$hide=mobile

Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 3)

  1. Tìm tất cả các song ánh $f:\mathbb{N^*}\rightarrow \mathbb{N^*}$ sao cho $$ f(f(n)) \le \dfrac{n+f(n)}{2}, \forall n \in \mathbb{N^*}$$
  2. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=671$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2-yz}{x^2-yz+2013}+\frac{y^2-zx}{y^2-zx+2013}+\frac{z^2-xy}{z^2-xy+2013}\geq 0$$
  3. Chứng minh \[\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{C_{2n}^{n} }{2^{2n}} a^{3n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^3}}\] với $0 < a < 1$ và $C_{2n}^{n}$ là tổ hợp chập $n$ của $2n$.
  4. a) Đếm số cách chia $n$ cái kẹo (giống nhau) thành $3$ phần không tính đối xứng. Các cách chia $(a,b,c)$ và $(c,b,a)$ được xem là như nhau. Các phần có thể rỗng.
    b) Giả sử có ba mệnh giá tiền là $1$ đồng, $2$ đồng và $4$ đồng. Tính số cách đổi $2n$ đồng ra các loại mệnh giá trên.
  5. Cho tam giác $ABC$. Trên $BC$ lấy các điểm $D$, $E$ sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACE$ tiếp xúc $BC$ tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{NE}+\dfrac{1}{NC}$$
  6. Tính các tổng sau $$\sum_{k=1}^{\infty}\arctan\left(\frac{2}{k^2} \right ),\quad  \sum_{k=1}^{\infty}\arctan\left ( \frac{1}{k} \right )$$
  7. Chứng minh rằng phương trình $$6{y^3} + 12x{y^2} + 6{x^2}y + ({x^3} - x) = 0$$ không thể có nghiệm nguyên dạng $(4k, y)$ hoặc $(9k, y)$, $k\neq 0$
  8. Giải phương trình $$\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}-4x^{2}+4=\frac{32}{x^{2}(2x^{2}+3)^{2}}$$
  9. Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A = \dfrac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}$$
  10. Cho $p, q, r$ là các số nguyên tố phân biệt và $$A=\{ p^aq^br^c: 0\leq a,b,c \leq5 \}.$$ Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên $n$ thỏa mọi tập con $n$ phần tử của tập $A$ chứa $2$ phần tử $x,y$ thỏa mãn $x\neq y$ và $y | x$.
  11. Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$
  12. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d,d'$ chéo nhau và vuông góc với nhau. $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d$, $d'$. Điểm $M(2,-2,1)$ thuộc $d$, điểm $N(-2,0,1)$ thuộc $d'$ và $AM+BN=AB$. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng $$(P):2x+2y+z-3=0,$$ tiếp xúc với hai đường thẳng $d$ và $d'$ lần lượt tại $M$ và $N$, biết hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu trên đường thẳng $AB$ là $H(0,1,2)$
  13. Tìm các giá trị $n$ nguyên dương sao cho đa thức $x^n+4$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.
  14. Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $I,J$ là 2 điểm thuộc $AB$ và đối xứng nhau qua $O$. Điểm $M$ là điểm thuộc $(O)$, khác $A$ và $B$. Giả sử $MI, MJ$ và $MO$ lần lượt cắt $(O)$ tại các giao điểm thức hai (khác $M$) là $P,Q$ và $S$. Hai đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng $RS$ là tiếp tuyến của $(O)$.
  15. Có hai hộp mỗi hộp đều chứa các viên bi đỏ và xanh, tổng số bi của cả 2 hộp bằng 25, từ mỗi hộp lấy ra 1 viên bi, biết xắc suất để được hai viên đều đỏ là 0,54. Tìm xác suất để được bến cố cả 2 viên màu xanh.
  16. Cho $n\in \mathbb{N},n\ge 3,f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $n$-giác đều $A_1A_2...A_n$ ta luôn có $$f(A_1)+f(A_2)+\cdots+f(A_n)=0$$ (nếu $A_i(x_i,y_i)$ thì ta kí hiệu $f(A_i):=f(x_i,y_i)$). Chứng minh $f\equiv 0$.
  17. Tìm ước chung lớn nhất của $$ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2, a+b+c$$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}$, $a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.
  18. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng $$ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$$
  19. Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.
  20. Tính tích phân $$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$
  21. Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1$. Hãy tính giá trị $$S=z+z^2+z^3+\ldots+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+\ldots+\dfrac{1}{z^n}$$
  22. Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $$a_{0}=1,\quad a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]}.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$, tồn tại vô số số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho $p$
  23. Giải phương trình nghiệm nguyên $$y^2=x^3-432$$
  24. Chứng minh rằng $\tan^2 \alpha$, $\tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right)$, $\tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ là nghiệm của phương trình sau $$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$
  25. Cho dãy số dương $\{u_n\},n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện
    a) $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
    b) Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \ \forall n\in \mathbb{N}$.
    Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$
  26. Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng $$\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ca-b^2}}\geq ab+bc+ca+2$$
  27. Cho $m, n$ là các số không âm. Gọi $a_{m, n}$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $(1 + x + x^2)^m$. Chứng minh với $k$ bất kì không âm, ta có $$0 \leq \sum\limits_{i=0}^{{\left[\frac{2k}{3}\right]}} a_{k - i, i} (-1)^i \leq 1$$
  28. Cho $\triangle ABC$ vuông đỉnh $A$. Biết đường cao $AH$, trung tuyến $BM$, phân giác $CD$ đồng quy tại $O$. Chứng minh rằng $\sin B = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
  29. Cho tứ diện đều $ABCD$, Tìm mặt phẳng $(P)$ sao cho hình chiếu vuông góc của tứ diện lên $(P)$ có diện tích nhỏ nhất.
  30. Ta bắt đầu với một số nguyên dương nào đấy , số này được tác động bởi $2$ toán tử sau đây: tách chữ số hàng đơn vị của nó rồi đem nhân chữ số này cho $4$, đem tích cộng với phần còn lại của số đã cho (ví dụ: $1997$ biến thành $7*4+199=227$). Thực hiện lặp đi lặp lại toán tử này. Chứng minh rằng nếu trong dãy các số thu được có chứa số $1001$ thì không có số nào trong các số của dãy là số nguyên tố.
  31. Cho tam giác $ABC$ cố định và một điểm $M$ thay đổi trong không gian nhưng luôn không thuộc các đường thẳng $AB, BC, CA$. Kí hiệu $x, y, z$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến $AB, BC, CA$. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn $$\dfrac{x}{1999y + 2000z} + \dfrac{y}{1999z + 2000x} + \dfrac{z}{1999x + 2000y} = \dfrac{1}{1333}$$
  32. Tìm $m$ để phương trình $$\sqrt{x^{2}-9}= 2\left ( m-2 \right )x+6\left ( m-2 \right )$$ có nghiệm $x\geq 3$.
  33. Cho dãy số$(u_n)$$,n \in \mathbb{N}$ được xác định như sau $$u_0=u_1=3,\, u_2=9,\quad u_{n+3}=3u_{n+2}-u_n\ \forall n \geq 0.$$ a) Chứng minh rằng có ba số thực $a,b,c$ không đổi mà $a<b<c$ và $u_n = a^{n}+b^{n}+c^{n}$ với mọi số tự nhiên $n$.
    b) Tìm số dư của phép chia $[c^{2011}]+[c^{2012}]$ cho 12.
  34. Hãy tính $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=0}^{n}\ln \binom{n}{k}.$$
  35. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $(O)$. Gọi $BC=a$, $AB=c$, $AC=b$. Từ 1 điểm $N$ trên cung $BC$ ($N$ và $A$ khác phía đối với $BC$) kẻ $NK$, $NL$, $NM$ lần lượt vuông góc với $BC$, $CA$, $AB$. Gọi độ dài các đoạn $NK$, $NL$, $NM$ lần lượt là $x,y,z$. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng $$S=\frac{a}{z}+\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$$
  36. Một tứ giác lồi được chia bởi các đường chéo thành 4 tam giác. Chứng minh rằng đường thẳng nối các trọng tâm của 2 tam giác đối nhau vuông góc với đường thẳng nối các trực tâm của 2 tam giác còn lại.
  37. Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho $$\cos(\cos(\cos(\cos x))))=\sin(\sin(\sin(\sin x)))$$
  38. Cho $a_1,a_2,...,a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$, đặt $$ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}.$$ Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$, số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$
  39. Cho bảng $8\times 6$, các ô của bảng được tô bởi $n$ màu sao cho mỗi cặp 2 màu chỉ xuất hiện cùng nhau không quá một hàng. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$?
  40. Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$4^{-|x-k|}\log_{\sqrt{2}}(x^{2}-2x+3)+2^{-x^{2}+2x}\log_{\frac{1}{2}}(2|x-k|+2)=0$$
  41. Tính tổng $$S = \sum\limits_{n = 1}^5 {\sum\limits_{k = n}^{n + 4} {\left( {k.C_{k - 1}^{n - 1} .C_{9 - k}^{5 - n} } \right)} }$$
  42. Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $$x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2.$$ Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
  43. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k$ ta có đẳng thức $$\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{3\pi}{4k+2}} + \frac{1}{\sin^{2} \frac{5\pi}{4k+2}}+ \cdots+ \frac{1}{\sin^{2} \frac{(2k-1)\pi}{4k+2}} = 2k(k+1)$$
  44. Cho $p>2$ là 1 số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình $$ax^2+by^2=pz+c$$ có nghiệm $(x,y,z)\in \mathbb{N}$, với $a,b,c\in \mathbb{N}$ và không chia hết cho $p$.
  45. Tính $$\lim_{n\to \infty}\left ( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt[k]{k} \right )$$
  46. Tính tổng sau $$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{2^k-1-{n\choose k}}{k}$$
  47. $A,B,C$ mỗi người lần lượt có 10, 30, 50 quả táo cùng loại. Họ mang ra chợ bán. Hãy nêu phương án để họ bán hết số táo đó với giá bán bằng nhau và cuối cùng thu về số tiền bằng nhau. Ba người này không được bán táo cho nhau, không cho táo, không ăn táo. Giải thích cho rõ: bán giá bằng nhau nếu trong một thời điểm nào đó, $A$ bán táo với giá $a$ đồng/quả thì $B$ và $C$ cũng phải bán với giá $a$ đồng/quả.
  48. Giả sử có $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng. Có vòng tròn với bán kính $r$ và tâm $O$ trên mặt phẳng. Ít nhất một trong các điểm nằm trong vòng tròn. Chúng ta làm các hướng dẫn sau đây. Tại mỗi bước chúng ta di chuyển $O$ đến trọng tâm của các điểm trong vòng tròn. Chứng minh rằng vị trí của $O$ là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.
  49. Cho $x_i\in (a,b)$, $p_i\in (0,1)$, $\sum_{i=1}^{n}p_i=1$, $i=\overline{1,n}$. Chứng minh rằng. $$\left(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i\right)^2\leq \left(\dfrac{b-a}{2}\right)^2$$
  50. Cho tam giác $ABC$. Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$. Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A'', B'',C''$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A'',B'',C''$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$
  51. Cho dãy ${a_n}$ không giảm trong $\left[ { - 1;1} \right]$. Chứng minh \[\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\sqrt {1 - {a_i}{a_{i + 1}} \pm \sqrt {\left( {1 - a_i^2} \right)\left( {1 - a_{i + 1}^2} \right)} } < \frac{{\pi \sqrt 2 }}{2}} \]
  52. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua $G$, cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam giác $AMN$
  53. Tìm số nguyên dương $n$ bé nhất thỏa mãn tính chất sau không tồn tại bất cứ 1 cấp số cộng nào gồm 1999 số hạng mà cấp số cộng đó chưa đúng $n$ số nguyên.
  54. Gỉa sử rằng trên mặt phẳng toạ độ cho đường cong là đồ thị của hàm số đa thức $$P(x)=x^{4}+px^{3}+qx^{2}+rx+s,P\in \mathbb{R}[x].$$
  55. Một đường thẳng trên mặt phẳng ấy gọi là nằm ngang nếu nó song song với trục hoành và cắt đường cong tại 4 điểm $A, B, C, D$ (tính từ trái sang phải).Ngoài ra nếu độ dài các đoạn thẳng $AB, AC, AD$ có thể lấy làm độ dài các cạnh của một tam giác nào đó, thì đường thẳng như vậy còn được gọi là "đường tam giác". Chứng minh rằng chỉ có thể xảy ra trường hợp hoặc tất cả các đường thẳng nằm ngang là "đường tam giác", hoặc tất cả các đường thẳng ấy ko là "đường tam giác".
  56. Cho tam giác $ABC$,$P$ là một điểm trong tam giác.Gọi $E,F$ là giao điểm của $PB,PC$ với $AC,AB$. Đường thẳng $AP$ cắt $(ABC)$ tại $D$, gọi $L$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh rằng khi $P$ thay đổi, $DL$ luôn đi qua một điểm cố định.
  57. Cho các số nguyên dương a,b,c thoả mãn $a^{2}+ab+b^{2}$ là ước của $a^{3}+b^{3}$ và $a-b$ là số nguyên tố. Chứng minh $a^{3}-b^{3}$ là luỹ thừa bậc bốn của 1 số nguyên.
  58. Tìm tất cả các hàm $f$ xác định trên tập các số thực và nhận giá trị thỏa mãn $5$ điều kiện sau đây
    • $f(1)=1;$
    • $f(-1)=-1;$
    • $f(x)\leq f(0)$ với $0<x<1;$
    • $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$ với mọi $x,y$;
    • $f(x+y)\leq f(x)+f(y)+1$ với mọi $x,y$.
  59. Cho $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng $$n!<n^{n+\frac{1}{2}}.e^{1-n}$$
  60. Một điểm được gọi là nguyên trên mặt phẳng tọa độ Oxy nếu cả hoành độ và tung độ nó đều là những số nguyên. Xét phát biểu: một điểm nguyên $A$ được gọi là có thể nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$ khi và chỉ khi trên đoạn $OA$ không chứa bất kì 1 điểm nguyên nào khác. Chứng minh rằng với $n \in \mathbb{N}^*$ thì ta có thể dựng được 1 hình vuông có kích thước $n*n$ sao cho các điểm nguyên trên biên và cả trong hình vuông đều không thể nào nhìn thấy từ gốc tọa độ $O$.
  61. Cho $k$ là số nguyên dương chẵn. $N$ là tích của $k$ số nguyên tố phân biệt $p_1,...,p_k$. $a,b$ là hai số nguyên dương phân biệt sao cho $a \leq b \leq N$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là hai tập thỏa mãn $$S_1=\{d: d|N, a\leq d\leq b, d \text{ có số ước nguyên tố chẵn}\}$$ $$S_2=\{d: d|N, a\leq d\leq b, d \text{ có số ước nguyên tố lẻ}\}$$ Chứng minh rằng $\left | S_1 \right |-\left | S_2 \right |\leq C_{k}^{\frac{k}{2}}$
  62. Xét dãy $P_{k}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{i+1}$, $k \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh rằng $$P_{k}^2 \le P_{k+1}P_{k-1}$$
  63. Cho dãy số thực vô hạn $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ thỏa mãn dãy số $ a_1 + 2a_2$, $a_2 + 2a_3$, ....., $a_n + 2a_{n+1}$,.... là dãy hội tụ. Chứng minh rằng dãy $ \{ a_n \}_{n \geq 1 }$ cũng hội tụ
  64. Gọi $S$ là một tập con bất kỳ chứa $k$ phần tử của tập $\{1,2,3,...,24\}.$ Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho $S$ luôn chứa ít nhất 2 tập con sao cho mỗi tập con đó chứa 2 phần tử và tổng các phần tử của mỗi tập con bằng nhau.
  65. Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Điểm $D$ nằm ở miền trong tam giác thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
    a) $CD = d$.
    b) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và vuông góc với $CD$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$ thì $A', B, C$ thẳng hàng. Hãy tính $DA+DB$ theo $a,b,c,d$
  66. Tìm tất cả các hàm thỏa $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $$f\left( x+\cos \left( ny \right) \right)=f\left( x \right)+n\cos \left( f\left( y \right) \right)$$ với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$
  67. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$. Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với đường thẳng $AB, CD$ lần lượt tại $N, M$. $(I)$ cắt $(O)$ tại 2 điểm $H$ và $S$. $AC, BD$ cắt $MN$ lần lượt tại $Q, P$. Chứng minh $P, Q, H, S$ cùng thuộc 1 đường tròn và đường tròn này tiếp xúc với $AC$ và $BD$.
  68. Cho dãy số $(a_n)$ thỏa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k} = a \in \mathbb{R}} $. Chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}\cos \frac{{k\pi }}{n} = a} \]
  69. Trong một hộp có 10 tấm thẻ được đánh số 0,1,2,..,9. Lấy ngẫu nhiên bốn thẻ và xếp cạnh nhau theo thứ tự từ trái sang phải. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để bốn thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn.
  70. Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm $$ \sqrt{5+4\sqrt{9-2\sqrt{x}}}=2\sqrt{13}(13-x)$$
  71. Một "bàn cờ" kích thước $1\times (m+n)$ ô. Có $n$ quân tốt đứng ở $n$ ô đầu tiên của bàn cờ. Cần phải tịnh tiến $n$ quân tốt đến $n$ ô cuối cùng (mỗi quân tiến $m$ bước). Mỗi bước đi chỉ được phép di chuyển 1 quân tốt bất kỳ tiến 1 ô về phía cuối bàn cờ nhưng không được "dẫm đạp" lên quân tốt khác. Gọi $S(n,m)$ là số cách di chuyển $n$ quân tốt tịnh tiến $m$ bước. Chứng minh rằng $$S(n,m)=\frac{1!2!...(n-1)!}{m!(m+1)!...(m+n-1)!}\times(mn)!.$$ Ví dụ: $S(2,3)=\dfrac{1!}{3!4!}\times (2.3)!=5$.
  72. Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $BB',CC'$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là trung điểm của $C'B',BC',CB'$. Đường thẳng đi qua $M$ vuông góc với $BL$ cắt đường thẳng đi qua $N$ vuông góc với $CL$ tại $K$. Chứng minh $KB=KC$.
  73. Cho đồ thị $$\left(C\right): y= 2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1$$ và đường thẳng $(\Delta): y=ax+b$. Tìm $a,b$ để $(\Delta)$ cắt $\left(C\right)$ tại 3 điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$. Khi đó, chứng minh rằng $(\Delta)$ đi qua 1 điểm cố định.
  74. Với $n \geq 2 $, tìm hằng số $\mathcal C(n)$ lớn nhất sao cho với mọi bộ $n$ số thực không âm$ x_1 ; x_2 ; ....; x_n $, thì bất đẳng thức sau luôn đúng $$ \left( \sum_{k=1}^n kx_k \right) \left( \sum_{k=1}^n x^2_k \right) \geq \mathcal C(n) \left( \sum_{k=1}^n x_k \right)^3$$
  75. Cho ba phương trình $$\begin{eqnarray}x^2+ax+ac=0 \quad (1)\\ x^2-bx+c^3=0 \quad (2)\\ x^4-bx^2+c^3=0 \quad (3)\end{eqnarray}.$$ Tìm $a,b,c$ để
    a) Từng phương trình trên có nghiệm.
    b) Các nghiệm của $(1)$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn $1$ và các nghiệm của $(1)$ đều là nghiệm của $(3)$.
    c) It nhất $1$ nghiệm của $(1)$ thỏa mãn $(2)$
  76. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $x^{2} + y^{2} = 9$. Tìm $m$ để trên đường thẳng $y = m$ tìm được đúng $4$ điểm sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được $2$ tiếp tuyến tới đường tròn và hai tiếp tuyến đó tạo với nhau góc $45^0$.
  77. Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương cho trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất trong các hình chữ nhật $ABCD$ thỏa mãn điều kiện tồn tại điểm $P$ nằm trong hình chữ nhật và $PA,PB,PC$ lần lượt bằng $x,y,z$
  78. Cho hai đường tròn $(O), (I)$ và dây $AB$ của $(O)$ sao cho $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AB$. Hãy dựng đường tròn $(J)$ sao cho $(J)$ tiếp xúc trong với $(O)$, tiếp xúc ngoài với $(I)$ và tiếp xúc với $AB$.
  79. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó 2 chữ số kề nhau không thể cùng là số lẻ
  80. Cho hàm $f : \left ( 0 ; \infty \right ) \to \left ( 0 ; \infty \right )$ là hàm số giảm và khả vi trên $\left ( 0 ; \infty \right )$; $ F$ là nguyên hàm của $f$. Đồng thời $f$ thoả mãn $3$ điều kiện sau
    • $\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\left ( \frac{f(n+1)}{f(n)} \right ) = 1}$.
    • $\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}F(n)=0}$.
    • Hàm $ \dfrac{f^{'}}{f}$ tăng trên $\left ( 0 ; \infty \right )$.
    Chứng minh các khẳng định sau
    a) Dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi  $ x_n = f(1) + f(2) +...f(n)$ hội tụ về một số thực $x$ nào đó.
    b) Dãy $(u_n)_{n \ge 1}$ xác định bởi $ u_n = \dfrac{ x - x_n}{F(n)}$ đơn điệu nghiêm ngặt và hội tụ. Tìm giới hạn của nó.
  81. Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho \[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]
  82. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ ($BA=BC=1$) và các cạnh bên $SA=SB=SC=3$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Trên cạnh $SA$, $SB$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $SM=BN=1$.
    a) Tính thể tích hình chóp $S.ABC$.
    b) Tính thể tích của tự diện $LMNK$.
  83. Cho các số thực $x,y,z$ thuộc $[-2;2]$. Chứng minh rằng $$ 2(x^6+y^6+z^6)-(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2)\le 192$$
  84. Cho tam giác $ABC$ có 3 cạnh là $a,b,c$, trực tâm $H$, $O$ và $R$ theo thứ tự là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng $$OH^2 = 9R^2 - a^2 -b^2 - c^2 $$
  85. Tính nguyên hàm $$I=\int \frac{x^4-3}{x(x^8+3x^2+2)}dx$$
  86. Giả sử $k>2$ là số nguyên dương và $x$ là số thực sao cho $\cos [(k-1)x]$ và $\cos (kx)$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng có số nguyên dương $n>k$ sao cho $\cos [(n-1)x]$ và $\cos (nx)$ là số hữu tỉ.
  87. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}x^4+2y^3-x=-\dfrac{1}{4}+3\sqrt{3}\\y^4+2x^3-y=-\dfrac{1}{4}-3\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$
  88. Giải phương trình sau $$\dfrac{\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x+6\sin x-5}{\cos^{2}\frac{x}{2}-1}=2\sqrt{3}$$
  89. Cho tứ diện $ABCD$ có $S$ là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua $S$ cắt các mặt của tứ diện tại $K$ và $L$. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{KS}{LS}\leq 3$$
  90. Giả sử $p$ là số nguyên tố, $a$ và $b$ là các số tự nhiên $(a<b)$ thỏa mãn điều kiện: Tổng các phân số tối giản có mẫu số $p$ nằm giữa $a$ và $b$ bằng $2011$. Tìm các số $p,a,b$.
  91. Cho $A\left ( 1;0 \right )$ và hai điểm $B$, $C$ lần lượt thuộc hai đường tròn $x^2+y^2=2$ và $x^2+y^2=5$. Tìm vị trí của $B$ và $C$ trên hai đường tròn sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.
  92. Với số thực dương $a$ cho trước, tìm tất cả các hàm số khả vi cấp hai $ f : [0; + \infty) \to (0; + \infty)$ thỏa mãn $$ f(x) f^{''} (x) \leq -a, \forall x \geq 0$$ với $a= 0$ thì liệu có tồn tại hàm số thỏa mãn điều kiện trên hay không?.
  93. Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S, M$ là trung điểm $BC$. Gọi $F$ là điểm thuộc $BM$. Đường thẳng qua $F$ và song song $AM$ cắt $AB$ tại $E$. Tìm vị trí của $F$ trên $BM$ để tam giác $ EFC$ có diện tích lớn nhất.
  94. Cho $1\le x\le y\le z$, chứng minh $$\frac{1}{8}(x+y)^{x+y-z}(y+z)^{y+z-x}(z+x)^{z+x-y}\ge \left(\frac{3}{2} \right )^{x+y+z-3}x^xy^yz^z$$
  95. Cho số nguyên dương $n >2$. Hãy tìm số các số nguyên $a$ thỏa mãn điều kiện: tồn tại song ánh $$f:\{1;2;...;n\} \to \{1;2;...;n\}$$ mà $$|f(i)-i|=a, \forall i=\overline{1,n}$$
  96. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $$x^{y^2}=y^x$$
  97. Ký hiệu $a,b,c,R,r$ lần lượt là độ dài các cạnh,bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Chứng minh $$a(b+c-a)^2+b(c+a-b)^2+c(a+b-c)^2 \le 6\sqrt{3}R^2(2R-r)$$ 
  98. Cho đa thức $$f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}.$$ Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$
  99. Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$. Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$ 
Unknown, June 7, 2019 at 5:31 AM said...

những bài toán này có lời giải không ạ

MOlympiad, June 16, 2019 at 6:06 PM said...

ban thu lam cac bai nay va co the trao doi tai day neu muon

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,21,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,51,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,46,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,45,Benelux,13,Bình Định,43,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,38,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1627,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,48,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,28,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,84,HSG 12,575,HSG 9,398,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,98,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,30,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,63,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,15,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,96,Olympic 10/3,5,Olympic 11,88,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,19,Olympic 30/4,64,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,10,Olympic Toán,297,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,44,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,34,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,123,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,19,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,21,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 3)
Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 3)
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2019/05/tong-hop-hon-400-bai-toan-hay-luyen-thi-olympic-toan-phan-3.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2019/05/tong-hop-hon-400-bai-toan-hay-luyen-thi-olympic-toan-phan-3.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy