- Giải hệ phương trình $$\begin{cases}4 x^{3}+x+(y-4) \sqrt{7-2 y} &=0 \\ 4 x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{3-4 x} &=12\end{cases}.$$ trên tập số thực.
- Cho $n$ là số nguyên dương. Xét khai triển $$P(x)=\left(1+x^{4}+x^{5}+x^{12}\right)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{12 n} x^{12 n}.$$ Đặt $$S_{0}=\sum_{k=0}^{4 n} a_{3 k},\quad S_{1}=\sum_{k=0}^{4 n-1} a_{3 k+1},\quad S_{2}=\sum_{k=0}^{4 n-1} a_{3 k+2}.$$ Chứng minh rằng $S_{0}=\dfrac{4^{n}+2}{3}$ và $S_{1}=S_{2}=\dfrac{4^{n}-1}{3}$.
- Cho hình vuông $A B C D$. Gọi $M$ là điềm trên cạnh $A D$ ($M$ khác $A$ và $D$). Tia phân giác của $\widehat{M B A}$ và $\widehat{M B C}$ lần lượt cắt các cạnh $D A$, $D C$ tại $E$, $F$ và lần lượt cắt đường chéo $A C$ tại $H$, $K$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $B M$, $E K$, $F H$ đồng quy.
- Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ được xác định bởi $$u_{1}=-1,\, u_{2}=5,\quad u_{n+2}=7 u_{n+1}-12 u_{n},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ lớn hơn $3$, số $A_{p}=1+u_{p}$ có ít nhất $3$ ước nguyên tố phân biệt.
- Tìm tất cả các số thực $m$, $n$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(m x+f(y))=x^{2}+n x y^{2}+y^{4},\,\forall x, y \in \mathbb R.$$
- Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ (có tâm $O$) và điểm $S$ (cố định) ở ngoài đường tròn này. Gọi $M N$ là đường kính thay đổi của đường tròn $(O)$. Đường thẳng $S M$, $S N$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, $Q$ ($P \neq M$ và $Q \neq N$).
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $S P Q$ luôn đi qua một điểm cố định, khi $M N$ thay đổi.
b) Gọi $A$, $B$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $S M N$ và tam giác $S P Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $A B$ đi qua trung điểm của $S O$. - Cho các bảng số $5 \times 5$ như hình. Người ta đưa ra quy tắc thay đồi giá trị các ô trong bảng số $5 \times 5$ như sau: Tại mỗi bước, ta thay đổi giá trị $2$ ô có cạnh chung bằng cách cộng thêm vào giá trị hiện có của mỗi ô (trong $2$ ô này) với cùng một số nguyên nào đó. Ở các bước khác nhau, số nguyên được chọn có thể khác nhau.
a) Hỏi rằng sau một số bước thay đổi theo quy tắc trên thì từ bảng $(1a)$ ta có nhận được bảng $(1b)$ hay không ? Trình bày lập luận.
b) Tìm hai số nguyên $a$, $b$ sao cho sau một số bước thay đổi theo quy tắc trên thì từ bảng $(1a)$ ta được bảng $(1c)$.
[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Kiên Giang Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019
Chọn Đội Tuyển
Đề Thi HSG
Kiên Giang
TST 2018-2019
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |