là phép tính diện tích – hóa ra lại là phép tính ngược của phép tính vi phân – vốn dùng để tính độ đốc của đường cong. Để thấy tại sao, hãy tưởng tượng rằng chúng ta thêm một lát mỏng vào phần bóng mờ ở hình bên dưới. Lát mỏng này thực ra rất gần với một hình chữ nhật mảnh và dài, với chiều rộng là $o$ và chiều cao là $y$. Do đó diện tích của nó rất gần với $oy$. Tốc độ mà diện tích này thay đổi, đối với $x$ là tỉ số $oy/o$, đúng bằng $y$. Do đó đạo hàm của diện tích chính là hàm ban đầu. Cả Newton và Leibniz đều hiểu rằng cách tính diện tích, một quá trình gọi là phép tính tích phân, là đảo ngược của phép tinh vi phân theo nghĩa này. Leibniz ban đầu ký hiệu tích phân bằng ký hiệu omn., viết tắt của omnia, hay từ “tổng” (“sum”) trong tiếng Latin. Sau này ông đổi thành ký hiệu $\int$, một chữ $s$ kéo dài theo lối cổ, cũng là để chỉ từ “sum’. Newton không có một ký hiệu hệ thống nào cho tích phân.
Tuy nhiên. Newton đã tạo ra một bước tiến quan trọng. Wallis đã tính được đạo hàm của tất cả các hàm dạng $x^{\alpha}$: nó bằng $\alpha x^{\alpha-1}$. Như vậy, đạo hàm của $x^3$, $x^4$, $x^5$ là $3x^2$, $4x^3$, $5x^4$. Ông đã mở rộng kết quả này cho một đa thức bất kỳ, tức một tổ hợp hữu hạn các lũy thừa, Ví dụ như $3x^7 - 25x^4 + x^2 - 3$. Thủ thuật ở đây là xét từng lũy thừa một cách riêng rẽ, tìm các đạo hàm tương ứng, rồi sau đó kết hợp chúng lại theo cùng một cách. Newton thấy rằng phương pháp này cũng có thể áp dụng cho các chuỗi vô hạn, một dạng biểu diễn bao gồm một số Vô hạn các lũy thừa của cùng một biến. Điều đó cho phép Ông thực hiện các phép tính vi tích phân trên nhiều biểu thức khác, phức tạp hơn các đa thức.
Đưa ra sự đối chiếu sát sao giữa hai phiên bản của phép tính vì tích phân, chỉ khác nhau ở những điểm không quan trọng về ký hiệu, ta có thể dễ dàng hiểu được tại sao lại đẩy lên cuộc tranh luận về quyền công bố trước. Tuy nhiên, ý tưởng cơ bản thực ra chỉ là một cách hệ thống hóa khá trực tiếp câu hỏi ẩn sau nó, Vì thể dễ thấy tại sao Newton Và Leibniz có thể đi đến các phiên bản của mình độc lập với nhau, dù có nhiều nét tương tự. Thực ra, trong mọi trường hợp, với những kết quả của mình, Fermat và Wallis đã Vượt trội hơn hai người đó. Do đó, cuộc tranh luận này quả là vô nghĩa.
Một cuộc tranh cãi mang lại nhiều thành quả hơn, đó là về vấn đề cấu trúc logic của phép tính Vi tích phân, hay nói chính xác hơn là cấu trúc phi logic của nó. Người phê phán mạnh nhất là triết gia người Ailen George Berkeley, giám mục xứ Cloyne. Berkeley có một đề tài thảo luận về tôn giáo; ông cảm thấy rằng quan điểm duy vật về thể giới phát triển từ các công trình của Newton biểu thị Chúa như một đấng sáng tạo tách rời, Ngài lùi ra xa, đứng sau các tạo Vật của mình ngay khi sự sáng thế hoàn tất và sau đó Ngài để mặc cho chúng tự vận hành, một Đức Chúa không mấy giống như Chúa được nhân cách hóa và hằng có ở khắp nơi trong đức tin Kitô. Do đó, ông tấn công tính thiếu nhất quán về mặt logic trong chính những nền tảng của giải tích, với hy vọng làm mất uy tin môn khoa học xây dựng từ đó. Sự công kích của ông không có ảnh hưởng đáng kể tới sự phát triển của Vật lý toán, bởi một lý do đơn giản: những kết quả thu được nhờ sử dụng giải tích mang lại cho ta sự hiểu biết sâu sắc hơn rất nhiều về thế giới tự nhiên, và rất phù hợp với thực nghiệm, đến nổi những nền tảng logic dường như không quan trọng. Ngay cả bây giờ, các nhà Vật lý vẫn giữ quan điểm này: nếu một lý thuyết vận hành tốt thì ai còn quan tâm đến việc bắt bẻ logic làm gì.
Berkeley công bố những chỉ trích của ông trong một cuốn sách nhỏ, xuất bản năm 1734, với tựa đề Nhà giải tích, một thuyết trình gửi tới nhà toán học dị giáo (The Analyst, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician). Thực tế, Newton đã cố gắng tìm giải pháp cho tính logic, bằng cách cầu Viện đến sự tương tự trong vật lý. Ông không nhìn o như một đại lượng cố định, mà như một cái gì đó trôi theo dòng, tức là biến thiên theo thời gian, nó ngày càng tiến gần tới $0$ nhưng không bao giờ đạt tới đó. Đạo hàm cũng được định nghĩa bằng một đại lượng trôi theo dòng: đó là tỉ số độ thay đổi của $y$ và độ thay đổi của $x$. Tỉ số này cũng tiến tới một giá trị nào đó, nhưng không bao giờ đạt tới giá trị ấy, giá trị này chính là tốc độ thay đổi tức thời – tức đạo hàm của $y$ đối với $x$. Berkeley đã gạt bỏ ý tưởng đó như là “bóng ma của một đại lượng đã biến mất”. Leibniz cũng gặp phải những chỉ trích dai dẳng, nhà hình học Bernard Nieuwentijt đã công bố những phê phán của minh vào năm 1694 và 1695. Leibniz đã không biện minh cho phương pháp của mình thông qua các “đại lượng vô cùng bé”, một thuật ngữ để gây ra hiểu lầm. Tuy nhiên, ông đã giải thích rằng điều ông muốn nói qua thuật ngữ này là nó, không phải là một đại lượng không cố định có thể nhỏ tùy ý (điều này không mang ý nghĩa logic nào cả) mà nó là một đại lượng biến thiên khác $0$, có thể trở nên nhỏ tùy ý. Cách hiện hộ của Newton và Leibniz về căn bản là như nhau. Đổi với các đối thủ của họ, hai cách giải thích này chẳng qua chỉ làsự bịp bơm về ngôn từ mà thôi.
Trong cuốn Những nguyên lý, Newton đã xoay quanh vấn đề này. Ông thay $2x + o$ hàng “tỉ số nguyên thủy” của ông và $2x$ hàng “tỉ số tối hậu”. Nhưng chìa khóa thực sự để có thể tiến bộ là phải giải quyết vấn đề một cách trực diện. Làm sao chúng ta biết rằng $o$ càng tiến gần về $0$ thì $2x + o$ càng tiến gần về $2x$? Khi chúng ta nói rằng $o$ tiến gần đến $0$, ta hàm ý rằng với bất kỳ số dương khác 0 nào, ta đầu có thể chọn được $o$ bé hơn số đó. (Điều này là hiển nhiên: lấy $o$ bằng nửa số đó chẳng hạn). Tương tự, khi ta nói $2x + o$ tiến đến $2x$, ta hàm ý rằng hiệu của chúng tiến tới $0$, theo nghĩa vừa nói ở trên. Vì hiệu số đó, trong trường hợp này, tình cờ lại chính bằng $o$, nên nó thậm chỉ còn hiển nhiên hơn: bất kể “tiến đến $0$” mang ý nghĩa gì, thì cũng rõ ràng là $o$ tiến đến $0$ khi $o$ tiến đến $0$. Một hàm phức tạp hơn hàm bậc hai sẽ đòi hỏi phân tích phức tạp hơn. Phép tinh vi tích phân bây giờ đã có một cơ sở logic vững chắc, nó xứng đáng và đã có được một cái tên phản ánh địa vị mới của mình: giải tích.
Liệt kê tất cả các lĩnh vực mà giải tích có thể được ứng dụng là một nhiệm vụ bất khả thì, chẳng khác nào bắt liệt kê tất cả mọi thứ trên thế giới phụ thuộc vào việc sử dụng một cái vặn đinh ốc. Ở một mức độ tính toán đơn giản, những ứng dụng của giải tích bao gồm việc tính độ dài của đường cong, diện tích của các mặt và các hình dạng phức tạp, thể tích của các hình khối, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và khối tâm của Vật. Kết hợp với các định luật của cơ học, giải tích giúp ta tìm ra quỹ đạo của tên ‘lửa không gian, ứng suất trong đá ở một đới hút chìm có thể tạo ra động đất, kiểu dao động của một tòa nhà cao tầng khi xảy ra động đất, một ôtô nảy lên nảy xuống thể nào khi bị xóc, thời gian cần để một vi khuẩn gây bệnh lan truyền, cách thức lành vết thương phẫu thuật, và lực tác dụng lên một cây cầu treo khi có gió mạnh.
Thái Vân