Tuyển Sinh 2022-2023

Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 1)

  1. Cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AG$, $BG$, $CG$ gặp lại đường tròn tại $D$, $E$, $F$ tương ứng. Chứng minh rằng $$\dfrac{AG}{GD}+\dfrac{BG}{GE}+\dfrac{CG}{GF}=3$$
  2. Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại một bội $a(n)$ của $2^n+1$ sao cho $a(n)$ có đúng $n$ số $1$, và $n$ số $1$ này đứng liên tiếp. Ví dụ: có thể chọn $$a(1)=12,\quad a(2)=110,\quad a(3)=456111$$
  3. Cho tam giác $ABC$ có điểm $M$ chuyển động trên cạnh $BC$. Vẽ hình bình hành $MEAF$ với $E$ nằm trên $AB$, $F$ nằm trên $AC$. Điểm $N$ chia đoạn $EF$ theo tỉ số $\dfrac{1}{3}$. Lấy điểm $K$ thỏa mãn tam giác $ANK$ vuông cân tại $N$. Tìm quỹ tích điểm $K$
  4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$$
  5. Chứng minh rằng tồn tại vô số số chính phương một số lẻ chữ số, có đúng một chữ số $1$ trong biễu diễn thập phân và chữ số $1$ đứng thứ ở vị trí chính giữa.
  6. Cho tam giác vuông cố định $\triangle ABC$ vuông tại $C$. Trên đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $A$, lấy một điểm di động $S$. Hạ $AD\perp SB$ và hạ $AF \perp SC$.
    a) Tìm quỹ tích của $D$ và $F$ khi $S$ di chuyển.
    b) Chứng tỏ rằng năm điểm $A$, $B$, $C$, $D$, $F$ nằm trên một hình cầu. Xác định tâm hình cầu đó.
    c) Chứng minh rằng $DF$ đi qua một điểm cố định trên $BC$
  7. Tìm tất cả các số nguyên dương $x$, $y$, $k$, $n$ thỏa mãn phương trình $$(x!)^k+(y!)^k=(k+1)^n \cdot (n!)^k$$
  8. Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của $$y=\dfrac{|(1-m)x^2 +4x + 4 -m|}{x^2 +1}$$ là nhỏ nhất.
  9. Tính tích phân $$\int_{0}^{1} \dfrac{\ln(1+x)dx}{x^2 +1}$$
  10. Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là $2$ gồm có $8$ khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với $1$ lập phương đơn vị được bỏ ra là $1$ "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị. Chứng minh rằng nếu $1$ lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".
  11. Cho lục giác lồi có $6$ góc bằng nhau $ABCDEF$. Biết $AB=AF=1(cm)$, $BE= 2,5 (cm)$ và $CF=3(cm)$. Tính độ dài các cạnh còn lại.
  12. Cho tam giác $\triangle ABC$, các trung tuyến $m_{a}$, $m_{b}$, $m_{c}$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng $$\dfrac{1}{\sqrt{m_a}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_b}} + \dfrac{1}{\sqrt{m_c}} \ge \sqrt{\dfrac{6}{R}}$$
  13. Cho hình vuông $n\times n$. Hãy tính số cách điền các chữ số $1$ và $-1$ vào để tổng mỗi hàng ngang, dọc đều bằng $0$.
  14. Cho $\triangle ABC$ và điểm $O$ nằm trong tam giác đó. Các đường tròn nội tiếp các tam giác $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$ có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng nếu $O$ là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm hay trực tâm của $\triangle ABC$ thì $\triangle ABC$ là tam giác đều
  15. Tính toán hai tổng sau $$S_1=\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k},\quad S_2=\sum_{k=1}^n k^k{n\choose k}$$ (Ký hiệu $\binom{n}{k}=C_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.)
  16. Với $\varepsilon >0$ cho trước, hàm $f:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa mãn $$\left|f(x+y)-f(x-y)-2f(y)\right|\le \varepsilon,\forall x,y\in\mathbb R.$$ Chứng minh rằng $\exists$ hàm $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ cộng tính sao cho $\left|f(x)-g(x)\right|\le \varepsilon$
  17. Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu phương trình $$x^3-3xy^2+y^3=n$$ có ngiệm nguyên thì nó sẽ có ít nhất $3$ ngiệm nguyên. Khi $n=2891$ phương trình có ngiệm nguyên không?
  18. Cho đường tròn $(O)$. Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến $AB$ và $AC$ ($B$, $C$ là các tiếp điểm), $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$; $P$ là điểm bất kỳ trên đường thẳng $MN$. Kẻ $PD$ là tiếp tuyến của $(O)$. Chứng minh rằng $PA=PD$
  19. Một tập $H$ các điểm trong mặt phẳng gọi là tốt nếu mỗi bộ $3$ điểm của $H$ có một trục đối xứng. Chứng minh rằng
    a) Một tập tốt không cần phải có trục đối xứng.
    b) Nếu một tập tốt $H$ có $2003$ phần tử thì tất cả chúng phải nằm trên một đường thẳng.
  20. Trong tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1$, $l_2$, $l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB$, $BC$, $CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC$, $CA$ lần lượt tại $B_1$, $A_1$; $l_2$ cắt $CA$, $AB$ lần lượt tại $C_2$, $B_2$; $l_3$ cắt $AB$, $BC$ lần lượt tại $A_3$, $C_3$. Chứng minh rằng $$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$ trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
  21. Giải các phương trình sau
    a) $3^{2^{x}}+2^{2^{x}}=2^x+3^{x+1}+x+1$.
    b) $3^{\sin^2x}+3^{\cos^2x}=2^{-x}+2^{x}+2 $
  22. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, phương trình $$ (C_{n}^{0})^{2}.x^{n} + (C_{n}^{1})^{2}.x^{n-1} +....+ (C_{n}^{n})^{2} = 0$$ có $n$ nghiệm thực phân biệt và tất cả các nghiệm đó đều âm
  23. Trên bờ một biển hồ hình tròn có $2n$ thành phố $(n \geq 2)$. Giữa hai thành phố tùy ý có thể có hoặc không có đường thủy nối trực tiếp với nhau. Người ta nhận thấy rằng đối với $2$ thành phố $A$ và $B$ bất kì thì giữa chúng có đường thủy nối trực tiếp với nhau khi và chỉ khi giữa các thành phố $A$' và $B'$ không có đường thủy nối trực tiếp với nhau, trong đó $A'$ và $B'$ theo thứ tự là hai thành phố gần với $A$ và $B$ nhất nếu đi từ $A$ đến $A'$ và $B$ đến $B'$ trên bờ hồ dọc theo cùng một chiều (cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ). Chứng tỏ rằng: từ mỗi thành phố đều có thể đi bằng đường thủy đến một thành phố tùy ý khác nhau theo một lộ trình qua không quá hai thành phố trung gian.
  24. Cho hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
    • $f(3x)=3f(x), \forall x \in \mathbb{R}$. 
    • $f(x)=1-|x-2|, \forall x \in [1;3]$. 
    Tìm số $x$ nhỏ nhất thỏa mãn $f(x)=2001$.
  25. Biết đa thức $f(x)=a x^{3} +a x^{2} +cx +d$, $(a \neq 0)$ có ba nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức $$g(x)=4(a x^{3} +a x^{2} +cx +d)(3ax+b)-(3a x^{2}+2bx+c)^{2}$$ có bao nhiêu nghiệm?
  26. Với mỗi số nguyên $N$ ta thực hiện một trong hai phép toán sau
    a) Bớt đi các số $0$ của $N$.
    b) Nhân $N$ với một số nguyên dương tùy ý.
    Chứng minh rằng sau hữu hạn phép toán như vậy bằng cách hợp lí ta có $1$ số có $1$ chữ số
  27. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $$D=\sin^5x+ \sqrt{3} \cos x.$$
  28. Cho lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có các cạnh bằng nhau và $$\widehat{A_1}+\widehat{A_3}+\widehat{A_5}=\widehat{A_2}+\widehat{A_4}+\widehat{A_6}.$$ Chứng minh rằng $$\widehat{A_1}=\widehat{A_4},\, \widehat{A_2}=\widehat{A_5},\, \widehat{A_3}=\widehat{A_6}$$
  29. Một mạng đường giao thông gồm một số tuyến xe buýt thỏa mãn
    a) Hai bến xe buýt bất kỳ cùng nằm trên $1$ tuyến xe buýt nào đó;
    b) Hai tuyến xe buýt chỉ có đúng $1$ bến xe chung;
    c) Mỗi tuyến xe buýt có ít nhất $3$ bến xe.
    Có $7$ bến xe buýt. Chứng minh rằng số bến xe trên mỗi tuyến bằng nhau .Tính số xe trên mỗi tuyến này
  30. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh là $a$. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng $AB'$ và $BC'$ đồng thời hợp với mặt phẳng $ABCD$ một góc $60^0$
  31. Tìm hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x+2002)(f(x)+\sqrt{2003})=-2004, \forall x$$
  32. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}y + \dfrac{y+3x}{x^2+y^2} &= 3\\ \dfrac{x - 3y}{x^2+y^2}&=x \end{cases}.$$
  33. Cho tập hợp $X= \{ 1,2,3...,n \} \subset \mathbb{N}$. Gọi $A$ là con của tập con của $X$ thỏa mãn điều kiện tồn tại hai phần tử bất kì $a$, $b$ sao cho $b\mid a$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho $|A| =m$.
  34. Cho tam giác $ABC$ có các cạnh lần lượt là $a$, $b$, $c$, các đường phân giác $AA'$, $BB'$, $CC'$. Đặt $B'C' = a_1$, $C'A'= b_1$, $A'B' = c_1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $$(a+b)^2a_1b_1+(b+c)^2b_1c_1+(c+a)^2c_1a_1 \geq 16S^2.$$
  35. Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh có ít nhất $2^{n-1}+n$ số có thể chọn từ $\{ 1,2,...,2^n \}$ sao cho với mỗi cặp hai số phân biệt đã chọn $x$, $y$ ta đều có $x+y$ không là ước của $xy$.
  36. Cho elip $$(E):\frac{ x^{2} }{4}+ \frac{ y^{2} }{9} =1.$$ Một góc vuông $\widehat{MON}$ quay quanh gốc tọa độ, với $M$, $N$ thuộc elip. Chứng minh $MN$ tiếp xúc một đường tròn cố định.
  37. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, luôn tồn tại duy nhất đa thức $f(x)$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
    • Hệ số của $f$ thuộc $\{ 0,1,2,..,9 \}$,
    • $f(-2)=f(-5)=n$.
  38. Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, nửa đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$. Trên cung $AD$ lấy một điểm $E$. Nối $BE$ và kéo dài cắt $AC$ tại $F$.
    a) Chứng minh tứ giác $CDEF$ là một tứ giác nội tiếp.
    b) Kéo dài $DE$ cắt $AC$ ở $K$. Tia phân giác của góc $CKD$ cắt $EF$ và $CD$ tại $M$ và $N$. Tia phân giác của góc $CBF$ cắt $DE$ và $CF$ tại $P$ và $Q$. Tứ giác $MPNQ$ là hình gì ? Tại sao?
  39. Tìm nguyên hàm $$\int \dfrac{x\sin x}{\sqrt{3+\sin^2x}}dx$$
  40. Cho $p \in [1;2)$ Chứng minh tồn tại dãy số $\{u_n \}$ thỏa mãn $$\left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}-1 \right)u_{n}^{1-\frac{1}{p}}< \infty$$
  41. Tìm tất cả tập hợp $A$ có hữu hạn phần tử thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
    a) $A$ có ít nhất $3$ phần tử.
    b) Với bất kì ba số $a,b,c$ đôi một phân biệt cùng thuộc $A$ thì $ab+bc+ca$ thuộc $A$
  42. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình chữ nhật. Gọi $\alpha$, $\beta$ lần lượt là các góc tạo bởi đường chéo $AC'$ với các cạnh $AB$, $AD$. Gọi $\phi$ là góc phẳng nhị diện $(B,AC,D)$. Chứng minh rằng $$\cos \phi = -\cot \alpha . \cot \beta$$
  43. Cho hình chữ nhật có diện tích bằng $1$. Bên trong có $5$ điểm phân biệt (có thể nằm trên biên hình chữ nhật) sao cho không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $2$ tam giác với đỉnh là $3$ trong $5$điểm trên có diện tích bằng $\frac{1}{4}$.
  44. Người ta dự định lát nền một căn phòng hình chữ nhật bằng các viên gạch men hình thang cân với kích thước: đáy nhỏ $7cm$, đáy lớn $21cm$, cạnh bên $7\sqrt{2}$. Số lượng gạch men không hạn chế. Hỏi có thể lát kín được hay không ? (không được đập vỡ từng viên gạch hay lát chờm viên này lên viên kia). Giải thích tại sao ?
  45. Cho tứ giác $ABCD$, đặt $M=\max \{ \sin A, \sin B, \sin C, \sin D \}$. Chứng minh rằng $$1-\cos (A+B)\cos(B+C)\cos(B+D) \leq 2M \sin \dfrac{A+B}{2} \sin \dfrac{B+C}{2} \sin\dfrac{C+A}{2} $$
  46. Cho tam giác $ABC$ với độ dài ba cạnh là $a, b, c$ và độ dài các đường trung tuyến tương ứng là $ m_a,m_b,m_c$. Với mỗi số thực $k$ đặt $$S_k= \left( \dfrac{a^k+b^k+c^k}{m_a^k+m_b^k+m_c^k} \right)^{\frac{1}{k}}.$$ a) Tính $ \lim_{k \to 0}S_k$.
    b) Định dạng tam giác $ABC$ để cho $ S_k$ không phụ thuộc vào $k$.
  47. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$, chứng minh rằng $$\frac{x}{z^3(x+11z)}+\frac{y}{x^3(y+11x)}+\frac{z}{y^3(z+11y)} +\dfrac{1}{12} \geq \dfrac{1}{24}(x+y)(y+z)(z+x).$$
  48. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x}{z^3(x(x-y)+(x+z)(y+z))}+\frac{y}{x^3(y(y-z)+(y+x)(z+zy)}+\frac{z}{y^3(z(z-x)+(z+y)(x+y))} \\ +1 \geq \dfrac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) + \dfrac{1}{4}(x+y+z).$$
  49. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx+1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^4}{x+7y}+\frac{y^4}{y+7z}+\frac{z^4}{z+7x} > \frac{1}{8}(x+y+z+3xyz)$$
  50. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt Phẳng ($\alpha$) cắt $SA$, $SB$, $SC$ tại $A_1$, $B_1$, $C_1$. Gọi $O$ là giao của $AC$ và $BD$, $O_1$ là giao của $A_1C_1$ và $SO$.
    a) Tìm giao điểm $D_1$ của mặt phẳng $\alpha$ và $SD$.
    b) Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=2\dfrac{SO}{SO_1}$.
    c) Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{SA_1}+\dfrac{SC}{SC_1}=\dfrac{SB}{SB_1}+\dfrac{SD}{SD_1}$
  51. Tìm $n$ nguyên dương để $$(n^2+1)\mid n!$$
  52. Giải phương trình $$\sqrt{ \sqrt{2}-1-x }+ \sqrt[4]{x}= \dfrac{1}{ \sqrt[4]{2} } $$
  53. Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm trong tứ diện. Gọi $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt cuả tứ diện. Gọi $D_a$ là đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(B_1C_1D_1)$, các đường thẳng $D_b$, $D_c$, $D_d$ xác định tương tự. Chứng minh $D_a$, $D_b$, $D_c$, $D_d$ đồng quy.
  54. Cho dãy số nguyên dương $ \{ a_n \}_{n\ge 1}^{ + \infty}$ thỏa mãn $$ a_1 = 1,\, a_2 = 2,\quad a_{mn} = a_m \cdot a_n,\quad a_{m+n} \le C \left( a_m + a_n \right),\, \forall m,n \in \mathbb{N^{*}}$$ trong đó $ C \ge 1 $ là hằng số cho trước. Chứng minh rằng $ a_n = n, \forall n \in \mathbb{N^{*}} $ 
  55. Ứng với mỗi $k>1$, gọi $$M(k) = \max \left \{ \frac{n}{s(n)}|{10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \};$$ $$m(k) = \min \left \{ \frac{n}{s(n)} | {10^{k-1} \leq n \leq 10^k-1}\right \}.$$ Có thể biểu diễn $M(k), m(k)$ theo $k$ hay không?
  56. Cho $x$, $y$, $z$ là các hằng số, $A$, $B$, $C$ là ba góc tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = x\sin ^2A + y\sin ^2B + z\sin ^2C$$
  57. Cho đa thức $P(x)$ và $Q(x)=aP(x)+bP'(x)+cP''(x)$ với $a,b,c$ thuộc $\mathbb R$, $a\neq 0$, $b^2-4ac >0$. Chứng minh rằng nếu $Q(x)$ vô nghiệm thì $P(x)$ vô nghiệm
  58. Cho $C$ là một điểm nằm trên đường kính $AB$ của nửa đường tròn tâm $O$, khác $A$, $B$, $O$. Hai tia vuông góc với nhau qua $C$ cắt nửa đường tròn tại $D$, $E$. Đường thẳng qua $D$ vuông góc với $DC$ cắt lại đường tròn tại $K$. Chứng minh rằng nếu $K$ không trùng $E$ thì $KE$ song song $AB$
  59. Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm $$\begin{cases} x^2+3xz+z^2&=1 \\ 3y^2+3yz+z^2&=4 \\ x^2-xy+y^2&=m \end{cases}.$$
  60. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp, $M$ là một điểm bất kì, $X$, $Y$, $Z$, $T$, $U$, $V$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$, $BC$. Gọi $E$, $F$, $G$ thứ tự là trung điểm của $XY$, $ZT$, $UV$. Chứng minh rằng $E$, $F$, $G$ thẳng hàng.
  61. Chứng minh tồn tại dãy số $(a_n)$ là dãy tăng các số nguyên dương sao cho dãy $(b_n)$ với $b_n=k+a_n,\forall n$ chứa hữu hạn các số nguyên tố (với mọi số tự nhiên $k$)
  62. Tính tích phân $$I=\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x(\ln x+1)}{(1+x+\ln x)^3}dx$$
  63. Cho $a,b,c$ là các số nguyên, $b$ lẻ, xác định dãy $f(n)$ như sau $$f(0)=4,\,f(1)=0,\,f(2)=2c,\,f(3)=3b,\, f(n+3)=af(n-1)+bf(n)+cf(n+1), \forall n \in \mathbb{N}^*.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, và mọi số nguyên tố $p$ ta có $f(p^m)$ chia hết cho $p$.
  64. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $M$ di động trên đoạn $BC$. Đường tròn đường kính $AM$ cắt $AB$, $AC$ ở $P$, $Q$. Tiếp tuyến của nó tại $P$, $Q$ cắt nhau ở $T$. Tìm quĩ tích $T$ khi $M$ di động
  65. Giải phương trình $$\sin x\sin 2x\sin 3x + \cos x\cos 2x\cos 3x = \dfrac{1}{2}$$
  66. Kéo dài các trung tuyến của tam giác $ABC$ cho đến khi chúng cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác, gọi độ dài của các đoạn này là $M_a$, $M_b$, $M_c$. Chứng minh $$M_a+M_b+M_c\geq \dfrac{4}{3}(m_a+m_b+m_c),\quad M_a+M_b+M_c\geq \dfrac{2 \sqrt{3} }{3}(a+b+c).$$ Khi nào thì có dấu đẳng thức?
  67. Cho $P(x) = x^{2} + ax+ b$. Biết rằng $\forall x$ thỏa mãn $|x| \leq 1$, ta có $|P(x)| \leq \frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $a^3 + b^3$
  68. Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ là $$x^2+y^2-x-5y+4=0.$$ $H$ thuộc đường thẳng $\Delta :3x-y-4=0$. Trung điểm của $AB$ là $M(2,3)$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
  69. Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của $$F=\sin A^{n} \sin B^{n+1} \sin C^{2n+1}$$
  70. Chứng minh rằng tổng các bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O,R)$ đến đường thẳng $d$ bất kỳ qua $O$ không đổi.
  71. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai $f''(x) \geq 0$ trên toàn bộ $\mathbb{R}$ và $a \in \mathbb R$ cố định. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $$g(x)=f(x)-(a-x)f'(x)$$ trên $\mathbb R$.
  72. Cho $n\geq 3$ và $a_k> 0$, $k = 1,2,...,n$. Đặt $S= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i$, $P= a_1.a_2...a_n$. Bất đẳng thức sau có đúng không? $$ \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{S- a_i} < \sqrt[n]{\dfrac{S}{P}}$$
  73. Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $a(n)$ là số chữ số $1$ của $n$ (trong hệ thập phân). Có tồn tại hay không số $n$ thỏa $a(n^2+1)=7a(n)$ 
  74. Trong không gian, cho tam giác $ABC$, dựng đường thẳng $d$ bất kỳ qua $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ các đường vuông góc với $d$ lần lượt tại $B'$ và $C'$. Biết độ dài ba cạnh tam giác là $a,b,c$. Hãy tính giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện $BCB'C'$ 
  75. Cho $n$ là một số nguyên dương và $b$ là số nguyên lớn nhất mà bé hơn $\left( \sqrt[3]{28} - 3 \right)^{-n}$. Chứng minh rằng $b$ không chia hết cho $6$ 
  76. Cho $2$ phương trình $x^2+px+q=0$ và $x^2+mx+n=0$ ($p,q,m,n$ nguyên) có $1$ nghiệm chung không phải là số nguyên. Chứng minh $p=m,q=n$. 
  77. Trong không gian cho hai đường thẳng $x$, $y$ chéo nhau. Giả sử $A$, $B$ là hai điểm cố định trên $ x$ và $CD$ là đoạn thẳng có chiều dài $l$ cho trước có thể di chuyển trên $y$. Tìm vị trí của $CD$ sao cho diện tích toàn phần của tứ diện $ABCD$ nhỏ nhất 
  78. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
    • $f(f(n))=n, \forall n\in \mathbb{N}^* $,
    • $n| \left (f(1)+f(2)+...+f(n) \right ),\forall n\in \mathbb{N}^*$.
  79. Cho trước số thực dương $a$, đường thẳng $d$ và hai điểm $A$, $B$ nằm cùng phía đối với $d$. Dựng điểm $M \in d$ sao cho $AM+MB =a$
  80. Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng $$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $$
  81. Một tờ giấy có dạng hình vuông $ABCD$. Gấp tờ giấy sao cho $C$ nằm trên cạnh $AB$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\dfrac{MR}{RQ}$
  82. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}4xy+4(x^2+y^2)+\dfrac{3}{(x+y)^2}&=\dfrac{85}{3}\\2x+ \dfrac{1}{x+y}&=\dfrac{13}{3}\end{cases}.$$
  83. Giải phương trình $$4\cos15x\cos5x\cos3x\cos x + \cos15x\cos5x + \cos3x\cos x = 0$$
  84. Gọi $L$ là tập các điểm nguyên trên mặt phẳng. Chứng minh rằng với mọi cặp $3$ điểm $A$, $B$, $C$ thuộc $L$ thì tồn tại điểm thứ tư $D$ sao cho phần trong của các đoạn thẳng (phần đoạn thẳng trừ đi hai đầu mút) $AD$, $BD$, $CD$ không chứa một điểm nào thuộc $L$.
  85. Từ một điểm $P$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $PE,PF$ tới đường tròn ($E,F$ là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua $P$, cắt đường tròn tại hai điểm $A,B$ ($A$ nằm giữa $P$ và $B$) và cắt $EF$ tại $Q$.
    a) Khi cát tuyến đi qua $O$, Chứng minh $$\dfrac{PA}{PB} = \dfrac{QA}{QB} \quad (1).$$ b) Đẳng thức $(1)$ có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm $O$? Hãy chứng minh điều đó.
  86. Tính $$\int_0^1 \dfrac{x^{10}}{x^{10}+1} dx $$
  87. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương: $ a_1,...,a_n$ thỏa mãn $$\sum^n_{i=1}\dfrac{i}{a_i}=\dfrac{1}{n}\sum^n_{i=1}a_i$$
  88. Giải phương trình $$(x-1)^2\left [1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n \right ]=1$$ trong đó $n$ là số nguyên dương.
  89. Cho tứ diện $SABC$ có $\widehat{ASB} = \alpha ; \widehat{BSC} = 45^0 $. Xác định giá trị góc $\alpha$ để góc nhị diện cạnh $SC$ bằng $60^0$
  90. Cho $k$ là số nguyên dương và $S_n=\left \{1,2,...,n \right \},(n \geq 3) $. Hàm $f:S_n^k \to S_k$ thỏa mãn: nếu $a,b \in S_n^k$ và chúng khác nhau ở tất cả các vị trí thì $f(a) \neq f(b)$. Chứng minh rằng có $i \in \left \{1,2,...,k \right \}$ sao cho $$f(a_1,a_2,...,a_k)=a_i ,\forall a=(a_1,a_2,...,a_k)\in S_n^k.$$
  91. Cho tứ giác $ABCD$, điểm $M$ di động trên đoạn $AB$. Hai đường tròn $(MAC)$, $(MBD)$ giao nhau tại $M,N$. Tìm quĩ tích điểm $N$.
  92. Trong một hình vuông có cạnh bằng $1$, đặt một hình $F$ mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì của nó không bằng $0,0001$. Chứng minh rằng diện tích của hình đó không lớn hơn
    a) $0,34$.
    b) $0,287$.
  93. Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$
  94. Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau $$u_1=1,\,u_2=2,\quad u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^3 -1}{u_{n-1}}.$$ Tìm số hạng tổng quát của dãy?
  95. Cho hình vuông $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ bất kì, $AM$ cắt $CD$ tại $N$. Hai đường chéo hình vuông cắt nhau tại $O$, $OM$ cắt $BN$ tại $P$. Chứng minh rằng $CP$ vuông góc với $BN$.
  96. Tìm giới hạn $$P =\lim _{n \to +\infty } \int\limits_0^1 {\dfrac{{\sin ^n x}}{x}dx}$$
  97. Cho ba số thực $a, b,c \geq 0$ thỏa mãn $a+b+c = 2\sqrt3$ và $a^2$, $b^2$, $c^2$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $$\sqrt{7(a^{3}+b^{3})+11ab}+\sqrt{7(b^{3}+c^{3})+11bc}+\sqrt{7(c^{3}+a^{3})+11ca} \geq 10\sqrt{3}$$
  98. Giải hệ sau với $a$, $b$, $c$ là các hằng số $$ \dfrac{xy}{ay+bx} = \dfrac{yz}{cz+by}= \dfrac{zx}{ax+cz}= \dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}$$
  99. Cho $P_1 P_2......P_7$ là bảy điểm trong không gian trong đó không có bốn điểm nào đồng phẳng. Tô màu mỗi đoạn $P_iP_j$ $(i<j)$ với một trong hai màu đỏ hoặc đen. Chứng minh rằng có hai tam giác đơn sắc không có chung cạnh. Điều này có đúng không nếu có $6$ điểm ?
MOlympiad.NET rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc LIÊN HỆ
[email protected]
You can use $\LaTeX$ in comment




Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên SP TPHCM Chuyên SPHN Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Dương Quỳnh Châu Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 2015-2016 HSG 10 2022-2023 HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Bạc Liêu HSG 10 Bắc Ninh HSG 10 Bình Định HSG 10 Bình Dương HSG 10 Bình Thuận HSG 10 Chuyên SPHN HSG 10 Đắk Lắk HSG 10 Đồng Nai HSG 10 Gia Lai HSG 10 Hà Nam HSG 10 Hà Tĩnh HSG 10 Hải Dương HSG 10 KHTN HSG 10 Nghệ An HSG 10 Phú Yên HSG 10 Thái Nguyên HSG 10 Thanh Hóa HSG 10 Trà Vinh HSG 10 Vĩnh Phúc HSG 11 HSG 11 2011-2012 HSG 11 2012-2013 HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Bạc Liêu HSG 11 Bắc Ninh HSG 11 Bình Định HSG 11 Bình Dương HSG 11 Bình Thuận HSG 11 Cà Mau HSG 11 Đà Nẵng HSG 11 Đồng Nai HSG 11 Hà Nam HSG 11 Hà Tĩnh HSG 11 Hải Phòng HSG 11 HSG 12 Quảng Ngãi HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Nghệ An HSG 11 Ninh Bình HSG 11 Thái Nguyên HSG 11 Thanh Hóa HSG 11 Trà Vinh HSG 11 Vĩnh Long HSG 11 Vĩnh Phúc HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 An Giang HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bạc Liêu HSG 12 Bắc Ninh HSG 12 Bến Tre HSG 12 Bình Định HSG 12 Bình Dương HSG 12 Bình Phước HSG 12 Bình Thuận HSG 12 Cà Mau HSG 12 Cần Thơ HSG 12 Cao Bằng HSG 12 Chuyên SPHN HSG 12 Đà Nẵng HSG 12 Đắk Lắk HSG 12 Đắk Nông HSG 12 Đồng Nai HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Gia Lai HSG 12 Hà Nam HSG 12 Hà Tĩnh HSG 12 Hải Dương HSG 12 Hải Phòng HSG 12 Hòa Bình HSG 12 Khánh Hòa HSG 12 KHTN HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Nam Định HSG 12 Nghệ An HSG 12 Ninh Bình HSG 12 Phú Yên HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ngãi HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Sơn La HSG 12 Tây Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 12 Thanh Hóa HSG 12 Thừa Thiên Huế HSg 12 Tiền Giang HSG 12 TPHCM HSG 12 Vĩnh Long HSG 12 Vĩnh Phúc HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 2022-2023 HSG 9 An Giang HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bắc Ninh HSG 9 Bến Tre HSG 9 Bình Định HSG 9 Bình Dương HSG 9 Bình Phước HSG 9 Bình Thuận HSG 9 Cà Mau HSG 9 Cao Bằng HSG 9 Đà Nẵng HSG 9 Đắk Lắk HSG 9 Đắk Nông HSG 9 Đồng Nai HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Gia Lai HSG 9 Hà Giang HSG 9 Hà Nam HSG 9 Hà Tĩnh HSG 9 Hải Dương HSG 9 Hải Phòng HSG 9 Hòa Bình HSG 9 Khánh Hòa HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Nam Định HSG 9 Nghệ An HSG 9 Ninh Bình HSG 9 Phú Yên HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ngãi HSG 9 Quảng Ninh HSG 9 Sơn La HSG 9 Tây Ninh HSG 9 Thanh Hóa HSG 9 Thừa Thiên Huế HSG 9 Tiền Giang HSG 9 TPHCM HSG 9 Trà Vinh HSG 9 Vĩnh Long HSG 9 Vĩnh Phúc HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lăng Hồng Nguyệt Anh Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Hồng Phong Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Nhất Huy Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Song Thiên Long Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 10/3 Đắk Lắk Olympic 11 Olympic 12 Olympic 23/3 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp Ôn Thi 10 PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Quang Đạt Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2008-2009 TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST 2022-2023 TST An Giang TST Bà Rịa Vũng Tàu TST Bắc Giang TST Bắc Ninh TST Bến Tre TST Bình Định TST Bình Dương TST Bình Phước TST Bình Thuận TST Cà Mau TST Cần Thơ TST Cao Bằng TST Đà Nẵng TST Đắk Lắk TST Đắk Nông TST Đồng Nai TST Đồng Tháp TST Gia Lai TST Hà Nam TST Hà Tĩnh TST Hải Dương TST Hải Phòng TST Hòa Bình TST Khánh Hòa TST Lạng Sơn TST Long An TST Nam Định TST Nghệ An TST Ninh Bình TST Phú Yên TST PTNK TST Quảng Nam TST Quảng Ngãi TST Quảng Ninh TST Sơn La TST Thái Nguyên TST Thanh Hóa TST Thừa Thiên Huế TST Tiền Giang TST TPHCM TST Trà Vinh TST Vĩnh Long TST Vĩnh Phúc Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 An Giang Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh Tuyển Sinh 10 Bến Tre Tuyển Sinh 10 Bình Định Tuyển Sinh 10 Bình Dương Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Bình Thuận Tuyển Sinh 10 Cà Mau Tuyển Sinh 10 Cao Bằng Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk Tuyển Sinh 10 Đắk Nông Tuyển Sinh 10 Đồng Nai Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Gia Lai Tuyển Sinh 10 Hà Giang Tuyển Sinh 10 Hà Nam Tuyển Sinh 10 Hà Nội Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh Tuyển Sinh 10 Hải Dương Tuyển Sinh 10 Hải Phòng Tuyển Sinh 10 Hòa Bình Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa Tuyển Sinh 10 KHTN Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Nam Định Tuyển Sinh 10 Nghệ An Tuyển Sinh 10 Ninh Bình Tuyển Sinh 10 Phú Yên Tuyển Sinh 10 PTNK Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Sơn La Tuyển Sinh 10 Tây Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế Tuyển Sinh 10 Tiền Giang Tuyển Sinh 10 TPHCM Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Sinh 2022-2023 Tuyển Sinh Chuyên SP TPHCM Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 1)
Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán (Phần 1)
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2019/05/tong-hop-hon-400-bai-toan-hay-luyen-thi-olympic-toan-phan-1.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2019/05/tong-hop-hon-400-bai-toan-hay-luyen-thi-olympic-toan-phan-1.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Table of Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN