Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 2)

1. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $$ \dfrac{a}{b+c^2} + \dfrac{b}{c+a^2}+ \dfrac{c}{a+b^2} \ge \dfrac{9}{3+a+b+c} $$
2. Bạn Bình và Nam chơi một trò chơi khá thú vị với một đa thức bậc ít nhất là 4 được cho sau đây $$x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+...x+1.$$ Họ lần lượt điền vào các hệ số còn trống trong đa thức trên bằng các số thực tùy ý. Nếu quá trình điền số hoàn tất mà đa thức nhận được vô nghiệm thì bạn Bình là người thắng cuộc, còn ngược lại thì bạn Nam thắng. Nếu bạn Bình điền số trước thì ai sẽ đảm bảo có chiến thuật thắng cuộc chơi.
3. Cho chóp $S.ABC$ có $SC=CA=AB=a\sqrt{2}$, $SC\perp (ABC)$, $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M\in SA$, $N\in BC$ sao cho $AM=CN=x$ ($0 < x < 2a$). Tìm $x$ để độ dài $MN$ nhỏ nhất.
4. Cho dãy số $\{U_n\}$ xác định bởi $U_1=U_2=1$ $$ \left\{\begin{array}{l}U_{2k+1}=3U_{2k}+6U_{2k-1}\\U_{2k+2}=3U_{2k+1}-6U_{2k}\end{array}\right.\;\;\forall k \ge 1.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
5. a) Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n!$ tận cùng bằng $1987$ chữ số $0$.
   b) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $$(y+1)^{x}=y!+1$$
6. Xét tập $A=\{1;2;...;n\}$. Với bất kì tập con khác rỗng $M$ của $A$, $$M=\{ m_1,m_2,...,m_k:m_1 > m_2 > ... > m_k \}.$$ Đặt $$S(M) = m_1 - m_2 + m_3 +... + (-1)^{k+1}m_k.$$ Tính $S = \sum_{M \subset A} S(M)$
7. Cho tập hợp hữu hạn các đoạn thẳng trong mặt phẳng có tổng độ dài là 1. Chứng minh rằng tồn tại đường thẳng $l$ sao cho hình chiếu của tất cả các đoạn đó trên $l$ có tổng độ dài nhỏ hơn $\dfrac{2}{\pi}$
8. Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$ \dfrac {a}{a^3+2} +\dfrac{b}{b^3+2}+\dfrac{c}{c^3+2} \le 1$$
9. Cho hàm số bậc hai $f(x)= -x^2+4px - p + 1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác có các đỉnh là giao điểm của parabol $y=f(x)$ với trục $Ox$ và đỉnh của parabol ấy. Tìm tất cả các số hữu tỷ $p$ sao cho $S$ là số nguyên.
10. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng $$y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}.$$
11. Trong một lớp học, mỗi học sinh có không quá ba người bạn thân.Chứng minh rằng có thể chia lớp ra làm $2$ tổ sao cho ở mỗi tổ mỗi bạn có không quá $1$ bạn thân.
12. Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất.
13. Giải phương trình nghiệm nguyên $$ x^3+y^3+z^3=4^n.{n^3}.$$
14. Tìm các nguyên hàm sau $$I= \int \dfrac{x^{5}}{x^{6}-x^{3}-2}dx,\,J= \int\dfrac{x^{3}+1}{x^{3}-5x^{2}+6}dx,\,Q= \int\dfrac{dx}{x(x^{10}+1)}$$
15. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có đúng 1 nghiệm $$x-2m \sqrt{x-1} +m -4 = 0$$
16. Cho trước số nguyên dương $n$, chứng minh rằng $$\sum_{k=0}^{n} \dfrac{ \binom{n}{k} ^2}{(2k+1)\binom{2n}{2k}} = \dfrac{2^{4n} (n!)^4}{(2n)! (2n+1)!}$$
17. Bên trong hình vuông cạnh $100$, ta đặt một đường gấp khúc $L$ có tính chất là mỗi điểm của hình vuông đều cách $L$ một khoảng không lớn hơn $0,5$. Chứng minh rằng khi đó trên $L$ có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $1$ nhưng "khoảng cách" dọc theo $L$ giữa chúng không nhỏ hơn $198$
18. Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,AD$ biết $AB=CD=2a$ và góc giữa đường thẳng $AB$ và $CD$ là $60^0$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng qua $MN$ và song song với $AB$
19. Giải phương trình $$\sqrt{x^2-p}+2{x^2-1}=x$$ với $p$ là hằng số thực.
20. Trong cuộc tranh giải cờ tướng, mỗi đấu thủ giành được $\dfrac{1}{2}$ số điểm của mình trong các trận đấu với các đối thủ xếp ở cuối bảng. Hỏi có mấy đấu thủ tham gia tranh giải?. Biết rằng trong 1 trận đấu: tổng số điểm của 2 đấu thủ bằng 1, thắng 1 điểm, thua 0 điểm, hòa $\dfrac{1}{2}$ điểm.
21. Cho 4 số dương $a,b,c,d$. Chứng minh bất đẳng thức $$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$$
22. Cho hình thang cân $ABCD$ ($AD // BC$) ngọai tiếp $(O; 1 cm)$ và nội tiếp $(I)$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$, biết $MI = 4 cm$. Tính diện tích hình thang $ABCD$
23. Tam thức bậc hai $f(x)$ luôn dương với mọi $x$. Chứng minh rằng $f(x)$ có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai nhị thức bậc nhất.
24. Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song với nhau. Với mỗi cạnh của đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa nhất với cạnh đó nhìn trên cạnh đó. Chứng minh rằng tổng các góc đó là $180^\circ$.
25. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $$x^{10}+y^{10}=z^{10}+199$$
26. Giải phương trình $$\sin ^{2006}x+\cos^{2005}x =1$$
27. Chứng minh rằng $$\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k(x-k)^n=n!, \forall x\in \mathbb{R}.$$
28. Qua một điểm $M$ ngoài $\Delta ABC$, chỉ bằng thước thẳng và compa dựng 1 đường thẳng cắt $\Delta ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
29. Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có $A(-2;6)$, đỉnh $B$ thuộc đường thẳng $(d):x - 2y +6 = 0$. Gọi $M, N$ lần lượt là 2 điểm nằm trên cạnh $BC, CD$ sao cho $BM = CN$. Biết $AM$ giao $BN$ tại điểm $I\left (\frac{2}{5};\frac{14}{5} \right )$. Xác định toạ độ đỉnh $C$
30. Cho các số $a_{1},a_{2},..,a_{q},x_{1},x_{2},..,x_{q}$ và $m$ là các số nguyên thỏa mãn $$m|a_{1}x_{1}^{k}+..+a_{q}x_{q}^{k},\forall k\geq 0.$$ Chứng minh rằng $$m| a_{1}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})...(x_{1}-x_{q})$$
31. Giải biện luận $$|x+1|+m|x-1|=(m+1)(3x+7|mx+5|)$$
32. Giải phương trình $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=1$$
33. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c= -abc$. Tìm min, max của $$P= \dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}$$
34. Tìm $a,b,c,d$ nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
    a) $bd>ad+bc$.
    b) $(9ac+bd)(ad+bc)=a^2d^2+10abcd+b^2+c^2$
35. Ta biết rằng nếu $OABC$ là tứ diện vuông tại $O$ thì $ABC$ là tam giác nhọn. Hỏi các bạn là với mỗi tam giác nhọn $ABC$ liệu có tồn tại tứ diện vuông $OABC$ tại $O$?
36. Xác định các hàm số liên tục $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn
    a) $f(2x)=2f(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$.
    b) $f(f^2(x))=xf(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$.
    c) $f(x) \in \mathbb{N^*},\forall x \in \mathbb{N^*}$.
37. Cho tam giác $ABC$ có 3 góc đều nhọn, có chu vi là $20 cm$, một đường tròn nội tiếp . Một tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp song song với cạnh $BC$ cắt hai cạnh còn lại tại $MN$, và $MN = 2.4 cm$. Tính $BC$.
38. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1 \neq 0$ và $$u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n},\forall n \geq 1.$$ Chứng minh rằng $|u_{100}| > 14$.
39. Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ. Xét $p$-giác đều có cạnh đơn vị. Từ các cạnh của đa giác này, dựng ở miền ngoài đa giác các hình chữ nhật kích thước $1\times k$ ($k$ là số nguyên dương), mỗi hình chữ nhật được chia thành $k$ ô đơn vị. Gọi $P$ là hình sao được tạo thành, gồm $kp$ ô đơn vị và $p-$ giác đều (như vậy có $kp+1$ miền). Mỗi miền được tô bởi một trong ba màu, các miền kề nhau có màu khác nhau. Hơn nữa đòi hỏi phép tô màu đó không có trục đối xứng. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu như vậy?
40. Cho hình vuông $ABCD$, trên các cạnh $BC,CD$ tương ứng lấy các điểm $E,F$. Gọi $P,Q$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AE,AF$ tương ứng, biết $$\dfrac{CP}{AE}+\dfrac{CQ}{AF}=1.$$ Chứng minh $\widehat{AEF}=45^0$.
41. Tìm $f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện sau
    a) Nếu $a$ chia hết $b$ thì $f(a) \geq f(b)$.
    b) $f(ab)+f\left ( a^2+b^2 \right ) = f(a)+f(b)$.
42. Giải phương trình sau $$31x^5+165x^4+310x^3+330x^2+155x+33=0$$
43. Cho hàm số $$y=f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}\quad \left ( C \right ).$$ Xác định $M(x,y) \in \left ( C \right ), (x>1)$ sao cho chu vi của tam giác hợp bởi tiếp tuyến tại $M$ và 2 tiệm cận nhỏ nhất.
44. Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh xuất phát từ $A$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $a$ là cạnh lớn nhất xuất phát từ $A$ và $r$ là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng $$a\geq (3+\sqrt{3})r$$
45. Tìm số nguyên $n$ với $100 \leq n \leq 1997$ thỏa $n|(2^n+2)$
46. Tìm tất cả các nghiệm dương của $$x^2-x-1=2^x-\log_2(x^2+2^x)$$
47. Một miền phẳng bị chặn có diện tích $S$ đã được phủ bởi họ hữu hạn $F$ các hình tròn. Chứng minh rằng $F$ chứa họ con các hình tròn rời nhau mà tổng diện tích không nhỏ hơn $\dfrac{S}{9}$.
48. Giải phương trình $$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$$
49. Xác định $c$ để phương trình sau có các nghiệm đều là số thực $$\left (\dfrac{1+ix}{1-ix} \right )^{2000}=c$$
50. Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Gọi $r_1,r_2,r_3,r_4$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$. Chứng minh rằng tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp khi và chỉ khi $$\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.$$
51. Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn: $abc=1$. Tìm max của $$P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$$
52. Cho tam giác $ABC$ có $\hat{A}=60^0$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua $I$ kẻ đường thẵng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$. Trên $BC$ lấy $P$ sao cho $3BP=BC$. Chứng minh $\widehat{BFP}=\dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$
53. Tìm tam giác đều nhỏ nhất sao cho có thể đặt 3 đĩa bán kính 2,3,4 vào đó mà không chồng lên nhau.
54. Cho $t$ là số dương tùy ý, số các phân số tối giản $\dfrac{a}{b}$, $0<a,b\leq t$ được kí hiệu là $d(t)$. Tính $$S=\sum_{i=1}^{1996} d \left (\dfrac{1996}{i} \right )$$
55. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $$S = \sqrt{a-b \cos x}+\sqrt{a-b\cos(\alpha - x)}$$ trên $(0,\alpha )$ với $a,b,\alpha$ là các hằng số và $a\geq b>0, 0 <\alpha \leq \pi$
56. $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm $O$ có độ dài các cạnh là $a,b,c,d$. Chứng minh $$OA.OC+OB.OD= \sqrt{abcd}.$$
57. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O,R)$. Gọi $Q$ là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác, $M,N,P$ lần lượt là giao điểm của $(O)$ với $QA,QB,QC$. ($Q$ là trung điểm $HO$ với $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$). Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$$
58. Chứng minh rằng nếu $f(x)$ là một đa thức thỏa mãn $$f(x)f(2x^2)=f(2x^3+x), \forall x \in \mathbb{R}$$ thì $f(x)$ không có nghiệm thực.
59. Cho tam giác $ABC$, ba đường cao là $AD,BE,CF$ Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ ở $G$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AD$ ở $H$. Chứng minh rằng $GH$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$
60. Hãy tìm thể tích của vật tròn xoay có được khi quay quanh trục $Oy$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \dfrac{\cos x}{x}$, các đường thẳng $x = \dfrac{\pi}{6}$, $x=\dfrac{\pi}{2}$.
61. Một đường cao của một tứ giác lồi là đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và vuông góc với cạnh đối.Chứng minh rằng bốn đường cao đồng quy khi và chỉ khi tứ giác là nội tiếp.
62. Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12h thì xong. Hj làm chung với nhau được 8h thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ 2 cứ tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong công việc trong 3h20'. Hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao nhiêu lâu để làm xong công viêc nói trên ?
63. Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.
64. Cho $a_1,a_2,...,a_n$ là các số tự nhiên khác nhau đôi một. Tìm tất cả các bộ $n+1$ số tự nhiên $(x_1,x_2,...,x_n,y)$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n)=1$ và $$\begin{cases}(x_1,x_2,...,x_n)&=1\\ a_2x_1+a_3x_2+...+a_nx_{n-1}+a_1x_n&=yx_2\\ .........................\\ a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n&=yx_n\end{cases}.$$
65. Cho tam giác $ABC$ có điểm $I$ thuộc miền trong của tam giác. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác. Gọi phần nằm ở miền trong tam giác của các đường thẳng đó là $AA',BB',CC'$. Tìm min, max của $$AA'+BB'+CC'$$
66. Giải phương trình $$5^{\cos^2x} + 2^{\sin^2x} = 4$$
67. Cho $a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$. Chứng minh $\sin a$, $\sin b$, $\sin c$ là các cạnh của một tam giác.
68. Cho 100 số thực dương thỏa mãn điều kiện $$\sum\limits_{i=1}^{100}{a_{i}}^{2} > 10000,\quad \sum\limits_{i=1}^{100}a_{i} < 300.$$ Chứng minh rằng luôn tồn tại 3 số có tổng không nhỏ hơn 100.
69. Cho tứ diện $SABC$ có $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $$\widehat{ASB}+\widehat{BSC}+\widehat{CSA}\geq \widehat{ASM}+\widehat{BSM}+\widehat{CSM}$$
70. Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và $$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n \log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k \log k}{\beta + (k + 1) \log (k + 1)}.$$ Tìm $$\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N).$$
71. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB$,$CA$, còn $K$ là trung điểm $MN$, $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMC,ANB$ cắt nhau tại $A,T$. Chứng minh rằng $AT$ đi qua $O$ khi và chỉ khi $d$ đi qua $K$.
72. Trong các số $$C_{2007}^0, C_{2007}^1, C_{2007}^2,...,C_{2007}^{ 2007}$$ có bao nhiêu số chẵn?
73. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có $M$ là điểm trên cạnh $CD$ sao cho tam giác $ADM$ và tứ giác $ABCM$ có cùng diện tích và cùng chu vi. Chứng minh rằng hai cạnh nào đó của tứ giác $ABCD$ có cùng độ dài.
74. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}{l}x-y+z&=4 \\\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}&=\dfrac{5}{2}\\x^3-y^3+z^3&=10\end{cases}.$$
75. Cho hình chóp $S.ABCD$ với đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$. Với $M$ thuộc miền tứ giác $ABCD$, $MG$ cắt mặt bên của hình chóp tại $N$. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $$Q = \frac{MG}{NG}+\frac{NG}{MG}$$
76. Tìm tất cả các số thực dương $a$ và $b$ sao cho tồn tại hàm số $f$ thỏa mãn $$f\left (f(x)+\dfrac{a}{f(x)} \right )=x+b, \forall x > 0$$
77. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường cao $AH$. Gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$. Trên cung nhỏ $AH$ của đường tròn $(O)$ lấy điểm $M$ bất kì khác $A$.Trên tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O)$ lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = BE =BA$. Đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $N$.
    a) Chứng minh rằng tứ giác $BDNE$ nội tiếp một đường tròn.
    b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BDNE$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc với nhau.
78. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x(x+y)^2&=9 \\x(y^3-x^3)&=7 \end{cases}.$$
79. Cho tam giác $ABC$ có $M$ thuộc miền trong của tam giác. Các đường thẳng $AM,BM,CM$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $A',B',C'$. Gọi $r$ và $r'$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$, còn $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $$4rr'\le R^2-OM^2$$
80. Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau $$A= \dfrac{n}{ (1,1)^{n} },\quad B= \dfrac{ n^{2} }{ (1,1)^{n} }$$
81. Tính $$\lim _{n \to \infty } \left ( \dfrac{1}{2}+\sin^2 \frac{\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{\pi}{7}}+\sin^2 \frac{2\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{2\pi}{7}}+\sin^2 \frac{3\pi}{7}.\sqrt[n]{\sin\dfrac{3\pi}{7}}\right )^n$$
82. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho lục giác $ABCDEF$ với các đỉnh $A(0,0)$, $B(n,0)$, $C(n,m)$, $D(n-1,m)$, $E(n-1,1)$, $F(0,1)$ đã được phân hoạch thành $n+m-1$ hình vuông đơn vị với các đỉnh có tọa độ nguyên. Tìm số các đường đi từ $A$ đến $C$ dọc theo các đường lưới, qua mỗi nút lưới không quá một lần.
83. Cho hai đường tròn ngoài nhau$(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt đường tròn (O) tại $4$ điểm. Gọi $B,C$ là $2$ trong $4$ điểm đó sao cho $B,C$ nằm về 1 phía với $O_{1}O_{2}$. Chứng minh rằng $BC$ song song với một tiếp tuyến chung ngoài của $(O_{1})$ và$(O_{2})$
84. Cho $2n$ giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một bộ $3$ đỉnh của đa giác được gọi là nằm cùng phía nếu $3$ điểm đó nằm trên cùng một nửa đường tròn tâm $O$. Hãy tìm số cách chọn ra $3$ đỉnh phân biệt sao cho cả $3$ đỉnh này nằm cùng phía
85. a) Cho $P(x)$, $Q(x)$ là các đa thức hệ số thực và dãy số $\{a_n \}$ sao cho $a_n=n!+n$. Chứng minh rằng nếu biểu thức $\dfrac{P(a_n)}{Q(a_n)}$ làmột1 số nguyên vối mọi $n$ thì thương $\dfrac{P(n)}{Q(n)}$ cũng là một số nguyên với mọi $n$ thỏa mãn $Q(n) \neq 0$.
    b) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn $$P(x)P(x+2)=P(x^2)$$
86. Tìm $x,y$ dương sao cho $$\frac{x+y}{2},\,\sqrt{xy},\,\dfrac{2xy}{x+y},\,\sqrt{\dfrac{x^2+y^2}{2}}$$ có tổng bằng $66$ và chúng đều không nguyên.
87. Trong không gian cho mặt cầu $S(O,R)$ và $A,B,C$ là ba điểm cố định cho trên mặt cầu. Xét điểm $D$ di chuyển trên $(S)$ nhưng không nằm trên mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M,N,P,Q$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $DAB$, $DBC$, $DCA$, $MNP$. Tìm quỹ tích điểm $Q$.
88. Cho trước số $k > 0$ và $ a,b,c>0, a^2+b^2+c^2=1$. Đặt $$f(a,b,c)= \dfrac{a}{b^k+c^k} +\dfrac{b}{c^k+a^k} + \dfrac{c}{a^k+b^k}.$$ Hãy tìm GTNN của $f(a,b,c)$.
    a) Giải bài toán khi $k$ nguyên dương chẵn.
    b) Giải bài toán khi $k > 0$.
    c) Có giá trị lớn nhất của $f(a,b,c)$ không?
89. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,M$ thuộc tam giác. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ cắt $BC$ tại $A'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BM$ cắt $CA$ tại $B'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $CM$ cắt $AB$ tại $C'$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.
90. Giải phương trình $$2\sin\left ( 3x+\frac{\pi}{4} \right )=\sqrt{1+8\sin2x\cos^22x}$$
91. Chia 100 số tự nhiên đầu tiên thành $m$ tập hợp. Hãy tìm $m$ lớn nhất sao cho mỗi tập hợp đó đều chứa ít nhất 1 bộ số Pythagore
92. Cho $P(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên $m$ thi $P(m)$ là số chính phương. Chứng minh rằng bậc của $P(x)$ là chẵn
93. Cho tứ diện $SABC$ có thể tích là $V$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý trong đáy $ABC$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA;SB;SC$. Các đường đó lần lượt cắt các mặt $SBC$, $SAC$, $SAB$ tại $A_1,B_1,C_1$. Gọi $V_1$ là thể tích tứ diện $M.A_1B_1C_1$. Hãy chứng minh $$V_1 \leq \dfrac{1}{27}V$$
94. Cho $a, b, c > 0$, $a = max \{ a, b, c \}$. Tìm min $$S = \dfrac{a}{b} + 2.\sqrt{1 + \dfrac{b}{c}} + 3.\sqrt[3]{1 + \dfrac{c}{a}}$$
95. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc ngoài nhau tại $T$. Môt đường thẳng tiếp xúc với $(I)$ tại $X$ cắt $(O)$ tại các điểm $A$ và $B$. Gọi $S$ là giao điểm thứ hai của $(O)$ với $XT$. Trên cung $TS$ không chứa $A$ và $B$ chọn môt điểm $C$. Gọi $CY$ là tiếp tuyến từ $C$ đến $(I)$ với $Y$ thuộc $(I)$ sao cho đoạn $CY$ không cắt đoạn $ST$. Gọi $E$ là giao điểm của $XY$ và $SC$. Chứng minh $E$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ tam giác $ABC$
96. Tim $$\lim_ {x\to{1}}{\dfrac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}}$$
97. Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn $G$ ta có $$g^{3}(G)\le{c\cdot{f^4(G)}}$$ trong đó $g(G)$ và $f(G)$ lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong $G$
98. Giải phương trình $$x^3 +17x^2 -25x-209=0$$
99. Cho hai parabol có phương trình $y^2 = 2px$ và $y=ax^2+bx+c$. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn.