$hide=mobile

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2019

Gặp gỡ Toán học là chương trình đặc biệt do Titan Education tổ chức thường niên nhằm giúp cho học sinh có cơ hội giao lưu, học hỏi những giảng viên có kinh nghiệm. Đã trải qua 11 năm, chương trình đã hỗ trợ không ít những bạn trẻ đam mê Toán học chinh phục những đỉnh cao tri thức của môn khoa học cơ bản này.

Bên cạnh những buổi học trên lớp, các bạn học sinh còn được thử thách bản thân với đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học. Đề thi này cũng là một công cụ không chỉ giúp cho các bạn đánh giá được năng lực của bản thân để từ đó phát triển mà còn là nguồn tham khảo đầy bổ ích cho độc giả yêu thích môn Toán.

Những trang tiếp sau đây là Đề thi và lời giải của Olympic Gặp gỡ Toán học 2019. Tuy chỉ gói gọn chưa đầy 30 trang nhưng đây có thể là nơi tiếp thêm cho bạn đọc sự hứng thú trên con đường học Toán của mình.

Khối 10

  1. Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $$2(a+b+c+d) \geq a b c d.$$ Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq a b c d.$$
  2. Cho dường tròn $(C)$ tâm $O$. $A$ là một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp ứng.
    a) Các đường thẳng $MN$ và $CD$ cắt nhau tại $P$. Chứng minh rằng $\angle BP C = 90^\circ$.
    b) Gọi $X$ là trung điểm của $BP$. $DX$ cắt lại $(C)$ tại $Y$. Chứng minh rằng $BY$ đi qua trung điểm của $A M$.
  3. Kí hiệu $S$ là tập hợp gồm $2019$ số nguyên dương đầu tiên. Phân chia tập $S$, một cách tùy ý, thành $454$ tập con khác rỗng. Chứng minh rằng, trong $454$ tập con đó, tồn tại một tập con có chứa ba sô, là độ dài ba canh của một tam giác.
  4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, số $$P=\prod_{i=0}^{n-1}\left(2^{n}-2^{i}\right)$$ chia hết cho $n !$.

Khối 11

  1. Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên thỏa mãn điều kiện $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$. Chứng minh rằng $abc$ là lập phương của môt số nguyên.
  2. Đăt $S=\{0,1,2, \ldots, 8\}$. Gọi $S[x]$ là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thuộc $S$. Tìm số tất cả các đa thức $P(x)$ thuộc $S[x]$ thỏa mãn điều kiện $P(3)=2019$.
  3. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn điều kiện $$f(x+f(y))=2 y+f(x)$$ với mọi các số thưc dương $x$, $y$.
  4. Cho tam giác $A B C$ có $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh $A$. $P$ là một điêm trên doạn $B C$. $M$, $N$ theo thú tự là tâm đưòng tròn nội tiếp các tam giác $P A B$ và $P A C$.
    a) Chứng minh rằng $B N$, $C M$ và $P J$ đồng quy.
    b) Trên các cạnh $A B$, $A C$ thứ tự lấy các điểm $R$, $S$ sao cho $B R=B P$ và $C S=C P$. $Q$ là đối xứng của $P$ qua $MN$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $QRS$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$.

Khối 12

  1. Cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên thoả mãn điều kiện $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=3$. Chứng minh rằng $abc$ là lập phương của một số nguyên.
  2. Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[a, b]$. Biết rằng tồn tại $c$ thuộc $(a, b)$ sao cho $f(c)=1$ và $c$ không phải là điểm cực trị. Chứng minh rằng tồn tại $a<x_{1}<x_{2}<b$ sao cho $f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)=1$.
  3. Cho tam giác nhọn $A B C$ có các đường cao $A D$, $B E$, $C F$ cắt nhau tại $H$. Trên các đoạn thẳng $B H$, $C H$ lần lượt lấy các điểm $K$ và $L$ sao cho $\angle A L B=\angle A K C=90^{\circ}$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BKD$, $C L D$ cắt nhau tại điểm thứ hai $X$.
    a) Chứng minh rằng tứ giác $H L X K$ nội tiếp.
    b) Chứng minh rằng tứ giác $HLXK$ là tứ giác điều hòa, tức là $\dfrac{K H}{L H}=\dfrac{K X}{L X}$.
  4. Cho bảng ô vuông kích thước $2018 \times 2019$ (bång gồm $2018$ hàng và $2019$ cột). Bạn Tí đánh dấu một số ô vuông con của bảng một cách tùy ý. Chứng minh rằng bạn Tèo có thế đánh dấu thêm không quá $4036$ ô vuông con sao cho tổng số ô vuông con được cả hai bạn đánh thế bằng $0$).

$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1641,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,86,HSG 12,580,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,125,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Đáp Án] Đề Thi Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2019
[Đáp Án] Đề Thi Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2019
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2020/01/de-thi-olympic-gap-go-toan-hoc-2019.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2020/01/de-thi-olympic-gap-go-toan-hoc-2019.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy