# [Solutions] The Mathematical Danube Competition 2016

1. Let $ABC$ be a triangle, $D$ the foot of the altitude from $A$ and $M$ the midpoint of the side $BC$. Let $S$ be a point on the closed segment $DM$ and let $P$, $Q$ the projections of $S$ on the lines $AB$ and $AC$ respectively. Prove that the length of the segment $PQ$ does not exceed one quarter the perimeter of the triangle $ABC$.
2. A bank has a set $S$ of codes for its customers, in the form of sequences of $0$ and $1$, each sequence being of length $n$. Two codes are called close if they are different at exactly one position. It is known that each code from $S$ has exactly $k$ close codes in $S$.
a) Show that $S$ has an even number of elements.
b) Show that $S$ contains at least $2k$ codes.
3. Let $n > 1$ be an integer and $a_1, a_2, . . . , a_n$ be positive reals with sum $1$.
a) Show that there exists a constant $c \geq \frac{1}{2}$ so that $$\sum \frac{a_k}{1+(a_0+a_1+...+a_{k-1})^2}\geq c,$$ where $a_0 = 0$.
b) Show that the best value of $c$ is at least $\frac{\pi}{4}$.
4. Prove that there exist only finitely many positive integers $n$ such that $$\left(\frac{n}{1}+1\right)\left(\frac{n}{2}+2\right)\ldots \left(\frac{n}{n}+n\right)$$ is an integer.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ[email protected]Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...