Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 1)

Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 1)

Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG$, $BG$, $CG$ gặp lại đường tròn tại $D$, $E$, $F$ tương ứng. Chứng minh rằng $$\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$$
Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại một bội $a(n)$ của $2^n+1$ sao cho $a(n)$ có đúng $n$ số $1$, và $n$ số $1$ này đứng liên tiếp. Ví dụ: có thể chọn $$a(1)=12,\quad a(2)=110,\quad a(3)=456111$$
Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\dfrac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$. Tìm quỹ tích điểm $K$
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
Chứng minh rằng tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.
Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$ và hạ $AF \perp SC$.
a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.
b) Chứng tỏ rằng năm điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$, $k$, $n$ thỏa mãn phương trình $$(x!)^k+(y!)^k=(k+1)^n \cdot (n!)^k$$
Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của $$y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$$ là nhỏ nhất.
Tính tích phân $$\int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+x)dx}{x^2 +1}$$
Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là $2$ gồm có $8$ khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với $1$ lập phương đơn vị được bỏ ra là $1$ "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị. Chứng minh rằng nếu $1$ lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".
Cho lục giác lồi có $6$ góc bằng nhau $ABCDEF$. Biết $AB=AF=1(cm)$, $BE= 2,5 (cm)$ và $CF=3(cm)$. Tính độ dài các cạnh còn lại.
Cho tam giác $\triangle ABC$, các trung tuyến $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{\sqrt{m_a}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_b}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_c}} \ge \sqrt{\dfrac{6}{R}}$$
Cho hình vuông $n\times n$. Hãy tính số cách điền các chữ số $1$ và $-1$ vào để tổng mỗi hàng ngang, dọc đều bằng $0$.
Cho $\triangle ABC$ và điểm $O$ nằm trong tam giác đó. Các đường tròn nội tiếp các tam giác $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$ có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng nếu $O$ là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm hay trực tâm của $\triangle ABC$ thì $\triangle ABC$ là tam giác đều
Tính toán hai tổng sau $$S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k},\quad S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$$ (Ký hiệu $\binom{n}{k}=C_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.)
Với $\varepsilon >0$ cho trước, hàm $f:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa mãn $$\left|f(x+y)-f(x-y)-2f(y)\right|\le \varepsilon,\forall x,y\in\mathbb R.$$ Chứng minh rằng $\exists$ hàm $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ cộng tính sao cho $\left|f(x)-g(x)\right|\le \varepsilon$
Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình $$x^3-3xy^2+y^3=n$$ có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên. Khi $n=2891$ phương trình có ngiệm nguyên không?
Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến $AB$ và $AC$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm), $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$; $P$ là điểm bất kỳ trên đường thẳng $MN$. Kẻ $PD$ là tiếp tuyến của $(O)$. Chứng minh rằng $PA=PD$
Một tập $H$ các điểm trong mặt phẳng gọi là tốt nếu mỗi bộ $3$ điểm của $H$ có một trục đối xứng. Chứng minh rằng
a) Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.
b) Nếu một tập tốt $H$ có $2003$ phần tử thì tất cả chúng phải nằm trên một đường thẳng.
Trong tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1$, $l_2$, $l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB$, $BC$, $CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC$, $CA$ lần lượt tại $B_1$, $A_1$; $l_2$ cắt $CA$, $AB$ lần lượt tại $C_2$, $B_2$; $l_3$ cắt $AB$, $BC$ lần lượt tại $A_3$, $C_3$. Chứng minh rằng $$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$ trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Giải các phương trình sau
a) $3^{2^{x}}+2^{2^{x}}=2^x+3^{x+1}+x+1$.
b) $3^{\sin^2x}+3^{\cos^2x}=2^{-x}+2^{x}+2 $
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, phương trình $$ (C_{n}^{0})^{2}.x^{n} + (C_{n}^{1})^{2}.x^{n-1} +....+ (C_{n}^{n})^{2} = 0$$ có $n$ nghiệm thực phân biệt và tất cả các nghiệm đó đều âm
Trên bờ một biển hồ hình tròn có $2n$ thành phố $(n \geq 2)$. Giữa hai thành phố tùy ý có thể có hoặc không có đường thủy nối trực tiếp với nhau. Người ta nhận thấy rằng đối với $2$ thành phố $A$ và $B$ bất kì thì giữa chúng có đường thủy nối trực tiếp với nhau khi và chỉ khi giữa các thành phố $A$' và $B'$ không có đường thủy nối trực tiếp với nhau, trong đó $A'$ và $B'$ theo thứ tự là hai thành phố gần với $A$ và $B$ nhất nếu đi từ $A$ đến $A'$ và $B$ đến $B'$ trên bờ hồ dọc theo cùng một chiều (cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ). Chứng tỏ rằng: từ mỗi thành phố đều có thể đi bằng đường thủy đến một thành phố tùy ý khác nhau theo một lộ trình qua không quá hai thành phố trung gian.
Cho hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
- $f(3x)=3f(x), \forall x \in \mathbb{R}$.
- $f(x)=1-|x-2|, \forall x \in [1;3]$.
Tìm số $x$ nhỏ nhất thỏa mãn $f(x)=2001$.
Biết đa thức $f(x)=a x^{3} +a x^{2} +cx +d$, $(a \neq 0)$ có ba nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $$g(x)=4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2}$$ có bao nhiêu nghiệm?
Với mỗi số nguyên $N$ ta thực hiện một trong hai phép toán sau
a) Bớt đi các số $0$ của $N$.
b) Nhân $N$ với một số nguyên dương tùy ý.
Chứng minh rằng sau hữu hạn phép toán như vậy bằng cách hợp lí ta có $1$ số có $1$ chữ số
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $$D=\sin^5x+ \sqrt{3} \cos x.$$
Cho lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có các cạnh bằng nhau và $$\widehat{A_1}+\widehat{A_3}+\widehat{A_5}=\widehat{A_2}+\widehat{A_4}+\widehat{A_6}.$$ Chứng minh rằng $$\widehat{A_1}=\widehat{A_4},\, \widehat{A_2}=\widehat{A_5},\, \widehat{A_3}=\widehat{A_6}$$
Một mạng đường giao thông gồm một số tuyến xe buýt thỏa mãn
a) Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên $1$ tuyến xe buýt nào đó;
b) Hai tuyến xe buýt chỉ có đúng $1$ bến xe chung;
c) Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất $3$ bến xe.
Có $7$ bến xe buýt. Chứng minh rằng số bến xe trên mỗi tuyến bằng nhau .Tính số xe trên mỗi tuyến này
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^0$
Tìm hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+2002)(f(x)+\sqrt{2003})=-2004, \forall x$$
Giải hệ phương trình $$\begin{cases}y + \dfrac{y+3x}{x^2+y^2} &= 3\\ \dfrac{x - 3y}{x^2+y^2}&=x \end{cases}.$$
Cho tập hợp $X= \{ 1,2,3...,n \} \subset \mathbb{N}$. Gọi $A$ là con của tập con của $X$ thỏa mãn điều kiện tồn tại hai phần tử bất kì $a$, $b$ sao cho $b\mid a$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho $|A| =m$.
Cho tam giác $ABC$ có các cạnh lần lượt là $a$, $b$, $c$, các đường phân giác $AA'$, $BB'$, $CC'$. Đặt $B'C' = a_1$, $C'A'= b_1$, $A'B' = c_1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $$(a+b)^2a_1b_1+(b+c)^2b_1c_1+(c+a)^2c_1a_1 \geq 16S^2.$$
Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh có ít nhất $2^{n-1}+n$ số có thể chọn từ $\{ 1,2,...,2^n \}$ sao cho với mỗi cặp hai số phân biệt đã chọn $x$, $y$ ta đều có $x+y$ không là ước của $xy$.
Cho elip $$(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1.$$ Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M$, $N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc một đường tròn cố định.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$,
$f(-2)=f(-5)=n$.

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$.
a) Chứng minh tứ giác $CDEF$ là một tứ giác nội tiếp.
b) Kéo dài $DE$ cắt $AC$ ở $K$. Tia phân giác của góc $CKD$ cắt $EF$ và $CD$ tại $M$ và $N$. Tia phân giác của góc $CBF$ cắt $DE$ và $CF$ tại $P$ và $Q$. Tứ giác $MPNQ$ là hình gì ? Tại sao?
Tìm nguyên hàm $$\int \dfrac{x\sin x}{\sqrt{3+\sin^2x}}dx$$
Cho $p \in [1;2)$ Chứng minh tồn tại dãy số $\{u_n \}$ thỏa mãn $$\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1 \right)u_{n}^{1-\frac{1}{p}}< \infty$$
Tìm tất cả tập hợp $A$ có hữu hạn phần tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
a) $A$ có ít nhất $3$ phần tử.
b) Với bất kì ba số $a,b,c$ đôi một phân biệt cùng thuộc $A$ thì $ab+bc+ca$ thuộc $A$
Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình chữ nhật. Gọi $\alpha$, $\beta$ lần lượt là các góc tạo bởi đường chéo $AC'$ với các cạnh $AB$, $AD$. Gọi $\phi$ là góc phẳng nhị diện $(B,AC,D)$. Chứng minh rằng $$\cos \phi = -\cot \alpha . \cot \beta$$
Cho hình chữ nhật có diện tích bằng $1$. Bên trong có $5$ điểm phân biệt (có thể nằm trên biên hình chữ nhật) sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $2$ tam giác với đỉnh là $3$ trong $5$điểm trên có diện tích bằng $\frac{1}{4}$.
Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên gạch men hình thang cân với kích thước: đáy nhỏ $7cm$, đáy lớn $21cm$, cạnh bên $7\sqrt{2}$. Số lượng gạch men không hạn chế. Hỏi có thể lát kín được hay không ? (không được đập vỡ từng viên gạch hay lát chờm viên này lên viên kia). Giải thích tại sao ?
Cho tứ giác $ABCD$, đặt $M=\max \{ \sin A, \sin B, \sin C, \sin D \}$. Chứng minh rằng $$1-\cos (A+B)\cos(B+C)\cos(B+D) \leq 2M \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{B+C}{2} \sin\dfrac{C+A}{2} $$
Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt $$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\frac{1}{k}}.$$ a) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$.
b) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$, chứng minh rằng $$\frac{x}{z^3(x+11z)}+\frac{y}{x^3(y+11x)}+\frac{z}{y^3(z+11y)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x).$$
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))}+\frac{y}{x^3(y(y-z)+(y+x)(z+zy)}+\frac{z}{y^3(z(z-x)+(z+y)(x+y))} \\ +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z).$$
Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^4}{x+7y}+\frac{y^4}{y+7z}+\frac{z^4}{z+7x} > \frac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$$
Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt Phẳng ($\alpha$) cắt $SA$, $SB$, $SC$ tại $A_1$, $B_1$, $C_1$. Gọi $O$ là giao của $AC$ và $BD$, $O_1$ là giao của $A_1C_1$ và $SO$.
a) Tìm giao điểm $D_1$ của mặt phẳng $\alpha$ và $SD$.
b) Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=2\dfrac{SO}{SO_1}$.
c) Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=\dfrac{SB}{SB_1}+\dfrac{SD}{SD_1}$
Tìm $n$ nguyên dương để $$(n^2+1)\mid n!$$
Giải phương trình $$\sqrt{ \sqrt{2}-1-x }+ \sqrt[4]{x}= \dfrac{1}{ \sqrt[4]{2} } $$
Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm trong tứ diện. Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt cuả tứ diện. Gọi $D_a$ là đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(B_1C_1D_1)$, các đường thẳng $D_b$, $D_c$, $D_d$ xác định tương tự. Chứng minh $D_a$, $D_b$, $D_c$, $D_d$ đồng quy.
Cho dãy số nguyên dương $ \{ a_n \}_{n\ge 1}^{ + \infty}$ thỏa mãn $$ a_1 = 1,\, a_2 = 2,\quad a_{mn} = a_m \cdot a_n,\quad a_{m+n} \le C \left( a_m + a_n \right),\, \forall m,n \in \mathbb{N^{*}}$$ trong đó $ C \ge 1 $ là hằng số cho trước. Chứng minh rằng $ a_n = n, \forall n \in \mathbb{N^{*}} $
Ứng với mỗi $k>1$, gọi $$M(k) = \max \left \{ \frac{n}{s(n)}|{10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \};$$ $$m(k) = \min \left \{ \frac{n}{s(n)} | {10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \}.$$ Có thể biểu diễn $M(k), m(k)$ theo $k$ hay không?
Cho $x$, $y$, $z$ là các hằng số, $A$, $B$, $C$ là ba góc tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$$
Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)=aP(x)+bP'(x)+cP''(x)$ với $a,b,c$ thuộc $\mathbb R$, $a\neq 0$, $b^2-4ac >0$. Chứng minh rằng nếu $Q(x)$ vô nghiệm thì $P(x)$ vô nghiệm
Cho $C$ là một điểm nằm trên đường kính $AB$ của nửa đường tròn tâm $O$, khác $A$, $B$, $O$. Hai tia vuông góc với nhau qua $C$ cắt nửa đường tròn tại $D$, $E$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $DC$ cắt lại đường tròn tại $K$. Chứng minh rằng nếu $K$ không trùng $E$ thì $KE$ song song $AB$
Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases} x^2+3xz+z^2&=1 \\ 3y^2+3yz+z^2&=4 \\ x^2-xy+y^2&=m \end{cases}.$$
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X$, $Y$, $Z$, $T$, $U$, $V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$, $BC$. Gọi $E$, $F$, $G$ thứ tự là trung điểm của $XY$, $ZT$, $UV$. Chứng minh rằng $E$, $F$, $G$ thẳng hàng.
Chứng minh tồn tại dãy số $(a_n)$ là dãy tăng các số nguyên dương sao cho dãy $(b_n)$ với $b_n=k+a_n,\forall n$ chứa hữu hạn các số nguyên tố (với mọi số tự nhiên $k$)
Tính tích phân $$I=\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x(\ln x+1)}{(1+x+\ln x)^3}dx$$
Cho $a,b,c$ là các số nguyên, $b$ lẻ, xác định dãy $f(n)$ như sau $$f(0)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=2c,\,f(3)=3b,\, f(n+3)=af(n-1)+bf(n)+cf(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, và mọi số nguyên tố $p$ ta có $f(p^m)$ chia hết cho $p$.
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $M$ di động trên đoạn $BC$. Đường tròn đường kính $AM$ cắt $AB$, $AC$ ở $P$, $Q$. Tiếp tuyến của nó tại $P$, $Q$ cắt nhau ở $T$. Tìm quĩ tích $T$ khi $M$ di động
Giải phương trình $$\sin x\sin 2x\sin 3x + \cos x\cos 2x\cos 3x = \dfrac{1}{2}$$
Kéo dài các trung tuyến của tam giác $ABC$ cho đến khi chúng cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác, gọi độ dài của các đoạn này là $M_a$, $M_b$, $M_c$. Chứng minh $$M_a+M_b+M_c\geq \dfrac{4}{3}(m_a+m_b+m_c),\quad M_a+M_b+M_c\geq \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}(a+b+c).$$ Khi nào thì có dấu đẳng thức?
Cho $P(x) = x^{2} + ax+ b$. Biết rằng $\forall x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta có $|P(x)| \leq \frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $a^3 + b^3$
Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ là $$x^2+y^2-x-5y+4=0.$$ $H$ thuộc đường thẳng $\Delta :3x-y-4=0$. Trung điểm của $AB$ là $M(2,3)$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của $$F=\sin A^{n} \sin B^{n+1} \sin C^{2n+1}$$
Chứng minh rằng tổng các bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ đến đường thẳng $d$ bất kỳ qua $O$ không đổi.
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai $f''(x) \geq 0$ trên toàn bộ $\mathbb{R}$ và $a \in \mathbb R$ cố định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $$g(x)=f(x)-(a-x)f'(x)$$ trên $\mathbb R$.
Cho $n\geq 3$ và $a_k> 0$, $k = 1,2,...,n$. Đặt $S= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i$, $P= a_1.a_2...a_n$. Bất đẳng thức sau có đúng không? $$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n]{\dfrac{S}{P}}$$
Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $a(n)$ là số chữ số $1$ của $n$ (trong hệ thập phân). Có tồn tại hay không số $n$ thỏa $a(n^2+1)=7a(n)$
Trong không gian, cho tam giác $ABC$, dựng đường thẳng $d$ bất kỳ qua $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $d$ lần lượt tại $B'$ và $C'$. Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$
Cho $n$ là một số nguyên dương và $b$ là số nguyên lớn nhất mà bé hơn $\left( \sqrt[3]{28} - 3 \right)^{-n}$. Chứng minh rằng $b$ không chia hết cho $6$
Cho $2$ phương trình $x^2+px+q=0$ và $x^2+mx+n=0$ ($p,q,m,n$ nguyên) có $1$ nghiệm chung không phải là số nguyên. Chứng minh $p=m,q=n$.
Trong không gian cho hai đường thẳng $x$, $y$ chéo nhau. Giả sử $A$, $B$ là hai điểm cố định trên $ x$ và $CD$ là đoạn thẳng có chiều dài $l$ cho trước có thể di chuyển trên $y$. Tìm vị trí của $CD$ sao cho diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

$f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $,
$n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$.

Cho trước số thực dương $a$, đường thẳng $d$ và hai điểm $A$, $B$ nằm cùng phía đối với $d$. Dựng điểm $M \in d$ sao cho $AM+MB =a$
Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $$
Một tờ giấy có dạng hình vuông $ABCD$. Gấp tờ giấy sao cho $C$ nằm trên cạnh $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{MR}{RQ}$
Giải hệ phương trình $$\begin{cases}4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}&=\dfrac{85}{3}\\2x+ \dfrac{1}{x+y}&=\dfrac{13}{3}\end{cases}.$$
Giải phương trình $$4\cos15x\cos5x\cos3x\cos x + \cos15x\cos5x + \cos3x\cos x = 0$$
Gọi $L$ là tập các điểm nguyên trên mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi cặp $3$ điểm $A$, $B$, $C$ thuộc $L$ thì tồn tại điểm thứ tư $D$ sao cho phần trong của các đoạn thẳng (phần đoạn thẳng trừ đi hai đầu mút) $AD$, $BD$, $CD$ không chứa một điểm nào thuộc $L$.
Từ một điểm $P$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $PE,PF$ tới đường tròn ($E,F$ là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua $P$, cắt đường tròn tại hai điểm $A,B$ ($A$ nằm giữa $P$ và $B$) và cắt $EF$ tại $Q$.
a) Khi cát tuyến đi qua $O$, Chứng minh $$\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB} \quad (1).$$ b) Đẳng thức $(1)$ có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm $O$? Hãy chứng minh điều đó.
Tính $$\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương: $ a_1,...,a_n$ thỏa mãn $$\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i$$
Giải phương trình $$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$ trong đó $n$ là số nguyên dương.
Cho tứ diện $SABC$ có $\widehat{ASB} = \alpha ; \widehat{BSC} = 45^0 $. Xác định giá trị góc $\alpha$ để góc nhị diện cạnh $SC$ bằng $60^0$
Cho $k$ là số nguyên dương và $S_n=\left \{1,2,...,n \right \},(n \geq 3) $. Hàm $f:S_n^k \to S_k$ thỏa mãn: nếu $a,b \in S_n^k$ và chúng khác nhau ở tất cả các vị trí thì $f(a) \neq f(b)$. Chứng minh rằng có $i \in \left \{1,2,...,k \right \}$ sao cho $$f(a_1,a_2,...,a_k)=a_i ,\forall a=(a_1,a_2,...,a_k)\in S_n^k.$$
Cho tứ giác $ABCD$, điểm $M$ di động trên đoạn $AB$. Hai đường tròn $(MAC)$, $(MBD)$ giao nhau tại $M,N$. Tìm quĩ tích điểm $N$.
Trong một hình vuông có cạnh bằng $1$, đặt một hình $F$ mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của nó không bằng $0,0001$. Chứng minh rằng diện tích của hình đó không lớn hơn
a) $0,34$.
b) $0,287$.
Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$
Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau $$u_1=1,\,u_2=2,\quad u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^3 -1}{u_{n-1}}.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy?
Cho hình vuông $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ bất kì, $AM$ cắt $CD$ tại $N$. Hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại $O$, $OM$ cắt $BN$ tại $P$. Chứng minh rằng $CP$ vuông góc với $BN$.
Tìm giới hạn $$P =\lim _{n \to +\infty } \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sin ^n x}}{x}dx}$$
Cho ba số thực $a, b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c = 2\sqrt3$ và $a^2$, $b^2$, $c^2$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$\sqrt{7(a^{3}+b^{3})+11ab}+\sqrt{7(b^{3}+c^{3})+11bc}+\sqrt{7(c^{3}+a^{3})+11ca} \geq 10\sqrt{3}$$
Giải hệ sau với $a$, $b$, $c$ là các hằng số $$ \dfrac{xy}{ay+bx} = \dfrac{yz}{cz+by}= \dfrac{zx}{ax+cz}= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$$
Cho $P_1 P_2......P_7$ là bảy điểm trong không gian trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Tô màu mỗi đoạn $P_iP_j$ $(i<j)$ với một trong hai màu đỏ hoặc đen. Chứng minh rằng có hai tam giác đơn sắc không có chung cạnh. Điều này có đúng không nếu có $6$ điểm ?

Olympic 10 Olympic 11 Olympic 12 Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic Toán

FACEBOOK

MOlympiad.NET

Header$type=social_icons

$hide=mobile$type=ticker$c=12$cols=3$l=0$sr=random$b=0

ĐẶT MUA TẠP CHÍ / PURCHASE JOURNALS

Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 1)

$hide=mobile$type=ticker$c=36$cols=2$l=0$sr=random$b=0

/fa-solid fa-arrow-up-right-dots fa-beat/ POPULAR$type=list-tab$date=0$au=0$rm=0

/fa-solid fa-square-rss fa-beat/ RECENT$type=list-tab$date=0$au=0$rm=0

/fa-solid fa-comments fa-beat/ COMMENT$type=list-tab

/fa-solid fa-book-open fa-flip/ YOU MAY LIKE$type=list$date=0$au=0$rm=0$src=random-posts

$hide=mobile

$hide=mobile