[Đáp Án] Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Kiên Giang Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019

1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}4 x^{3}+x+(y-4) \sqrt{7-2 y} &=0 \\ 4 x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{3-4 x} &=12\end{cases}.$$ trên tập số thực.
2. Cho $n$ là số nguyên dương. Xét khai triển $$P(x)=\left(1+x^{4}+x^{5}+x^{12}\right)^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{12 n} x^{12 n}.$$ Đặt  $$S_{0}=\sum_{k=0}^{4 n} a_{3 k},\quad S_{1}=\sum_{k=0}^{4 n-1} a_{3 k+1},\quad S_{2}=\sum_{k=0}^{4 n-1} a_{3 k+2}.$$ Chứng minh rằng $S_{0}=\dfrac{4^{n}+2}{3}$ và $S_{1}=S_{2}=\dfrac{4^{n}-1}{3}$.
3. Cho hình vuông $A B C D$. Gọi $M$ là điềm trên cạnh $A D$ ($M$ khác $A$ và $D$). Tia phân giác của $\widehat{M B A}$ và $\widehat{M B C}$ lần lượt cắt các cạnh $D A$, $D C$ tại $E$,  $F$ và lần lượt cắt đường chéo $A C$ tại $H$, $K$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $B M$, $E K$, $F H$ đồng quy.
4. Cho dãy số $\left(u_{n}\right)$ được xác định bởi $$u_{1}=-1,\, u_{2}=5,\quad u_{n+2}=7 u_{n+1}-12 u_{n},\, \forall n \in \mathbb{N}^{*}.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ lớn hơn $3$, số $A_{p}=1+u_{p}$ có ít nhất $3$ ước nguyên tố phân biệt.
5. Tìm tất cả các số thực $m$, $n$ sao cho tồn tại hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(m x+f(y))=x^{2}+n x y^{2}+y^{4},\,\forall x, y \in \mathbb R.$$
6. Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ (có tâm $O$) và điểm $S$ (cố định) ở ngoài đường tròn này. Gọi $M N$ là đường kính thay đổi của đường tròn $(O)$. Đường thẳng $S M$, $S N$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại $P$, $Q$ ($P \neq M$ và $Q \neq N$).
   a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $S P Q$ luôn đi qua một điểm cố định, khi $M N$ thay đổi.
   b) Gọi $A$, $B$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $S M N$ và tam giác $S P Q$. Chứng minh rằng đường thẳng $A B$ đi qua trung điểm của $S O$.
7. Cho các bảng số $5 \times 5$ như hình. Người ta đưa ra quy tắc thay đồi giá trị các ô trong bảng số $5 \times 5$ như sau: Tại mỗi bước, ta thay đổi giá trị $2$ ô có cạnh chung bằng cách cộng thêm vào giá trị hiện có của mỗi ô (trong $2$ ô này) với cùng một số nguyên nào đó. Ở các bước khác nhau, số nguyên được chọn có thể khác nhau.
   a) Hỏi rằng sau một số bước thay đổi theo quy tắc trên thì từ bảng $(1a)$ ta có nhận được bảng $(1b)$ hay không ? Trình bày lập luận.
   b) Tìm hai số nguyên $a$, $b$ sao cho sau một số bước thay đổi theo quy tắc trên thì từ bảng $(1a)$ ta được bảng $(1c)$.

DOWNLOAD ĐÁP ÁN