# Polish Mathematical Olympiad 1995

1. How many subsets of $\{1, 2, ... , 2n\}$ do not contain two numbers with sum $2n+1$?
2. The diagonals of a convex pentagon divide it into a small pentagon and ten triangles. What is the largest number of the triangles that can have the same area?
3. Let $p$ be a prime number, and define a sequence by
• $x_i=i$ for $i=,0,1,2...,p-1$ and
• $x_n=x_{n-1}+x_{n-p}$ for $n \geq p$.
Find the remainder when $x_{p^3}$ is divided by $p$.
4. The positive reals $x_1, x_2, ... , x_n$ have harmonic mean $1$. Find the smallest possible value of $$x_1 + \frac{x_2 ^2}{2} + \frac{x_3 ^3}{3} + ... + \frac{x_n ^n}{n}.$$
5. An urn contains $n$ balls labeled $1, 2, ... , n$. We draw the balls out one by one (without replacing them) until we obtain a ball whose number is divisible by $k$. Find all $k$ such that the expected number of balls removed is $k$.
6. $PA$, $PB$, $PC$ are three rays in space. Show that there is just one pair of points $B'$, $C$' with $B'$ on the ray $PB$ and $C'$ on the ray $PC$ such that $$PC' + B'C' = PA + AB' \quad \text{and} \quad PB' + B'C' = PA + AC'.$$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...