# [Solutions] Nordic Mathematical Contest 2019

1. The geometric mean of the non-negative numbers $a_1, a_2,\cdots,$ $a_n$ is defined as $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$. A set of different positive integers is called meaningful if for any finite nonempty subset the corresponding arithmetic and geometric means are both integers.
a) Does there exist a meaningful set which consists of $2019$ numbers?.
b) Does there exist an infinite meaningful set?.
2. Let $a, b, c$ be the side lengths of a right angled triangle with $c > a, b$. Show that $$3<\frac{c^3-a^3-b^3}{c(c-a)(c-b)}\leq \sqrt{2}+2.$$
3. The quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ACD = 2\angle CAB$, $\angle ACB = 2\angle CAD$ and $CB = CD$. Show that $\angle CAB=\angle CAD$.
4. Let $n$ be an integer with $n\geq 3$ and assume that $2n$ vertices of a regular $(4n + 1)-$gon are coloured. Show that there must exist three of the coloured vertices forming an isosceles triangle.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ[email protected]Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...