- Cho dãy Fibonaci $F_n$. Đặt $$P(x)=\left\{(m,n)|1 \leq m \leq n \leq x, (F_m,F_n)=1 \right \}.$$ Tính $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{P(x)}{x^2}$.
- Chứng minh dãy số sau đây có giới hạn và tìm giới hạn đó $$u_0 = 2011,\quad u_n = \dfrac{1}{2}\left( {u_{n - 1} + \dfrac{{216}}{{u_{n - 1}^2 }}} \right),\forall n \ge 1.$$
- Cho đường tròn bán kính $R= 1$. Trên tiếp tuyến tại một điểm $A$ của đường tròn, lấy điểm $T$ với $AT= 1$. Đường thẳng $d$ quay quanh $T$ cắt đường tròn tại $B$ và $C$. Xác định góc nhọn $\alpha$ giữa đương thẳng $d$ và tiếp tuyến $AT$ sao cho $\Delta ABC$ có diện tích lớn nhất.
- Cho $a,b,c$ là các số thực bất kì. Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca \mid a^{n}(b-c)+b^{n}(c-a)+c^{n}(a-b).$$
- Cho một góc nhọn $xOy$ nhỏ hơn $45^\circ$ và một đường tròn $(I)$ thuộc miền trong của góc nhọn đó. Hãy dựng điểm $M$ trên tia $Oy$, điểm $N$ trên tia $Ox$ và các điểm $A$, $B$ thuộc $(I)$ sao cho tổng $AM+BN+MN$ nhỏ nhất
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Phân giác trong $AD$ ($D$ trên cạnh $BC$). Hai điểm $P$, $Q$ trên cạnh $AD$ thoả mãn $\angle CBP=\angle ABQ$. $M$ là hình chiếu của $Q$ trên $BC$, $N$ đối xứng với $I$ qua $AD$. Chứng minh $MN \perp OP$
- Cho $a_{1}, a_{2},..., a_{n}\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n^{2},\quad a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\leq n^{3}+1.$$ Chứng minh $$n-1\leq a_{k}\leq n+1,\,\forall 1\leq k\leq n.$$
- Cho các đường tròn $(O_{1},R_{1})$, $(O_{2},R_{2})$ sao cho tiếp tuyến chung ngoài $M_{1}M_{2}$ vuông góc với tiếp tuyến chung trong $N_{1}N_{2}$ tại A. Gọi tiếp tuyến chung trong thứ hai là $P_{1}P_{2}$ (các tiếp điểm $M_{1},N_{1},P_{1}\in (O_{1})$ và các tiếp điểm $M_{2},N_{2},P_{2}\in (O_{2})$). Tính diện tích $\Delta AP_{1}P_{2}$ theo $R_{1},R_{2}$.
- Cho tam giác $ABC$. Một điểm $O$ nằm trong tam giác thỏa mãn $OA= OB + OC$. Gọi $Y$, $Z$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AOC$ và $AOB$ của đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AOC$ và $AOB$. Chứng minh rằng $(BOY)$ tiếp xúc với $(COZ)$.
- Cho $a_1,a_2,...,a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$, đặt $$m_k =\max_{1\le l\le k}\dfrac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}.$$ Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$, số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$
- Khảo sát sự hội tụ của dãy số $x_n$ với $$x_0 \geq 0,\quad x_{n+1}=\frac{6}{2+x_n^2},\,\forall n \geq 0$$
- Cho $P(x)\in \mathbb{Z}[x], \text{deg}P\geq 2$. Chứng minh rằng Tồn tại $m\in \mathbb{Z^+}$ để $P(m!)$ là hợp số.
- Cho hai tam giác $ABC$ ($AB=AC$) và $DEF$ ($DE=DF$) trong đó $B$, $C$, $E$, $F$ thẳng hàng, $BC>EF$. Hãy vẽ một đường thẳng song song với $BC$ sao cho hai đoạn thẳng bị hai cạnh bên của mỗi tam giác cắt ra là bằng nhau.
- Chứng minh rằng với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có $$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$$
- Xét khai triển hàm số sau $$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+.....$$ Chứng minh với mỗi số thực $x$, ta có $$\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1.$$
- Chứng minh $$[kx]+\left[x+\frac{k}{k+1}\right]= [kx+x]\quad (k\in\mathbb{N})$$
- Một tỷ phú có $100$ chiếc xe hơi đắt tiền. Cứ mỗi ngày anh ta chọn ngẫu nhiên một chiếc để sử dụng. Tính xác suất để trong $100$ ngày liên tiếp có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ lần trở lên ?
- Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$ thỏa mãn $$a_{1}+a_{2}\leq 2002,\quad a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002.$$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$S=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{100}^{2}.$$ Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng.
- Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.
- Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi $S$ là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của $S$ có tổng bằng nhau. Tìm giá trị lớn nhất của tổng $S$?
- Cho dãy số thực $x_{n}$ được xác định bởi $$x_{0}=1,\quad x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}} ,\, \forall n\in \mathbb N.$$ Ta xác định dãy $y_{n}$ bởi công thức $$y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i},\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}.$$ Tìm công thức tổng quát của dãy $y_{n}$
- Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$, $O$ là tâm tỉ cự hệ điểm $(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ với hệ số $(1,1,...,1)$. Đặt $d=OA_{1}+OA_{2}+...+OA_{n}$, $p$ là chu vi đa giác. Chứng minh rằnga) Nếu $n$ chẵn thì $\dfrac{4}{n}d\geq p$.b) Nếu n lẻ thì $p\geq \dfrac{4nd}{n-1}$
- Cho $a_i\ge 1$, $i=1,2,...,n$. Chứng minh rằng $$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$
- Cho $p\in \mathbb{R}^+$ và $k\in \mathbb{R}^+$. Giả sử đa thức $$F(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+k^4$$ với các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh $$F(p)\ge (p+k)^4.$$
- Cho $n$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<....<a_n<2n$ thỏa mãn $$a_i \not | \ a_j \forall i\neq j.$$ Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[\log_{3}(2n)]}$ (với [ ] là kí hiệu phần nguyên)
- Cho $a,b,c$ là ba cạnh tam giác và $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$(x+y+z)\left (\dfrac{xc^2}{a^2}+\dfrac{ya^2}{b^2}+\dfrac{zb^2}{c^2} \right ) \geq \left (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \right ) (a^2yz+b^2zx+c^2xy)$$
- Cho $ABC$ là một tam giác và $M$, $N$, $P$ các điểm nằm trên cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Lấy $\Delta_A$, $\Delta_B$, $\Delta_C$ là các đường thẳng đi qua $M$, $N$, $P$ và $\widehat{BM\Delta_A}=\alpha$, $\widehat{CN\Delta_B}=\beta$, $\widehat{AN\Delta_C}=\theta$ (các góc nằm trong tam giác) sao cho $\alpha+\beta+\theta=270^\circ$. Tìm điều kiện cần và đủ của mệnh đề sau: "$\Delta_A, \Delta_B, \Delta_C$ đồng quy".
- Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$. Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$
- Ở 1 xứ sở nọ nơi cách rất xa nơi chúng ta đang ở, nơi Mọt Toán sinh sống, các Mọt Toán có hình dạng là 1 dãy các khoang trắng và đen. 1 Mọt Toán được gọi là "đẹp" nếu chỉ gồm toàn các khoang trắng. Việc làm đẹp (tẩy trắng) 1 Mọt Toán được tiến hành như sau : Nếu khoang cuối của Mọt có màu đen, bác sĩ có thể cắt bỏ và ghép 1 khoang màu trắng hoặc đen tùy ý lên đầu con Mọt, nếu khoang cuối của nó màu trắng, thì khoang cuối này sẽ tự biến mất và Mọt Toán tự mọc thêm vào trên đầu 1 khoang (nhưng bác sĩ không biết được là trắng hay đen). Mặc dù quá trình tẩy trắng phức tạp như vậy nhưng Bác Sĩ Cuội vẫn khắng định có thể làm đẹp 1 mọt toán bất kì. Hỏi bác sĩ nói có đúng không?.
- Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ ta đều có $P(n)$ là ước của $2^n-1$.
- Cho trước số nguyên dương $n $. Xét tập hợp $\mathcal{M} \ = \ \{ 1 ; 2 ; ....; n^2 + n +1 \}$. Gọi $ \mathcal{F}$ là $ 1$ tập hợp chứa $1$ số tập con $ \mathcal{X} $ của $ \mathcal{M}$, những tập con này thỏa mãn $ | \mathcal{X} | \ \ > n^2$. Biết rằng với mỗi số nguyên dương $x \ \in \ \mathcal{M} $, có nhiều hơn $n^2 $ tập con $ \mathcal{X}_i $ thỏa mãn $x \ \in \ \mathcal{X}_i $. Chứng minh rằng tồn tại $ 2$ tập hợp $ \mathcal{A}, \mathcal{B} \ \in \ \mathcal{F} $ sao cho $ \mathcal{A} \bigcup \mathcal{B} = \mathcal{M} $
- Cho vài (hoặc tất cả) các số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ bằng $+1$ và các số còn lại của chúng bằng $-1$. Chứng tỏ rằng $$2\sin \left(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^{2}}+...+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-1}}\right).45 \\ =a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+...+a_{n}{\sqrt{2}}}}}$$
- Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $x$ là số thực dương. Chứng minh rằng $$\frac{a^x-b^x}{a+b}+\frac{b^x-c^x}{b+c}+\frac{c^x-a^x}{c+a} \geq 0$$
- Gọi $x_i$ là nghiệm của bất phương trình $$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0$$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5$ với $i = 1, 2, ..., n$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$
- Cho $a$, $b$, $m$, $n$ nguyên dương $(a,b)=1$, $m>n$ sao cho $a^{m}-b^{m}$ và $a^{n}-b^{n}$ có cùng tập ước nguyên tố. Chứng minh rằng $n\mid m$ và $\dfrac{m}{n}= 2^{s}$ với $s$ tự nhiên.
- Cho tam giác $ABC$. $M$ bất kì trong tam giác. Chứng minh rằng $$a.MB.MC+b.MC.MA+c.MA.MB \geq abc $$
- Cho dãy số nguyên dương $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_{n+2}=\left\lfloor \frac{2a_n}{a_{n+1}} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right\rfloor$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m=4$ và $a_{m+1} \in \{3;4 \}$.
- Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đa thức $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k$ có đúng $n$ nghiệm thực.
- Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ (n = 1, 2, ...) được xác định thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
- $x_{n}=1$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số lẻ
- $x_{n}=0$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số chẵn (trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
Tính tổng sau $S=x_{1975}+x_{1976}+...+x_{2015}$. - Cho đa thức $P(x)=a_0 +a_1x+...+a_nx^n$ có $n$ nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p$ mà $p>n$ thì đa thức $$G(x)=a_0 +p.a_1x+p(p-1).a_2x^2+...+p(p-1)...(p-n+1)a_nx^n$$ cũng có $n$ nghiệm thực phân biệt.
- Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. $S$ là một điểm trên $(O)$ khác $A_i$ $(i=1,2,...,n)$. Xét phép quay $S$ biến $A_i \mapsto B_i$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy.
- Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $$\begin{align}(x_1,x_2,...,x_n,y)&=1\\ a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n& =yx_1\\ a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n&=yx_2 \\ ... ... ... ... ... ... ... ... & ... ...\\ a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n& = yx_n \end{align}$$
- Cho tam giác $ABC$. Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ tại $M$, $N$, $P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A$, $B$, $C$ tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$. Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B'$, $C'$. Gọi $A''$, $B''$, $C''$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP$, $PM$, $MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A''$, $B''$, $C''$ thứ tự song song với $A'D$, $B'E$, $C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$.
- Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và dãy $\{a_n\}_{(n\geq 0)}$ xác định bởi $$a_0=0,a_1=1,a_2=2,...,a_{p-2}=p-2,\,\forall n\geq p-1,$$ $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ sao cho trong dãy $\{a_n\}$ không có dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng. Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$
- Cho $P_1,P_2,...,P_n$ là $n$ điểm trên mặt phẳng. $A=\, \{M\, | \, MP_1.MP_2....MP_n\leq 1\}$. Chứng minh có thể phủ $A$ bởi $n$ hình tròn có tổng bán kính $\leq 6$.
- Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn $$u_{0}=\frac{1}{2},\quad u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1}.$$ Tìm $\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_{n}$.
- Cho $a,b \in \mathbb{N}$. Tìm hàm số $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ sao cho $$f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$$
- Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương $n$ thoả mãn $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $
- Chứng minh rằng dãy ${u_n}$ tuần hoàn (cộng tính) chu kì $2$ khi và chỉ khi dãy có dạng $${u_n}=\frac{1}{2}(a+b+(a-b)(-1)^{n+1})$$ với $a$, $b$ là các số thực.
- Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và hai số thực $\alpha,\beta \ge 1$. Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$
- Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn $$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$$ trong đó $a$ là số thực cho trước.
- Chứng minh rằng không tồn tại $n\in \mathbb{N}$ sao cho $$10^{3n+1}=a^{3}+b^{3}$$ với $a,b\in \mathbb{N}^*$.
- Cho số nguyên $n > 1$. Chứng minh rằng $$\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2^2} +... +\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \pi .\frac{n^2}{4}$$
- Gọi $n$ là số nguyên dương và $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau: với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và $$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } .$$ Chứng minh rằng với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho $ x_{j} = y_{i} $ và $ y_{j} = x_{i}$.
- Xét bảng ô vuông $4\times 4 $. Ngưòi ta điền vào mỗi ô của bảng một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách?
- Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có $n$ nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ thỏa mãn $$x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}.$$ Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$.
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(\omega )$. $I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$. $AI$, $BI$, $CI$ cắt $(\omega )$ ở $A'$, $B'$, $C'$. $M$ thuộc cạnh $AB$. Đường qua $M$ song song $AI$ cắt đường qua $B$ vuông góc $BI$ ở $A_{1}$. Đường qua $M$ song song $BI$ cắt đường qua $A$ vuông góc $AI$ ở $B_{1}$. Chứng minh rằng $A'A_{1}$, $B'B_{1}$, $C'M$ đồng quy.
- Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ thỏa mãn $$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$$
- Cho các số nguyên tố $ p$, $q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện $$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r.$$ Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho $$ \sum_{i=1}^{r} a^{\frac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \pmod p.$$ Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$
- Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ ($n$ dấu ngoặc). Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$
- Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. Chứng minh $\exists i,j$ $(1 \le i < j \le n)$ để $$\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j} \right |\leq 2$$
- Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn với mọi số nguyên dương $n$, $P(n)$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh tồn tại hai đa thức với hệ số hữu tỉ $P_{1}(x)$ và $P_{2}(x)$ sao cho $$P(x)=P_{1}(x)^{2}+P_{2}(x)^{2}$$
- Cho dãy $a_1,a_2,...,a_{2006}$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $a$ có tính chất $a-2006=\sum\limits_{i=1}^{2006}b_ia_i$ với $b_i$ là ước của $a$.
- Cho $k,n \geqslant 1$ là các số tự nhiên và $A$ là tập hợp gồm $(k-1)n+1$ số nguyên dương, mỗi số này đều không vượt quá $kn$. Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$. ($k$ phần tử này không nhất thiết phải khác nhau)
- Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O)$. $E$, $F$ thay đổi trên $AC$, $AB$ sao cho tứ giác $EFBC$ nội tiếp. Kí hiệu $(w)$ chỉ đường tròn tâm $B$ bán kính $BE$.$(w)$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CF$ tại hai điểm $M, N$. $(w)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $U$, $V$. $UV$ cắt $ MN$ tại $I$. Chứng minh rằng $AI$ luôn đi qua điểm cố định.
- Có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa $$x_{1}=x_{2014}=1,\quad x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1},\,(i=\overline{1,2013})$$
- Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng $2$. Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$
- Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả mãn $$f(x^2+yf(x))+f(y^2+xf(y))=(x+f(y))(y+f(x)),\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$
- Biện luận theo $n$ ($n$ nguyên dương) và $a$ ($a$ là số thực) về số nghiệm của phương trình $$x^{n}-[x+n]=a.$$
- Trong hình chữ nhật có kích thước $1\times 2$ lấy $6n^2+1$ điểm ($n\in \mathbb{N}^*$). Chứng minh rằng tồn tại $1$ đường tròn có bán kính là $\dfrac{1}{n}$ chứa không ít hơn $4$ trong số các điểm đã cho.
- Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thoả mãn nếu $a,b$ là các số tự nhiên thoả mãn $a+b$ chính phương thì $P(a)+P(b)$ cũng là số chính phương.
- Với mỗi tập hợp $X$ các số nguyên dương, ta kí hiệu $S_X$ thay cho tổng các phần tử của $X$. Một tập $A$ các số nguyên dương được gọi là tập "nguyên tố" nếu với mọi tập con thực sự $B$ khác rỗng của $A$ thì $\gcd\left( S_A,S_B\right) =1$. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $$\left\{ (a+b)^2,(a+2b)^2,\ldots ,(a+nb)^2\right\}$$ là một tập "nguyên tố".
- Cho tam giác $ABC$ có $F$, $L$ là hai điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $AF=LC< \dfrac{AC}{2}$. Giả sử $$AB^2+BC^2=AL^2+LC^2.$$ Tính số đo góc $\widehat{FBL}$.
- Chứng minh rằng tồn tại dãy số $(a_{n})$ thỏa mãn
- $\exists c_{1},c_{2} \in \mathbb{R}: c_{1} \leq a_{n} \leq c_{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*};$
- $\forall m,n \in \mathbb{N}^{*},m \neq n, |a_{m}-a_{n}| \geq \dfrac{1}{m-n}.$
- Chứng minh rằng $$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0.$$
- Cho dãy $S_n$ như sau $$S_1=a_1+a_2+...,\, S_2=a_1 a_2+.... , ....,\quad S_n=a_1 a_2 ... a_n$$ với $a_1 ,a_2 ....\in [0;1]$. Chứng minh bất đẳng thức sau $$\frac{1}{1+S_1}+\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{2i+2}.S_{2i+1}\leq 1+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}.S_{2i}$$
- Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $X$, $Y$, $Z$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $A$, $B$, $C$. $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng $XM$, $YN$, $ZP$ đồng quy.
- Cho $\sum_{i=1}^{1990}|x_i-x_{i+1}|=1991$. Đặt $s_n=\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$A=|s_1-s_2|+|s_2-s_3|+...+|s_{1990}-s_{1991}|$$
- Tất cả các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự $$p_{1} =2,\,p_{2} =3,\,p_{3}=5,....$$ Tìm tất cả các cặp số nguyên $a$, $b$ với $ a-b\geq 2$ mà $p_{a}-p_{b}\vdots 2(a-b)$.
- Cho $2\mid n$, $n\geq 4$, $A \subset \{1;2;,,,,;n\}$. Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với
- $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$,
- $a_i\in \{-1;0;1\}$,
- $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$,
- $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$.
Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$. Tìm $\max |A|$ sao cho $A$ "tốt". - Cho dãy số xác định bởi $$x_1=1,\quad x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.
- Trong một trận đấu bóng đá có $2n+1$ đội tham gia và đá theo thể thức vòng tròn một lượt . Một tập $3$ đội được gọi là tốt nếu tập đó tuân theo điều kiện: $A$ thắng $B$, $B$ thắng $C$, $C$ thắng $A$. Tìm số lớn nhất các tập tốt trong trận bóng đá đó .
- Tìm hàm $f:\mathbb R\to \mathbb R$ thỏa mãn $$f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in \mathbb R.$$
- Cho $a,b,c$ là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng $$c\left[\frac{c}{ab}\right]- \left[\frac{c}{a}\right]\left[\frac{c}{b}\right] \leq c\min\left\{\frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\right\}.$$
- Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có $n$ nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ thỏa mãn $$x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}.$$ Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$.
- Giả sử trong tập hữu hạn $X$ chọn được $50$ tập con $A_1,A_2,A_3,...,A_{50},$ mà mỗi tập con này đều chứa quá nửa số phần tử của tập $X.$ Tìm số tự nhiên $k$ bé nhất sao cho tồn tại tập con $B$ của $X$ sao cho $B$ có $k$ phần tử và $B\ \cap\ A_i\geq 1\ (1\leq i\leq50).$
- Cho $a,b>1$ là các số nguyên dương. Dãy $(x_n)_{n=0}^{+\infty}$ thỏa mãn $$x_0=0,x_1=1,\quad x_{2n}=ax_{2n-1}-x_{2n-2},\,x_{2n+1}=bx_{2n}-x_{2n-1},\,\forall n\in \mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng với mọi $m,n\in \mathbb{N}^*$ thì $$x_mx_{m-1}\mid x_{n+m}x_{n+m-1}\ldots x_{n+1}$$
- Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$. Chứng minh$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$
- Cho $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_j$ là các điểm nằm trên mặt cầu bán kính $1$. Chứng minh rằng $$\max\min_{1\leq i,j\leq 5}A_{i,j}\leq \sqrt{2}.$$ Tìm tất cả các vị trí của $A_i$ $(i=1,2,3,4,5)$ để dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên.
- Cho dãy số thực $u_1,u_2,...u_n$ chứng minh tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $$\left | \sum\limits_{i=1}^ku_i-\sum\limits_{i={k+1}}^{n}u_i \right |\le \max\limits_{1\le i\le n}|u_i|$$
- Cho $f$ là hàm đa thức xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $$f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1),\,\forall n \in \mathbb{R}.$$ Chứng minh rằng dãy $\left \{ f(n) \right \}_n$ là một cấp số cộng.
- Trong một hình vuông cạnh $100$ đặt $n$ đường tròn bán kính $1$ biết rằng bất kì một đoạn thẳng độ dài $10$ nào nằm hoàn toàn trong hình vuông cũng cắt ít nhất một đường tròn đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.
- Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ đều tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $$k\cdot 5^n=\overline{a_n.a_{n-1}...a_2a_1}$$ viết trong hệ thập phân thỏa $i$ và $a_i$ cùng tính chẵn lẻ với $i=\overline{1,n}$.
Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 5)
This article has views,