Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 4)

1. Tìm $b$ sao cho với mọi $a$ ta đều tìm được $c$ để hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases} ax + y &= b-1\\ x + ay &= c^2 + 2c \end{cases}.$$
2. Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right),\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$$
3. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hình vuông $P_1P_2P_3P_4$ có toạ độ các đỉnh lần lượt là: $P_1(1,0); \; P_2(1,1);\;P_3(0,1);\;P_4(0,0)$. Xây dựng đường gấp khúc sau: $P_5$ là trung điểm của $P_1P_2$; $P_6$ là trung điểm của $P_2P_3$; $P_7$ là trung điểm của $P_3P_4$ ... Bằng cách đó ta dựng được đường gấp khúc vô hạn $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6 P_7P_8...$ hội tụ về một điểm $P$ trong hình vuông $P_1P_2P_3P_4$.
   a) Gọi điểm thứ $n$ trên đường gấp khúc là $P_n(x_n,y_n)$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2}x_n+x_{n+1}+x_{n+2}+x_{n+3}=2.$$ Tìm toạ độ $y_n$.
   b) Tìm toạ độ của điểm $P$
4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ và $Q$ là hai điểm bất kì thỏa mãn $P$, $O$, $Q$ thẳng hàng. Giả sử $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $A_{2}$, $B_{2}$, $C_{2}$ lần lượt là các giao điểm của $AQ$, $BQ$, $CQ$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng tâm ngoại tiếp các tam giác $PA_{1}A_{2},PB_{1}B_{2},PC_{1}C_{2}$ thẳng hàng.
5. Cho dãy số thực $(x_k)$ thỏa mãn $$|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}, \forall m, n \geq 1.$$ Chứng minh rằng $(x_k)$ lập thành 1 cấp số cộng.
6. Cho tam giác $ABC$.$(AB<AC)$.$D$ cố định trên $BC$. Một điểm $P$ di động trên $AD$, điểm $E$ trên $BC$ thỏa mãn hệ thức $$\frac{EC}{EB}=\frac{PD}{PA}+\frac{DB.DC}{AP.AD}.$$ Gọi $F$ là giao điểm của $(ABP)$ và $AC$ khác $A$. Đường tròn $(CEF)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $G$ khác $C$. Chứng minh rằng khi $P$ di chuyển trên $AD$ thì $EG$ luôn đi qua một điểm cố định.
7. Cho $a,b,c,d \in \left [ 0;1 \right ]$. Chứng minh rằng $$\sum \frac{a}{bc+cd+db+1}\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}$$
8. Cho $a,b,c$ lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác $ABC$. Nhận dạng tam giác $ABC$ nếu $$a^3\sin{\frac{B}{2}}\cos{\frac{C}{2}}+b^3\sin{\frac{C}{2}}\cos{\frac{A}{2}}+c^3\sin{\frac{A}{2}}\cos{\frac{B}{2}}=\frac{3\sqrt{3}abc}{4}$$
9. Cho dãy số thực dương $(a_n)$ thỏa mãn $$ \sum_{ k =1 }^{ + \infty } a_k < + \infty,\quad \sum_{ k =1 }^{ + \infty } \sum_{ j =k }^{ + \infty } a_j < + \infty $$ với $p>1$ là số thực dương cho trước. Tính giới hạn $$ \lim_{n \to + \infty } \dfrac{1}{n} \sum_{ k =1 }^{ n } k^{ \frac{2}{p} -1} \sum_{ j =k }^{ 2k-1 } (a_j)^{1/p}$$
10. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và các cạnh $a,b,c$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $H$ đến các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng $$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$$
11. Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $$xyz \leq 2,\quad \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} <k.$$ Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq 2$ sao cho $x,y,z$ là ba cạnh của tam giác.
12. Cho dãy số thực $(x_n)$ thỏa mãn $$x_0=1,\,x_i\geqslant 0,\quad x_i \leqslant x_{i+1}+x_{i+2},\,i=0,1,...,n.$$ Cho $f_{n}$ là dãy Fibonaci. Chứng minh $$ \sum_{i=0}^{n}x_i\geqslant \frac{f_{n+2}-1}{f_n}.$$
13. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$$
14. Cho $$(P):2x-y+2z-1=0,\quad (Q):2x-y+2z+5=0$$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm giữa $(P)$ và $(Q)$. Mặt cầu $(S)$ di động qua $A$, tiếp xúc cả $(P)$ và $(Q)$. Chứng minh rằng $(S)$ có tâm $I$ ở trên hai đường tròn cố định.
15. Xác định đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa $$\sin P\left( x \right) = P\left( {\sin x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$$
16. Ở một cuộc đua ngựa có 20 con chia đều cho 2 người làm chủ. Các con được xếp thứ tự theo độ nhanh của nó. Người thứ nhất giữ các con 1, 5, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19, 20. Mỗi lần đua 2 người sẽ đưa ra một con ngựa của mình. Nếu thắng thì được 3 điểm, thua bị trừ 1 điểm. Nếu thắng 2 trận liên tiếp nhau thì được cộng thêm 3 điểm, nếu thua liên tiếp 2 trận thì trừ thêm 2 điểm. Người thứ nhất cho các con ngựa của mình thi đấu lần lượt theo số thứ tự của nó. Hỏi có cách nào giúp người thứ hai thắng không?
17. Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$. Tìm tập hợp các số phức thỏa $$|z-a|-|z+a|=2c$$
18. Cho đường tròn $(O,13)$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cố định ko cắt nhau. Xét điểm $I$ trên đoạn $CD$. Cho $AI$, $BI$ cắt $(O)$ tại $E$, $F$. $AF$, $BE$ cắt $CD$ tại $M$, $N$. BIết $ID = 10$, $IN = 6$ và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây $CD$.
19. Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$
20. Người ta đánh giá hiệu suất của một thang máy của một tòa nhà $n$ tầng $(n>2)$ bằng tỉ số $T=\dfrac{1}{t_2.t_n}$. Trong đó độ cao các tầng được xem là bằng nhau, $t_n$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $n$ (không dừng giữa hành trình), $t_2$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $2$ (tất cả không tính thời gian đóng mở cửa). Người ta mong muốn tỉ số $T$ này càng lớn càng tốt, nhưng vẫn phải đảm bảo độ "êm ái" và độ "say" trong giới hạn cho phép. Độ êm ái là yêu cầu "trơn" về đồ thị của vận tốc (nghĩa là hàm vận tốc khả vi khắp hành trình) Độ "say" $\Delta a$ là ngưỡng thay đổi về gia tốc mà cơ thể cảm nhận được trong quá trình thang máy di chuyển. Ngưỡng này được quy định $\left|\Delta a\right| \leq 1\, m/{s^2}$ (nghĩa là không vượt quá $1/{10}$ gia tốc trọng trường, lấy $g=10\,m/s^2$). Một tòa nhà $11$ tầng (có thang máy với $11$ điểm dừng) độ cao giữa các tầng là $4\,m$. Biết rằng hiệu suất $T$ của thang máy đạt giá trị lớn nhất. Tính $T$.
21. Alex và Mary thay nhau viết các chữ số 0 hay 1 cho đến khi mỗi người viết được 2001 chữ số. Mary sẽ là người thắng cuộc nếu cô ấy viết được một số trong biểu diễn nhị phân sao cho số đó không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương. Chứng mình rằng Mary có chiến thuật để bảo đảm thắng cuộc chơi.
22. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm min của $$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx}\right)$$
23. Cho hàm số $$y = x^4 - 2mx^2 + 2m + 1.$$Tìm các điểm $A$ trên $Oy$ mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến $( C )$
24. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$$
25. Cho hình bình hành $ABCD$. Tia phân giác góc $BAD$ cắt các đường thẳng $BC$, $DC$ lần lượt tại $M$, $N$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ và $CMN.$ Tính số đo góc $AEC$.
26. Cho $X=\{1;2;...;n\};Y=\{a_1;...;a_m\}$. Tìm số ánh xạ $f:X \to Y$
27. Cho $a$ là một số nguyên lớn hơn $1$, và $f$ là một đa thức có bậc dương và có mọi hệ số là các số nguyên không âm. Với $n\geq 1$, đặt $$S\left(n\right) = \left\{ f\left( 1\right),\dots, f\left ( n\right)\right\}.$$ Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $S\left(n\right)$ có thể được chia thành $a$ tập hợp con sao cho tổng các phần tử trong mỗi tập hợp là bằng nhau.
28. Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$. Các điểm $D$, $E$, $F$ thứ tự trên các cạnh $AB$, $BC$, $CA$ sao cho $AD=DB.BE=\frac{1}{2}EC$ và $CF=\frac{1}{3}FA$. Các đoạn thẳng $AE$, $BF$, $CD$ cắt nhau tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác đó theo $S$.
29. Xác định xác suất để phương trình $x^2 +2ax +b =9$ có hai nghiệm thực, nếu các hệ số $a$ và $b$ được chọn đồng khả năng từ hình vuông $|a|\le 1$, $|b|\le 1$.
30. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)
31. Tìm các số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho $x^x$ có $y$ chữ số, còn $y^y$ có $x$ chữ số.
32. Một máy bay xuất phát từ thành phố $A$ bay thẳng một quãng đường ngắn hơn nửa chu vi Quả Đất đến thành phố $B$, rẽ trái 60 độ, bay tiếp quãng đường bằng quãng đường $AB$ đến thành phố $C$, lại rẽ trái 60 độ, lại bay tiếp quãng đường bằng quãng đường $AB$ nữa đến thành phố $D$, lại rẽ trái 60 độ lần nữa, cuối cùng bay nốt quãng đường bằng quãng đường $AB$ nữa thì trở về thành phố $A$. Biết bán kính Quả Đất là 6370 km, hỏi máy bay đã bay được cả thảy bao nhiêu km?
33. Bạn hãy tìm một dãy dài nhất bao gồm các số nguyên dương phân biệt mà con số đầu tiên là số 1 và số cuối cùng có dạng $ 31^a.5^b.1990^c$ sao cho mỗi số chia hết cho số dứng trước nó . Có bao nhiêu dãy có độ dài này ?
34. Cho $a, b, c, x, y, z \geq 0$ thoả $$\begin{cases} cy + bz &= a \\ az + cx &= b \\ bx + ay &= c \end{cases}.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P = \dfrac{x^2}{1 + x} + \dfrac{y^2}{1 + y} + \dfrac{z^2}{1 + z}$$
35. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn. Trong đó $AB=5$, $BC=6$, $CD=7$, $DA=8$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tứ giác $ABCD$. Từ đó tổng quát hóa bài toán trên.
36. Cho tập $S$ gồm $n$ điểm trên mặt phẳng sao cho không có 8 điểm nào thẳng hàng và có không nhiều hơn 91 khoảng cách khác nhau nối các điểm thuộc S. Chứng minh $n\le 2004$
37. Chứng minh rằng trong 99 số sau $$K+1,\, K+2,\,K+3,\,\ldots,\,K+99$$ có ít nhất 66 hợp số ($K$ nguyên)
38. Tìm $m$ để hàm số $$y= \sqrt{2x-3m+4} - \dfrac{x-2m}{x+m-1}$$ có miền xác định là $D = (0;+ \infty )$.
39. Hàm $f(x;y)$ xác định với mọi số tự nhiên $x,y$ thỏa $$\begin{cases}f(0,y) &= y + 1\\ f(x + 1,0) &= f(x,1)\\ f(x + 1,y + 1) &= f(x,f(x + 1,y)) \end{cases}.$$ Tìm $f(4;2004)$.
40. Cho tam giác $ABC$ có I là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $C_1, B_1$ là trung điểm của $AB$, AC$; $B_2$, $C_2$ là giao của $IC_1$ với $AC$, $IB_1$ với $AB$. Tìm độ lớn của $\widehat{BAC}$ để $S_{\Delta AB_2C_2}=S_{\Delta ABC}$.
41. Cho $m$ là số nguyên dương. Xác định dãy $a_0,a_1,a_2,...$ như sau $$a_0=1,\,a_1=m,\,a_{m+1}=m^2a_n-a_{n-1},\ \forall n=1,2.....$$ Chứng minh rằng với mọi cặp sắp thứ tự các số tự nhiên $(a,b)$ với $a \leq b$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=m^2$ khi và chỉ khi $(a,b)=(a_n,a_{n+1})$ với $n$ là một số tự nhiên nào đó.
42. Số nguyên dương $N$ được gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn $N$ đều là tổng của các ước dương phân biệt của $N$. Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.
43. Chuỗi số sau hội tụ khi nào $$\sum_{n=1}^{+\infty } \sin \dfrac{1}{n^p}\tan\dfrac{1}{n^q}.$$ Điều kiện $p>0, q>0.$
44. Cho $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm $max$ của $$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$$
45. Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a$, $SB=b$, $SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u$, $v$, $w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA$, $SB$, $SC$. Chứng minh rằng $$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$
46. Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1),P(2),...$ nguyên tố cùng nhau với $k$. Chứng minh có tối thiểu $71%$ đa thức trong $S$ là 'đẹp'.
47. Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $$6xyz+30xy+21xz+2yz+105 x+10y+7z = 812.$$ Tìm $x+y+z$.
48. Giải phương trình: $$\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\cos \frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$$
49. Cho $\Delta ABC$ có đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Đường thẳng $GH$ cắt đường thẳng qua $A$ song song $BC$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Qua $M$ vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ cắt $AL$ tại $X$. Chứng minh rằng $$XA=XL \Leftrightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{b+c}{2a+b+c}$$
50. Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.
51. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng $$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$
52. Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Hai đường thẳng $d$ và $d'$ bất kì qua $H$. $d$ cắt $AB$, $BC$, $CA$ tại $C'$, $A'$, $B'$ và $d'$ cắt $AB$, $BC$, $CA$ tại $C''$, $A''$, $B''$. Gọi tâm của $(HA'A'')$, $(HB'B'')$, $(HC'C'')$ là $ O_{1}$, $O_{2}$, $O_{3}$. $HO_{1}$, $HO_{2}$, $HO_{3}$ cắt $A'A''$, $B'B''$, $C'C''$ tại $M$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $M$, $N$, $P$ thẳng hàng
53. Cho $p$ là số nguyên tố. Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \frac{p-1}{2} }\left[ \dfrac{k^2}{p}\right]$ với $p \equiv 1\pmod4 $ ($[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).
54. Giả sử rằng đa thức $ P(x) $ có hệ số nguyên, nhận giá trị bằng $2$  ứng với $4$ giá trị $x$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh $ P(x) $ không thể nhận các giá trị $1,3,5,7,9$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$
55. Có tồn tại hay không tứ diện với tọa độ các đỉnh là số nguyên, và diện tích của bốn mặt là số vô tỷ?.
56. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số $0$ và $7$.
57. Cho hình thang $ABCD$ biết $AD=3BC$, $AB$ đi qua điểm $M(-12;0)$, $C(2 ; -5)$, $AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB$, $AD$ biết diện tích $ABCD$ là $50$, $AB$ không song song với $Ox$, $Oy$.
58. Cho đường tròn $$\left(C\right): x^{2} + y^{2}-6x+2y-15=0.$$Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d: 3x-2y-6=0$ sao cho từ $M$ kẻ tới $\left(C\right)$ hai tiếp tuyến $MA$, $MB$ ($A$, $B$ là tiếp điểm) mà $AB$ đi qua điểm $C(0;1)$.
59. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng $d: x+7y-31=0$. Điểm $N(7;7)$ thuộc đường thẳng $AC$, điểm $M(2;-3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn $AB$.
60. Viết liên tiếp các số tự nhiên từ $1$ đến $2007$ để tạo thành $1$ số tự nhiên. Ta thực hiện thuật toán đơn giản như sau
    
    • Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo cho đến hết ta đc 1 số mới
    • Tiếp tục tác động lên số mới bước làm giống như trên cho đến khi ta đc kết quả là 1 số có 1 chữ số.
    Hãy tìm số có 1 chữ số đó.
61. Giả sử $\left | ax^2+bx+c \right |\geq \left | x^2-1 \right |$ với mọi số thực $x$. Chứng minh rằng $$\left | b^2-4ac \right |\geq 4$$
62. Cho hàm số xác định trên tập $\mathbb{N}^*$ và thỏa mãn $$f(n+1)=n(-1)^{n+1} -2f(n),\quad f(1)=f(2005).$$ Tính tổng $$S= \sum\limits_{k=1}^{2006} f(k).$$
63. Hãy tính $$\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{2^k}}}{{\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{k - i}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^i}} }}}.$$
64. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=a^4+b^4+c^4+3(ab+bc+ca)$$
65. Cho $y = a_0x + a_1x^3 + a_2x^5 + ... + a_nx^{2n + 1} + ...$ thỏa mãn $$\left (1 - x^2 \right )y' - xy = 1, x \in \left (-1; 1 \right ).$$ Tìm các hệ số $a_0, a_1, a_2, ..., a_n$
66. Cho $n$ là số nguyên dương lẻ. Chứng minh rằng $$C^{2n}_{4n}\equiv 0 \pmod{8n+4}$$
67. Cho $(P): y=x^{2}$ ; $d$ là tuyếp tuyến của $(P)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ .Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi $(P) ; d $; và trục $Ox$ .Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi $(H)$ quay quanh $Ox$.
68. Cho $x,y>0$. Chứng minh rằng $$\frac{1998^x}{2001^y}+\frac{2000^x}{1997^y}>1998^{x-y}+2000^{x-y}$$
69. Cho các số thực $x,y,z \ne 0$ và hai tham số $m, n$ sao cho $$\begin{cases}\left (x^2+myz\right )\left (y^2+mzx\right )\left (z^2+mxy\right ) &\ne 0 \\xy+yz+zx &=0 \\(x+y+z)^3 &=nxyz \end{cases}.$$ Tính giá trị của $$P=\dfrac{yz}{x^2+myz}+\dfrac{zx}{y^2+mzx}+\dfrac{xy}{z^2+mxy}$$
70. Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases}x^2\sqrt{y+1}-2xy-2x&=1 \\ x^3-3x-3xy&=m+2\end{cases}.$$
71. Cho $a_1,a_2,. . .,a_n$; $x_1,x_2,. . .,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn $\displaystyle{\sum_{i=1}^n{x_i}=1}$. Chứng minh rằng $$(n-1)^{n-1}\sum_{i=1}^n({x_i\prod_{j\ne i}{a_j}})\leq \left(\sum_{i=1}^n{(1-x_i)a_i}\right)^{n-1}$$
72. Cho $a,b,c,d\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=5^d;a,b$ không chia hết cho 5. Chứng minh $d$ chẵn.
73. Chỉ ra rằng nếu đơn đồ thị vô hướng có k thành phần liên thông với số đỉnh tương ứng là $n_1,...n_k$ thì số cạnh của $G$ không vượt quá $\sum\limits_{i=1}^kC_{n_i}^2$
74. Cho 1 tam giác đều được chia thành $n^2$ tam giác đều bằng nhau. Một trong số đó được đánh số bởi 1,2,3,…,m sao cho các tam giác với các số liên tiếp phải có cạnh chung. Chứng minh rằng $m\geq n^2-n+1$
75. Xét dãy $\{F_{n} \}_{n \ge 1}$ là dãy Fibonacci. Chứng minh đẳng thức Catalan $$F_{n}^2-F_{n+k}F_{n-k}=(-1)^{n-k}F_{k}^2\quad (1 \le k \le n)$$
76. Cho $P,Q,R$ là các đa thức phức thỏa mãn $$P^a+Q^b=R^c$$ với $a,b,c$ là các số tự nhiên. Chứng minh rằng $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} >1$$
77. Cho tam giác $ABC$, các đường phân giác trong $BE,CI$. Chứng minh đẳng thức sau $$IE^2=\frac{bca^2}{(a+b)(a+c)}-2p(b-c)^2.\frac{abc}{(a+b)^2(a+c)^2}$$ với $p=\dfrac{a+b+c}{2}$
78. Tìm tất cả các giá trị thực của $\alpha$ để cho $\tan (\frac{5\pi }{12}+\alpha)$ là số hạng giửa của cấp số nhân gồm 3 số hạng: $\tan \frac{5\pi }{12}$, $\tan (\frac{5\pi }{12}+\alpha)$, $\tan(\frac{5\pi }{12}-\alpha )$.
79. Gọi $A$ là ma trận kề biểu diễn đồ thị $G$. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.
80. Cho $(O,R)$ và dây $AB=\sqrt{3}R$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$. Đường tròn nội tiếp $\Delta AMB$ tiếp xúc với $MA$ và $MB$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh $EF$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$.
81. Cho $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 1$. Ký hiệu $$\lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e.$$ Chứng minh rằng $$\frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-\left(1-\frac{1}{n} \right)^{n}<\frac{1}{ne}$$
82. Cho $F_1,F_2,\cdots $ là dãy xác định bởi $$F_1=1,\,F_2=1,\,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \ n\ge 3.$$ Chứng minh $$\sqrt{\frac{F_{n+3}}{F_n}}+\sqrt{\frac{F_n+F_{n+2}}{F_{n+1}}}>1+2\left(\sqrt{\frac{F_n}{F_{n+3}}}+\sqrt{\frac{F_{n+1}}{F_n+F_{n+2}}} \right )$$
83. Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $\dfrac{a^b+b}{ab^2+9}$ là một số nguyên
84. Trong phòng rạp có 100 chỗ ngồi và tất cả các vé đã được bán hết (mỗi vé được đánh số thứ tự tương ứng với số chỗ ngồi của phòng rạp).Tìm xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi tên vé của mình
85. Giả sử rằng $P(x)$ là một đa thức với hệ số thực,có tất cả các nghiệm đều là số ảo. Chứng minh rằng đa thức $P'(x)$ chỉ có một nghiệm thực
86. Cho $\Delta ABC$ trên tia đối tia $AB, BC, CA$ lần lượt vẽ các đoạn thẳng $AD, BE, CF$ sao cho $AB + AD = BC + BE = CA + CF$ (hay $BD = CE = AF$). Chứng minh rằng nếu $\Delta DEF$ đều thì $\Delta ABC$ đều.
87. Giả sử phương trình $ax^2+bx+c=0(a \neq 0)$ có 2 nghiệm phân biệt. Xét dãy $\{x_{n} \}$ sao cho $$x_0=\alpha,\quad x_{n}(ax_{n-1}+b)+c=0 \ \forall n \in \mathbb{N^*}.$$ Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_{n}$ theo $\alpha$.
88. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa $$f(f(x)+x)+f(f(x)-x)=8x.$$
89. Các học sinh được phát bài kiểm tra, mỗi môn một bài, trong $n$ môn $(n\ge 3)$ môn học. Biết rằng với một môn học bất kì thì có đúng 3 học sinh đạt điểm tối ưu, còn với 2 môn tùy ý thì có 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn trong cả 2 môn đó. Hãy xác định số $n$ bé nhất sao cho từ các điều kiện trên ta có thể suy ra rằng có đúng 1 học sinh đạt điểm tối ưu cho mỗi môn học trong $n$ môn đó.
90. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $$(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca) \mid a^n(b-c)+b^n(c-a)+c^n(a-b)$$
91. Chứng minh rằng với mọi số $n$ nguyên dương có $$\frac{1!2!+2!3!+...+n!(n+1)!}{n\sqrt[n]{(1!)^2.(2!)^2...(n!)^2}}\geq 2\sqrt[2n]{n!}$$
92. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $G$ là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng $O, I, G$ thằng hàng. Tổng quát bài toán.
93. Giải phương trình $$(\sqrt{7-x^2}-2)(x^2-1)+x^2+(x-1)^2=2$$
94. Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5>0$. Chứng minh rằng $$\frac{a_1+\sqrt{a_1a_2}+\sqrt[3]{a_1a_2a_3}+\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}+\sqrt[5]{a_1a_2a_3a_4a_5}}{5} \\ \leq \sqrt[5]{a_1.\frac{a_1+a_2}{2}.\frac{a_1+a_2+a_3}{3}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}.\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}}$$
95. Giải bất phương trình $$25x^{4}+5x^{2}+9x(x^{2}+1)\sqrt{9x^{2}-4}-2\geq 0$$
96. Cho $m$ là số nguyên dương và $r$ là số thực ($r \geq 1$). Chứng minh $$\dfrac{1}{4rm} \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m < {(r + 1)m \choose m} < \left(\dfrac{(r + 1)^{r + 1}}{r^r}\right)^m$$ (với $z$ là số thực thì ${z \choose m}$ biểu thị $\frac{1}{m!}\prod_{k = 0}^{m - 1} (z - k)$.)
97. Cho đường tròn $(O)$. Hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc trong với $(O)$ lần lượt tại $A$ và $F$. Hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm $D$ và $E$ phân biệt. Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ lên $DE$, $H$ là trung điểm của $AK$, $M$ là trung điểm $DE$. Chứng minh góc $HMK$ bằng $\dfrac{1}{2}$ số đo cung nhỏ $AF$ của $(O)$.
98. Cho $a,b >0$ thỏa mãn $a+b=2$ và $n \in \mathbb{N}$. Chứng minh $$(ab)^{\frac{n(n+1)}{2}}(a^n+b^n)\le 2$$
99. Lấy $Q[\sqrt{5}]$ là tập các số biểu diễn được dưới dạng $x+y\sqrt{5}$ (với $x,y$ là các số hữu tỉ). Định hai số $u,v\in \mathbb Q[\sqrt{5}]$ sao cho $u^4+v^4=2+\sqrt{5}$