Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2018-2019

1. a) Rút gọn biểu thức  sau với $x\ne \sqrt 3$, $x\ne 0$ $$A=\left(\frac{\sqrt 3}{x^2+x\sqrt 3 +3} + \frac{3}{x^3-\sqrt{27}}\right)\left(\frac{x}{\sqrt 3} + \frac{\sqrt 3}{x}+1\right)$$ b)Tính tổng $$B=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^2}}+\ldots+\sqrt{1+\frac{1}{2018^2}+\frac{1}{2019^2}}$$
2. a) Giải phương trình $$\sqrt{4+5x+x^2}-5x=x^2+2.$$ b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x^2+x+\dfrac{1}{y}\left(1+\dfrac{1}{y}\right) &= 4 \\ x^3+\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{1}{y^3} &= 4\end{cases}$$
3. a) Cho $n$ là số tự nhiên lẻ. Chứng minh $46^n + 296.13^n$ chia hết cho $1947$.
   b) Cho $A$ là số chính phương gồm $4$ chữ số thỏa mãn nếu ta cộng thêm vào mỗi chữ số của $A$ một đơn vị thì ta được số chính phương $B$ cũng gồm $4$ chữ số. Tìm hai số $A$ và $B$.
4. Cho hai đường thẳng $$\begin{align} (d_{1}) &: mx+(m-2)y+m+2=0, \\ (d_{2}) &: (2-m)x+my-m-2=0. \end{align}$$ a) Tìm điểm cố định mà $(d_1)$ luôn đi qua và điểm cố định mà $(d_2)$ luôn đi qua với mọi $m$.
   b) Chứng minh hai đường thẳng luôn cắt nhau tại một điểm $I$ và khi $m$ thay đổi thì điểm $I$ luôn thuộc một đường tròn cố định.
5. Cho các số thực $a$, $b$, $c$, $d$ thỏa mãn $a > 1$, $b > 1$, $c > 1$, $d > 1$. Chứng minh bất đẳng thức $$\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{d-1}+\frac{d^2}{a-1} \geq 16.$$
6. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định. Gọi $C$ là một điểm di động trên $(O)$ sao cho $C$ khác $A$, $C$ khác $B$ và $C$ không nằm chính giữa cung $AB$. Vẽ đường kính $CD$ của $(O)$. Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$. Hai đường thẳng $BC$, $BD$ cắt $d$ tại $E$, $F$.
   a) Chứng minh tứ giác $CDFE$ nội tiếp được đường tròn.
   b) Gọi $M$ là trung điểm của $EF$ và $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CDFE$. Chứng minh $AB = 2IM$.
   c) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $DEF$. Chứng minh khi điểm $C$ di động trên $(O)$ thì điểm $H$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.
7. Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(I;r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ $(R > r)$. Vẽ dây $AB$ của $(O;R)$ và dây $AC$ của $(I;r)$ sao cho $AC \bot AB$. Gọi $MN$ là tiếp tuyến chung ngoài cùa hai đường tròn đã cho với $M\in (O)$ và $N\in (I)$.
   a) Chứng minh ba đường thẳng $BC$, $OI$ và $MN$ đồng quy.
   b) Xác định số đo $\widehat{OAB}$ để diện tích tam giác $ABC$  lớn nhất.