[Doãn Quang Tiến, Nguyễn Minh Tuấn, Tôn Ngọc Minh Quân] Phương Trình Hàm Trên Tập Rời Rạc

Những bài toán phương trình hàm ngày nay đã trở nên rất phổ biến đối với các bạn học sinh yêu Toán vì chúng đã xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi các cấp cũng như kì thi chọn đội tuyển quốc gia, VMO hay các kì thi khu vực và quốc tế mà ta được biết đến. Đặc biệt, trong các lớp dạng phương trình hàm, thì dạng phương trình hàm trên các tập rời rạc là một mảng được ít các học sinh chú ý tới bởi độ khó và chưa được tiếp xúc nhiều đồng thời ngoài việc sử dụng các kĩ thuật xử lý phương trình hàm cơ bản chúng ta còn phải sử dụng các tính chất số học rất đặc sắc của tập rời rạc như là: tính chia hết, tính chất của số nguyên tố, của số chính phương,… Trong ebook này chúng tôi sẽ mang tới cho bạn đọc tuyển tập các bài toán phương trình hàm trên tập rời rạc và một số bài toán phương trình hàm khác hay và khó với những lời giải vô cùng đặc sắc nhằm giúp bạn đọc có thể có nhiều cách nhìn khác về mảng toán này đồng thời cũng như chuẩn bị cho các kì học sinh giỏi, olympic.

1. Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ và các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn điều kiện \[f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x)).\] Chứng minh rằng $f$ bị chặn.
2. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn \[f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x),\quad \left(1+\frac{1}{x}\right)f(x)=f(x+1) \] với mọi $x \in \mathbb{Q}^+$.
3. Cho $f$ là hàm số được xác định trên tập các số nguyên dương. Với bất kì $a,\ b >1$ và $d = \text{UCLN}\ (a,b)$ ta có \[f(ab)=f(d)\left(f\left(\frac{a}{d}\right)+f\left(\frac{b}{d}\right)\right) .\] Xác định các giá trị có thể của $f(2001)$.
4. Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$. 
5. Đặt $\mathbb{Q}^+$ là tập các số hữu tỉ dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn các điều kiện sau
• Nếu $ 0<q<1/2$ thì $ f(q)=1+f(q/(1-2q))$.
• Nếu $ 1<q\le2$ thì $ f(q)=1+f(q-1)$.
• $ f(q)\cdot f(1/q)=1$ với mọi $ q\in Q^+$.
6. Cho $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ là một song ánh và giả sử giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn $$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\phi(n)}{n}=L .$$ Tìm các giá trị có thể của $L$?
7. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $$f(xy)\gcd \left(f(x)f(y),f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right)=xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right),\quad  \forall x,y \in \mathbb{Q}^+$$
8. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn
• $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
• $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn$, $\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
9. Một số tự nhiên $p$ được gọi là 'hoàn hảo' nếu nó bằng tổng các ước dương của nó ngoại trừ chính nó. Xét hàm số $f(x)$ thỏa mãn
• $f(n)=0$ nếu $n$ là số 'hoàn hảo'
• $f(n)= 0$ nếu $n$ có chữ số tận cùng là $4$
• $f(ab)=f(a)+f(b)$. Tính $f(1998)$
10. Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn
• $g(1)=1$
• $\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
• $\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
• $\exists k$ sao cho $g(k)=2001$. Tìm số $k$ nhỏ nhất.
11. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau
    
    • Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
    • Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$.
    Lưu ý. mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở hai điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.
12. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+\Rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn
• $f(mn)=f(m)f(n)$, $\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
• $\left \{ 1,2,...,n \right \}=\left \{ f(1),f(2),...,f(n)\right \}$ với vô số số nguyên dương $n$
13. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1,\quad \forall x,y\in \mathbb{Q}$$
14. Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn
    
    • $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị $j$
    • $f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
    a) Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq 0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$.
    b) Tính $f(2^{1990})$.
15. Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(1)=1,\quad f(2n+1)=f(2n)+1,\quad f(2n)=3f(n).$$ Xác định tập giá trị của $f(x)$.
16. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y),\,\forall x,\,y\in \mathbb{N},\, x\geq y$$
17. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn $f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$
18. Hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập các số nguyên không âm và thỏa mãn $$f(n)=f(f(n+11))\,\forall n\leqslant 1999,\quad f(n)=n-5\,\forall n>1999.$$ Tìm tất cả các giá trị $n$ để $f(n)=1999$.
19. Xét hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn $$f(2x)=2f(x),\quad f(4x+1)=4f(x)+3,\quad f(4x-1)=2f(2x-1)-1.$$ Chứng minh $f$ đơn ánh.
20. Cho hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị thực, cho trước số nguyên $a$. Biết $$f(a)=f(1995),\, f(a+1)=f(1996),\, f(a+2)=f(1997),\quad f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1},\,\forall n.$$ a) Chứng minh $f(n+4a)=f(n)\,\forall n$. b) Tìm số $a$ nhỏ nhất.
21. Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn $$f(x+f(y))=f(x)-y\,\forall x,\,y$$
22. Xác định tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$
23. Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ sao cho với mọi số nguyên $a$, $b$ khác 0 thì $f(ab)\geq f(a)+f(b)$. Chứng minh với mọi số nguyên $a$ khác 0, ta luôn có $f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)=2f(a)$
24. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f(2)=2,\quad f(n)<f(n+1),\quad f(mn)=f(m)f(n),\,\forall m,n$$
25. Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn $$f_{(2003)}(n)=5n,\,\forall n$$ với $f_{(0)}(n)=f(n)$, $f_{(k)}(n)=f_{k-1}(n)$, $\forall k\in \mathbb{N}$.

DOWNLOAD