[Đáp Án] Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm TP Hà Nội 2019-2020 (Vòng 1)

1. a) Cho $a$ là số thực khác $1$ và $-1$. Rút gọn biểu thức $$P=\dfrac{\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right)^{2}+3}{\left(\dfrac{a-1}{a+1}\right)^{2}+3} \div \frac{a^{3}+1}{a^{3}-1}-\frac{2 a}{a-1}.$$ b) Cho các số thực $x, y, a$ thỏa mãn $$\sqrt{x^{2}+\sqrt[3]{x^{4} y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\sqrt[3]{y^{4} x^{2}}}=a.$$ Chứng minh rằng $$\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}=\sqrt[3]{a^{2}}.$$
2. Trên quãng đường dài $20km$, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ $A$ đến $B$ và bạn Bình đi bộ từ $B$ đến $A$. Sau $2$ giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình găp nhau tại $C$ và cùng nghỉ lại $15$ phút (vận tốc của An trên quãng đường $A C$ không thay đổi, vận tốc của Bình trên quãng đường $B C$ không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến $B$ với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quãng đường $A C$ là $1km / h$, Bình đi tiếp đến $A$ với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường $B C$ là $1km / h$. Biết rằng An đến $B$ sớm hơn so với Bình đến $A$ là $48$ phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường $A C$ là bao nhiêu?
3. Cho các đa thức $P(x)=x^{2}+a x+b$, $Q(x)=x^{2}+c x+d$ với $a, b, c, d$ là các số thực.
   a) Tìm tất cả các giá trị của $a$, $b$ để $1$ và $a$ là nghiệm của phương trình $P(x)=0$.
   b) Giả sử phương trình $P(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$ và phương trình $Q(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3}$, $x_{4}$ sao cho $$P\left(x_{3}\right)+P\left(x_{4}\right)=Q\left(x_{1}\right)+Q\left(x_{2}\right).$$ Chứng minh rằng $$\left|x_{1}-x_{2}\right|=\left|x_{3}-x_{4}\right|.$$
4. Cho đường tròn $(O)$, bán kính $R$, ngoại tiếp tam giác $A B C$ có ba góc nhọn. Gọi $A A_{1}$, $B B_{1}$, $C C_{1}$ là các đường cao của tam giác $A B C$ ($A_{1}$ thuộc $B C$, $B_{1}$ thuộc $C A$, $C_{1}$ thuộc $A B$). Đường thẳng $A_{1} C_{1}$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A^{\prime}$ và $C^{\prime}$ ($A_{1}$ nằm giữa $A^{\prime}$ và $C_{1}$). Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A^{\prime}$ và $C^{\prime}$ cắt nhau tại $B^{\prime}$.
   a) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $$H C_{1} \cdot A_{1} C=A_{1} C_{1} \cdot H B_{1}.$$ b) Chứng minh rằng ba điểm $B$, $B^{\prime}$, $O$ thẳng hàng.
   c) Khi tam giác $A B C$ là tam giác đều, hãy tính $A^{\prime} C^{\prime}$ theo $R$.
5. Cho các số thực $x$, $y$ thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=x y(x-2)(y+6)+13 x^{2}+4 y^{2}-26 x+24 y+46.$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN