Tuyển Sinh 2022-2023

Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 4)

  1. Tìm $b$ sao cho với mọi $a$ ta đều tìm được $c$ để hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases} ax + y &= b-1\\ x + ay &= c^2 + 2c \end{cases}.$$
  2. Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right),\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$
  3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$.
    a) Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2.$$ Tìm toạ độ $y_n$.
    b) Tìm toạ độ của điểm $P$
  4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ và $Q$ là hai điểm bất kì thỏa mãn $P$, $O$, $Q$ thẳng hàng. Giả sử $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ lần lượt là các giao điểm của $AQ$, $BQ$, $CQ$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp các tam giác $PA_{1}A_{2},PB_{1}B_{2},PC_{1}C_{2}$ thẳng hàng.
  5. Cho dãy số thực $(x_k)$ thỏa mãn $$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}, \forall m, n \geq 1.$$ Chứng minh rằng $(x_k)$ lập thành 1 cấp số cộng.
  6. Cho tam giác $ABC$.$(AB<AC)$.$D$ cố định trên $BC$. Một điểm $P$ di động trên $AD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn hệ thức $$\frac{EC}{EB}=\frac{PD}{PA}+\frac{DB.DC}{AP.AD}.$$ Gọi $F$ là giao điểm của $(ABP)$ và $AC$ khác $A$. Đường tròn $(CEF)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $G$ khác $C$. Chứng minh rằng khi $P$ di chuyển trên $AD$ thì $EG$ luôn đi qua một điểm cố định.
  7. Cho $a,b,c,d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng $$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$
  8. Cho $a,b,c$ lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC$. Nhận dạng tam giác $ABC$ nếu $$a^3\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+b^3\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A}{2}}+c^3\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}=\frac{3\sqrt{3}abc}{4}$$
  9. Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn $$ \sum_{ k =1 }^{ + \infty } a_k < + \infty,\quad \sum_{ k =1 }^{ + \infty } \sum_{ j =k }^{ + \infty } a_j < + \infty $$ với $p>1$ là số thực dương cho trước. Tính giới hạn $$ \lim_{n \to + \infty } \dfrac{1}{n} \sum_{ k =1 }^{ n } k^{ \frac{2}{p} -1} \sum_{ j =k }^{ 2k-1 } (a_j)^{1/p}$$
  10. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và các cạnh $a,b,c$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $H$ đến các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng $$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$$
  11. Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $$xyz \leq 2,\quad \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} <k.$$ Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq 2$ sao cho $x,y,z$ là ba cạnh của tam giác.
  12. Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $$x_0=1,\,x_i\geqslant 0,\quad x_i \leqslant x_{i+1}+x_{i+2},\,i=0,1,...,n.$$ Cho $f_{n}$ là dãy Fibonaci. Chứng minh $$ \sum_{i=0}^{n}x_i\geqslant \frac{f_{n+2}-1}{f_n}.$$
  13. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$$
  14. Cho $$(P):2x-y+2z-1=0,\quad (Q):2x-y+2z+5=0$$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm giữa $(P)$ và $(Q)$. Mặt cầu $(S)$ di động qua $A$, tiếp xúc cả $(P)$ và $(Q)$. Chứng minh rằng $(S)$ có tâm $I$ ở trên hai đường tròn cố định.
  15. Xác định đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa $$\sin P\left( x \right) = P\left( {\sin x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$$
  16. Ở một cuộc đua ngựa có 20 con chia đều cho 2 người làm chủ. Các con được xếp thứ tự theo độ nhanh của nó. Người thứ nhất giữ các con 1, 5, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19, 20. Mỗi lần đua 2 người sẽ đưa ra một con ngựa của mình. Nếu thắng thì được 3 điểm, thua bị trừ 1 điểm. Nếu thắng 2 trận liên tiếp nhau thì được cộng thêm 3 điểm, nếu thua liên tiếp 2 trận thì trừ thêm 2 điểm. Người thứ nhất cho các con ngựa của mình thi đấu lần lượt theo số thứ tự của nó. Hỏi có cách nào giúp người thứ hai thắng không?
  17. Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$. Tìm tập hợp các số phức thỏa $$|z-a|-|z+a|=2c$$
  18. Cho đường tròn $(O,13)$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cố định ko cắt nhau. Xét điểm $I$ trên đoạn $CD$. Cho $AI$, $BI$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $AF$, $BE$ cắt $CD$ tại $M$, $N$. BIết $ID = 10$, $IN = 6$ và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây $CD$.
  19. Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$
  20. Người ta đánh giá hiệu suất của một thang máy của một tòa nhà $n$ tầng $(n>2)$ bằng tỉ số $T=\dfrac{1}{t_2.t_n}$. Trong đó độ cao các tầng được xem là bằng nhau, $t_n$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $n$ (không dừng giữa hành trình), $t_2$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $2$ (tất cả không tính thời gian đóng mở cửa). Người ta mong muốn tỉ số $T$ này càng lớn càng tốt, nhưng vẫn phải đảm bảo độ "êm ái" và độ "say" trong giới hạn cho phép. Độ êm ái là yêu cầu "trơn" về đồ thị của vận tốc (nghĩa là hàm vận tốc khả vi khắp hành trình) Độ "say" $\Delta a$ là ngưỡng thay đổi về gia tốc mà cơ thể cảm nhận được trong quá trình thang máy di chuyển. Ngưỡng này được quy định $\left|\Delta a\right| \leq 1\, m/{s^2}$ (nghĩa là không vượt quá $1/{10}$ gia tốc trọng trường, lấy $g=10\,m/s^2$). Một tòa nhà $11$ tầng (có thang máy với $11$ điểm dừng) độ cao giữa các tầng là $4\,m$. Biết rằng hiệu suất $T$ của thang máy đạt giá trị lớn nhất. Tính $T$.
  21. Alex và Mary thay nhau viết các chữ số 0 hay 1 cho đến khi mỗi người viết được 2001 chữ số. Mary sẽ là người thắng cuộc nếu cô ấy viết được một số trong biểu diễn nhị phân sao cho số đó không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương. Chứng mình rằng Mary có chiến thuật để bảo đảm thắng cuộc chơi.
  22. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm min của $$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx}\right)$$
  23. Cho hàm số $$y = x^4 - 2mx^2 + 2m + 1.$$Tìm các điểm $A$ trên $Oy$ mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến $( C )$
  24. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$$
  25. Cho hình bình hành $ABCD$. Tia phân giác góc $BAD$ cắt các đường thẳng $BC$, $DC$ lần lượt tại $M$, $N$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ và $CMN.$ Tính số đo góc $AEC$.
  26. Cho $X=\{1;2;...;n\};Y=\{a_1;...;a_m\}$. Tìm số ánh xạ $f:X \to Y$
  27. Cho $a$ là một số nguyên lớn hơn $1$, và $f$ là một đa thức có bậc dương và có mọi hệ số là các số nguyên không âm. Với $n\geq 1$, đặt $$S\left(n\right) = \left\{ f\left( 1\right),\dots, f\left ( n\right)\right\}.$$ Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $S\left(n\right)$ có thể được chia thành $a$ tập hợp con sao cho tổng các phần tử trong mỗi tập hợp là bằng nhau.
  28. Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$. Các điểm $D$, $E$, $F$ thứ tự trên các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ sao cho $AD=DB.BE=\frac{1}{2}EC$ và $CF=\frac{1}{3}FA$. Các đoạn thẳng $AE$, $BF$, $CD$ cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó theo $S$.
  29. Xác định xác suất để phương trình $x^2 +2ax +b =9$ có hai nghiệm thực, nếu các hệ số $a$ và $b$ được chọn đồng khả năng từ hình vuông $|a|\le 1$, $|b|\le 1$.
  30. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)
  31. Tìm các số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho $x^x$ có $y$ chữ số, còn $y^y$ có $x$ chữ số.
  32. Một máy bay xuất phát từ thành phố $A$ bay thẳng một quãng đường ngắn hơn nửa chu vi Quả Đất đến thành phố $B$, rẽ trái 60 độ, bay tiếp quãng đường bằng quãng đường $AB$ đến thành phố $C$, lại rẽ trái 60 độ, lại bay tiếp quãng đường bằng quãng đường $AB$ nữa đến thành phố $D$, lại rẽ trái 60 độ lần nữa, cuối cùng bay nốt quãng đường bằng quãng đường $AB$ nữa thì trở về thành phố $A$. Biết bán kính Quả Đất là 6370 km, hỏi máy bay đã bay được cả thảy bao nhiêu km?
  33. Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?
  34. Cho $a, b, c, x, y, z \geq 0$ thoả $$\begin{cases} cy + bz &= a \\ az + cx &= b \\ bx + ay &= c \end{cases}.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P = \dfrac{x^2}{1 + x} + \dfrac{y^2}{1 + y} + \dfrac{z^2}{1 + z}$$
  35. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=5$, $BC=6$, $CD=7$, $DA=8$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$. Từ đó tổng quát hóa bài toán trên.
  36. Cho tập $S$ gồm $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho không có 8 điểm nào thẳng hàng và có không nhiều hơn 91 khoảng cách khác nhau nối các điểm thuộc S. Chứng minh $n\le 2004$
  37. Chứng minh rằng trong 99 số sau $$K+1,\, K+2,\,K+3,\,\ldots,\,K+99$$ có ít nhất 66 hợp số ($K$ nguyên)
  38. Tìm $m$ để hàm số $$y= \sqrt{2x-3m+4} - \dfrac{x-2m}{x+m-1}$$ có miền xác định là $D = (0;+ \infty )$.
  39. Hàm $f(x;y)$ xác định với mọi số tự nhiên $x,y$ thỏa $$\begin{cases}f(0,y) &= y + 1\\ f(x + 1,0) &= f(x,1)\\ f(x + 1,y + 1) &= f(x,f(x + 1,y)) \end{cases}.$$ Tìm $f(4;2004)$.
  40. Cho tam giác $ABC$ có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $C_1, B_1$ là trung điểm của $AB$, AC$; $B_2$, $C_2$ là giao của $IC_1$ với $AC$, $IB_1$ với $AB$. Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$.
  41. Cho $m$ là số nguyên dương. Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$ như sau $$a_0=1,\,a_1=m,\,a_{m+1}=m^2a_n-a_{n-1},\ \forall n=1,2.....$$ Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$ với $a \leq b$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$ khi và chỉ khi $(a,b)=(a_n,a_{n+1})$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.
  42. Số nguyên dương $N$ được gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn $N$ đều là tổng của các ước dương phân biệt của $N$. Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.
  43. Chuỗi số sau hội tụ khi nào $$\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \dfrac{1}{n^p}\tan\dfrac{1}{n^q}.$$ Điều kiện $p>0, q>0.$
  44. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm $max$ của $$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$$
  45. Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a$, $SB=b$, $SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u$, $v$, $w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA$, $SB$, $SC$. Chứng minh rằng $$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$
  46. Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1),P(2),...$ nguyên tố cùng nhau với $k$. Chứng minh có tối thiểu $71%$ đa thức trong $S$ là 'đẹp'.
  47. Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $$6xyz+30xy+21xz+2yz+105 x+10y+7z = 812.$$ Tìm $x+y+z$.
  48. Giải phương trình: $$\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\cos \frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$$
  49. Cho $\Delta ABC$ có đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Đường thẳng $GH$ cắt đường thẳng qua $A$ song song $BC$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Qua $M$ vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ cắt $AL$ tại $X$. Chứng minh rằng $$XA=XL \Leftrightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{b+c}{2a+b+c}$$
  50. Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.
  51. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng $$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$
  52. Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Hai đường thẳng $d$ và $d'$ bất kì qua $H$. $d$ cắt $AB$, $BC$, $CA$ tại $C'$, $A'$, $B'$ và $d'$ cắt $AB$, $BC$, $CA$ tại $C''$, $A''$, $B''$. Gọi tâm của $(HA'A'')$, $(HB'B'')$, $(HC'C'')$ là $ O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$. $HO_{1}$, $HO_{2}$, $HO_{3}$ cắt $A'A''$, $B'B''$, $C'C''$ tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $M$, $N$, $P$ thẳng hàng
  53. Cho $p$ là số nguyên tố. Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} }\left[ \dfrac{k^2}{p}\right]$ với $p \equiv 1\pmod4 $ ($[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
  54. Giả sử rằng đa thức $ P(x) $ có hệ số nguyên, nhận giá trị bằng $2$  ứng với $4$ giá trị $x$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh $ P(x) $ không thể nhận các giá trị $1,3,5,7,9$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$
  55. Có tồn tại hay không tứ diện với tọa độ các đỉnh là số nguyên, và diện tích của bốn mặt là số vô tỷ?.
  56. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số $0$ và $7$.
  57. Cho hình thang $ABCD$ biết $AD=3BC$, $AB$ đi qua điểm $M(-12;0)$, $C(2 ; -5)$, $AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB$, $AD$ biết diện tích $ABCD$ là $50$, $AB$ không song song với $Ox$, $Oy$.
  58. Cho đường tròn $$\left(C\right): x^{2} + y^{2}-6x+2y-15=0.$$Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d: 3x-2y-6=0$ sao cho từ $M$ kẻ tới $\left(C\right)$ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ ($A$, $B$ là tiếp điểm) mà $AB$ đi qua điểm $C(0;1)$.
  59. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng $d: x+7y-31=0$. Điểm $N(7;7)$ thuộc đường thẳng $AC$, điểm $M(2;-3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn $AB$.
  60. Viết liên tiếp các số tự nhiên từ $1$ đến $2007$ để tạo thành $1$ số tự nhiên. Ta thực hiện thuật toán đơn giản như sau
    • Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo cho đến hết ta đc 1 số mới
    • Tiếp tục tác động lên số mới bước làm giống như trên cho đến khi ta đc kết quả là 1 số có 1 chữ số.
    Hãy tìm số có 1 chữ số đó.
  61. Giả sử $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$ với mọi số thực $x$. Chứng minh rằng $$\left | b^2-4ac \right |\geq 4$$
  62. Cho hàm số xác định trên tập $\mathbb{N}^*$ và thỏa mãn $$f(n+1)=n(-1)^{n+1} -2f(n),\quad f(1)=f(2005).$$ Tính tổng $$S= \sum\limits_{k=1}^{2006} f(k).$$
  63. Hãy tính $$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{2^k}}}{{\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{k - i}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^i}} }}}.$$
  64. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$$
  65. Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ thỏa mãn $$\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right ).$$ Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$
  66. Cho $n$ là số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$
  67. Cho $(P): y=x^{2}$ ; $d$ là tuyếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ .Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi $(P) ; d $; và trục $Ox$ .Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi $(H)$ quay quanh $Ox$.
  68. Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng $$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$$
  69. Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và hai tham số $m, n$ sao cho $$\begin{cases}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) &\ne 0 \\xy+yz+zx &=0 \\(x+y+z)^3 &=nxyz \end{cases}.$$ Tính giá trị của $$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$
  70. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases}x^2\sqrt{y+1}-2xy-2x&=1 \\ x^3-3x-3xy&=m+2\end{cases}.$$
  71. Cho $a_1,a_2,. . .,a_n$; $x_1,x_2,. . .,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\displaystyle{\sum_{i=1}^n{x_i}=1}$. Chứng minh rằng $$(n-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n({x_i\prod_{j\ne i}{a_j}})\leq \left(\sum_{i=1}^n{(1-x_i)a_i}\right)^{n-1}$$
  72. Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5. Chứng minh $d$ chẵn.
  73. Chỉ ra rằng nếu đơn đồ thị vô hướng có k thành phần liên thông với số đỉnh tương ứng là $n_1,...n_k$ thì số cạnh của $G$ không vượt quá $\sum\limits_{i=1}^kC_{n_i}^2$
  74. Cho 1 tam giác đều được chia thành $n^2$ tam giác đều bằng nhau. Một trong số đó được đánh số bởi 1,2,3,…,m sao cho các tam giác với các số liên tiếp phải có cạnh chung. Chứng minh rằng $m\geq n^2-n+1$
  75. Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci. Chứng minh đẳng thức Catalan $$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2\quad (1 \le k \le n)$$
  76. Cho $P,Q,R$ là các đa thức phức thỏa mãn $$P^a+Q^b=R^c$$ với $a,b,c$ là các số tự nhiên. Chứng minh rằng $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >1$$
  77. Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau $$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$$ với $p=\dfrac{a+b+c}{2}$
  78. Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $\tan (\frac{5\pi }{12}+\alpha)$ là số hạng giửa của cấp số nhân gồm 3 số hạng: $\tan \frac{5\pi }{12}$, $\tan (\frac{5\pi }{12}+\alpha)$, $\tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$.
  79. Gọi $A$ là ma trận kề biểu diễn đồ thị $G$. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.
  80. Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
  81. Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$. Ký hiệu $$\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$
  82. Cho $F_1,F_2,\cdots $ là dãy xác định bởi $$F_1=1,\,F_2=1,\,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \ n\ge 3.$$ Chứng minh $$\sqrt{\frac{F_{n+3}}{F_n}}+\sqrt{\frac{F_n+F_{n+2}}{F_{n+1}}}>1+2\left(\sqrt{\frac{F_n}{F_{n+3}}}+\sqrt{\frac{F_{n+1}}{F_n+F_{n+2}}} \right )$$
  83. Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $\dfrac{a^b+b}{ab^2+9}$ là một số nguyên
  84. Trong phòng rạp có 100 chỗ ngồi và tất cả các vé đã được bán hết (mỗi vé được đánh số thứ tự tương ứng với số chỗ ngồi của phòng rạp).Tìm xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình
  85. Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo. Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực
  86. Cho $\Delta ABC$ trên tia đối tia $AB, BC, CA$ lần lượt vẽ các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ sao cho $AB + AD = BC + BE = CA + CF$ (hay $BD = CE = AF$). Chứng minh rằng nếu $\Delta DEF$ đều thì $\Delta ABC$ đều.
  87. Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt. Xét dãy $\{x_{n} \}$ sao cho $$x_0=\alpha,\quad x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0 \ \forall n \in \mathbb{N^*}.$$ Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}$ theo $\alpha$.
  88. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa $$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$
  89. Các học sinh được phát bài kiểm tra, mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.
  90. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $$(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) \mid a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)$$
  91. Chứng minh rằng với mọi số $n$ nguyên dương có $$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$
  92. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng. Tổng quát bài toán.
  93. Giải phương trình $$(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$$
  94. Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5>0$. Chứng minh rằng $$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}+\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}}{5} \\ \leq \sqrt[5]{a_1.\frac{a_1+a_2}{2}.\frac{a_1+a_2+a_3}{3}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}}$$
  95. Giải bất phương trình $$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$$
  96. Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh $$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$ (với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\frac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)
  97. Cho đường tròn $(O)$. Hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc trong với $(O)$ lần lượt tại $A$ và $F$. Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm $D$ và $E$ phân biệt. Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $DE$, $H$ là trung điểm của $AK$, $M$ là trung điểm $DE$. Chứng minh góc $HMK$ bằng $\dfrac{1}{2}$ số đo cung nhỏ $AF$ của $(O)$.
  98. Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh $$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}(a^n+b^n)\le 2$$
  99. Lấy $Q[\sqrt{5}]$ là tập các số biểu diễn được dưới dạng $x+y\sqrt{5}$ (với $x,y$ là các số hữu tỉ). Định hai số $u,v\in \mathbb Q[\sqrt{5}]$ sao cho $u^4+v^4=2+\sqrt{5}$
MOlympiad.NET rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc LIÊN HỆ
[email protected]
You can use $\LaTeX$ in comment




Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên SP TPHCM Chuyên SPHN Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Dương Quỳnh Châu Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 2015-2016 HSG 10 2022-2023 HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Bạc Liêu HSG 10 Bắc Ninh HSG 10 Bình Định HSG 10 Bình Dương HSG 10 Bình Thuận HSG 10 Chuyên SPHN HSG 10 Đắk Lắk HSG 10 Đồng Nai HSG 10 Gia Lai HSG 10 Hà Nam HSG 10 Hà Tĩnh HSG 10 Hải Dương HSG 10 KHTN HSG 10 Nghệ An HSG 10 Phú Yên HSG 10 Thái Nguyên HSG 10 Thanh Hóa HSG 10 Trà Vinh HSG 10 Vĩnh Phúc HSG 11 HSG 11 2011-2012 HSG 11 2012-2013 HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Bạc Liêu HSG 11 Bắc Ninh HSG 11 Bình Định HSG 11 Bình Dương HSG 11 Bình Thuận HSG 11 Cà Mau HSG 11 Đà Nẵng HSG 11 Đồng Nai HSG 11 Hà Nam HSG 11 Hà Tĩnh HSG 11 Hải Phòng HSG 11 HSG 12 Quảng Ngãi HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Nghệ An HSG 11 Ninh Bình HSG 11 Thái Nguyên HSG 11 Thanh Hóa HSG 11 Trà Vinh HSG 11 Vĩnh Long HSG 11 Vĩnh Phúc HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 An Giang HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bạc Liêu HSG 12 Bắc Ninh HSG 12 Bến Tre HSG 12 Bình Định HSG 12 Bình Dương HSG 12 Bình Phước HSG 12 Bình Thuận HSG 12 Cà Mau HSG 12 Cần Thơ HSG 12 Cao Bằng HSG 12 Chuyên SPHN HSG 12 Đà Nẵng HSG 12 Đắk Lắk HSG 12 Đắk Nông HSG 12 Đồng Nai HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Gia Lai HSG 12 Hà Nam HSG 12 Hà Tĩnh HSG 12 Hải Dương HSG 12 Hải Phòng HSG 12 Hòa Bình HSG 12 Khánh Hòa HSG 12 KHTN HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Nam Định HSG 12 Nghệ An HSG 12 Ninh Bình HSG 12 Phú Yên HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ngãi HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Sơn La HSG 12 Tây Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 12 Thanh Hóa HSG 12 Thừa Thiên Huế HSg 12 Tiền Giang HSG 12 TPHCM HSG 12 Vĩnh Long HSG 12 Vĩnh Phúc HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 2022-2023 HSG 9 An Giang HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bắc Ninh HSG 9 Bến Tre HSG 9 Bình Định HSG 9 Bình Dương HSG 9 Bình Phước HSG 9 Bình Thuận HSG 9 Cà Mau HSG 9 Cao Bằng HSG 9 Đà Nẵng HSG 9 Đắk Lắk HSG 9 Đắk Nông HSG 9 Đồng Nai HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Gia Lai HSG 9 Hà Giang HSG 9 Hà Nam HSG 9 Hà Tĩnh HSG 9 Hải Dương HSG 9 Hải Phòng HSG 9 Hòa Bình HSG 9 Khánh Hòa HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Nam Định HSG 9 Nghệ An HSG 9 Ninh Bình HSG 9 Phú Yên HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ngãi HSG 9 Quảng Ninh HSG 9 Sơn La HSG 9 Tây Ninh HSG 9 Thanh Hóa HSG 9 Thừa Thiên Huế HSG 9 Tiền Giang HSG 9 TPHCM HSG 9 Trà Vinh HSG 9 Vĩnh Long HSG 9 Vĩnh Phúc HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lăng Hồng Nguyệt Anh Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Hồng Phong Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Nhất Huy Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Song Thiên Long Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 10/3 Đắk Lắk Olympic 11 Olympic 12 Olympic 23/3 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp Ôn Thi 10 PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Quang Đạt Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2008-2009 TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST 2022-2023 TST An Giang TST Bà Rịa Vũng Tàu TST Bắc Giang TST Bắc Ninh TST Bến Tre TST Bình Định TST Bình Dương TST Bình Phước TST Bình Thuận TST Cà Mau TST Cần Thơ TST Cao Bằng TST Đà Nẵng TST Đắk Lắk TST Đắk Nông TST Đồng Nai TST Đồng Tháp TST Gia Lai TST Hà Nam TST Hà Tĩnh TST Hải Dương TST Hải Phòng TST Hòa Bình TST Khánh Hòa TST Lạng Sơn TST Long An TST Nam Định TST Nghệ An TST Ninh Bình TST Phú Yên TST PTNK TST Quảng Nam TST Quảng Ngãi TST Quảng Ninh TST Sơn La TST Thái Nguyên TST Thanh Hóa TST Thừa Thiên Huế TST Tiền Giang TST TPHCM TST Trà Vinh TST Vĩnh Long TST Vĩnh Phúc Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 An Giang Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh Tuyển Sinh 10 Bến Tre Tuyển Sinh 10 Bình Định Tuyển Sinh 10 Bình Dương Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Bình Thuận Tuyển Sinh 10 Cà Mau Tuyển Sinh 10 Cao Bằng Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk Tuyển Sinh 10 Đắk Nông Tuyển Sinh 10 Đồng Nai Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Gia Lai Tuyển Sinh 10 Hà Giang Tuyển Sinh 10 Hà Nam Tuyển Sinh 10 Hà Nội Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh Tuyển Sinh 10 Hải Dương Tuyển Sinh 10 Hải Phòng Tuyển Sinh 10 Hòa Bình Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa Tuyển Sinh 10 KHTN Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Nam Định Tuyển Sinh 10 Nghệ An Tuyển Sinh 10 Ninh Bình Tuyển Sinh 10 Phú Yên Tuyển Sinh 10 PTNK Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Sơn La Tuyển Sinh 10 Tây Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế Tuyển Sinh 10 Tiền Giang Tuyển Sinh 10 TPHCM Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Sinh 2022-2023 Tuyển Sinh Chuyên SP TPHCM Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 4)
Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 4)
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2019/05/tong-hop-hon-400-bai-toan-hay-luyen-thi-olympic-toan-phan-4.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2019/05/tong-hop-hon-400-bai-toan-hay-luyen-thi-olympic-toan-phan-4.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Table of Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN