[Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc


Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi các cấp cũng như kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực và quốc tế mà ta được biết đến. Đặc biệt, trong các lớp dạng phương trình hàm, thì dạng phương trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng được ít các học sinh chú ý tới bởi độ khó và chưa được tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kĩ thuật xử lý phương trình hàm cơ bản chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất đặc sắc của tập rời rạc như là: tính chia hết, tính chất của số nguyên tố, của số chính phương,… Trong ebook này chúng tôi sẽ mang tới cho bạn đọc tuyển tập các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương trình hàm khác hay và khó với những lời giải vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể có nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cũng như chuẩn bị cho các kì học sinh giỏi, olympic.
  1. Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ và các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn điều kiện \[f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x)).\] Chứng minh rằng $f$ bị chặn.
  2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn \[f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x),\quad \left(1+\frac{1}{x}\right)f(x)=f(x+1) \] với mọi $x \in \mathbb{Q}^+$.
  3. Cho $f$ là hàm số được xác định trên tập các số nguyên dương. Với bất kì $a,\ b >1$ và $d = \text{UCLN}\ (a,b)$ ta có \[f(ab)=f(d)\left(f\left(\frac{a}{d}\right)+f\left(\frac{b}{d}\right)\right) .\] Xác định các giá trị có thể của $f(2001)$.
  4. Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$. 
  5. Đặt $\mathbb{Q}^+$ là tập các số hữu tỉ dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn các điều kiện sau
    • Nếu $ 0<q<1/2$ thì $ f(q)=1+f(q/(1-2q))$.
    • Nếu $ 1<q\le2$ thì $ f(q)=1+f(q-1)$.
    • $ f(q)\cdot f(1/q)=1$ với mọi $ q\in Q^+$.
  6. Cho $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ là một song ánh và giả sử giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\phi(n)}{n}=L .$$ Tìm các giá trị có thể của $L$?
  7. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $$f(xy)\gcd \left(f(x)f(y),f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right)=xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right),\quad  \forall x,y \in \mathbb{Q}^+$$
  8. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn
    • $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
    • $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn$, $\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
  9. Một số tự nhiên $p$ được gọi là 'hoàn hảo' nếu nó bằng tổng các ước dương của nó ngoại trừ chính nó. Xét hàm số $f(x)$ thỏa mãn
    • $f(n)=0$ nếu $n$ là số 'hoàn hảo'
    • $f(n)= 0$ nếu $n$ có chữ số tận cùng là $4$
    • $f(ab)=f(a)+f(b)$. Tính $f(1998)$
  10. Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn
    • $g(1)=1$
    • $\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
    • $\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
    • $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$. Tìm số $k$ nhỏ nhất.
  11. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau
    • Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
    • Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$.
    Lưu ý. mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở hai điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.
  12. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+\Rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn
    • $f(mn)=f(m)f(n)$, $\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
    • $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$ với vô số số nguyên dương $n$
  13. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1,\quad \forall x,y\in \mathbb{Q}$$
  14. Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn
    • $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị $j$
    • $f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
    a) Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq 0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$.
    b) Tính $f(2^{1990})$.
  15. Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(1)=1,\quad f(2n+1)=f(2n)+1,\quad f(2n)=3f(n).$$ Xác định tập giá trị của $f(x)$.
  16. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y),\,\forall x,\,y\in \mathbb{N},\, x\geq y$$
  17. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn $f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$
  18. Hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập các số nguyên không âm và thỏa mãn $$f(n)=f(f(n+11))\,\forall n\leqslant 1999,\quad f(n)=n-5\,\forall n>1999.$$ Tìm tất cả các giá trị $n$ để $f(n)=1999$.
  19. Xét hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn $$f(2x)=2f(x),\quad f(4x+1)=4f(x)+3,\quad f(4x-1)=2f(2x-1)-1.$$ Chứng minh $f$ đơn ánh.
  20. Cho hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị thực, cho trước số nguyên $a$. Biết $$f(a)=f(1995),\, f(a+1)=f(1996),\, f(a+2)=f(1997),\quad f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1},\,\forall n.$$ a) Chứng minh $f(n+4a)=f(n)\,\forall n$. b) Tìm số $a$ nhỏ nhất.
  21. Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f(x+f(y))=f(x)-y\,\forall x,\,y$$
  22. Xác định tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$
  23. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ sao cho với mọi số nguyên $a$, $b$ khác 0 thì $f(ab)\geq f(a)+f(b)$. Chứng minh với mọi số nguyên $a$ khác 0, ta luôn có $f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)=2f(a)$
  24. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(2)=2,\quad f(n)<f(n+1),\quad f(mn)=f(m)f(n),\,\forall m,n$$
  25. Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f_{(2003)}(n)=5n,\,\forall n$$ với $f_{(0)}(n)=f(n)$, $f_{(k)}(n)=f_{k-1}(n)$, $\forall k\in \mathbb{N}$.
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ
Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...



Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên Sư Phạm Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Dương Quỳnh Châu Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Thái Nguyên HSG 10 Vĩnh Phúc HSG 11 HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Thái Nguyên HSG 11 Vĩnh Phúc HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bình Phước HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 12 Vĩnh Phúc HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bình Phước HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ninh HSG 9 Vĩnh Phúc HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lăng Hồng Nguyệt Anh Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYM MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Nhất Huy Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 11 Olympic 12 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Quang Đạt Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Chuyên Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST Bắc Giang TST Bình Phước TST Đồng Tháp TST Lạng Sơn TST Long An TST Quảng Nam TST Quảng Ninh TST Thái Nguyên TST Vĩnh Phúc Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2011-2022 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: [Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc
[Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2020/02/doan-quang-tien-nguyen-minh-tuan-ton.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2020/02/doan-quang-tien-nguyen-minh-tuan-ton.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN