[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 9 Tỉnh Bắc Ninh 2018-2019

1. a) Rút gọn biểu thức sau với $a\geq 0$, $b>0$, $a\ne 2b$ $$P= \left(\frac{2(a+b)}{\sqrt{a^3}-2\sqrt{2b^3}}-\frac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{2ab}+2b}\right)\left(\frac{\sqrt{a^3}+2\sqrt{2b^3}}{2b+\sqrt{2ab}}-\sqrt{a}\right).$$ b) Cho hàm số $y = (m^2 - 4m - 4)x + 3m - 2$ có đồ thị là $d$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm $A$, $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích là $1 cm^2$ ($O$ là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là $cm$).
2. a) Cho phương trình ẩn $x$, tham số $m$ sau $$x^2 - (3m-2)x+2m^2-5m-3 = 0.$$ Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
   b) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}&= \sqrt{x}+\sqrt{x+2y} \\ x^3-3x+2 &= 2y^3-y^2\end{cases}$$
3. a) Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn các điều kiện $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P = \frac{a}{b+3c} + \frac{b}{a+3c} + \frac{ab}{bc+ca}.$$ b) Tìm số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p^3 - 4p +9$ là số chính phương
4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ $(AB < AC)$ và đường cao $AD$. Vẽ đường kính $AE$ của đường tròn $(O)$.
   a) Chứng minh rằng $AD\cdot AE = AB\cdot AC$.
   b) Vẽ dây $AF$ của đường tròn $(O)$ song song với $BC$, $EF$ cắt $AC$ tại $Q$, $BF$ cắt $AD$ tại $P$. Chứng minh rằng $PQ$ song song với $BC$.
   c) Gọi $K$ là giao điểm của $AE$ và $BC$. Chứng minh rằng $$AB\cdot AC - AD\cdot AK = \sqrt{BD\cdot BK\cdot CD\cdot CK}.$$
5. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC} = 90^\circ$, $\widehat{BAC} = 20^\circ$. Các điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các cạnh $AC$, $AB$ sao cho $\widehat{ABE} = 10^\circ$ và $\widehat{ACF} = 30^\circ$. Tính góc $\widehat{CFE}$. 
6. Trong kì thi Olympic có $17$ học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự nhiên trong khoảng từ $1$ đến $1000$. Chứng minh rằng có thể chọn ra $9$ học sinh thi Toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho $9$.

DOWNLOAD ĐÁP ÁN