SỐ HỌC
Bảng Stern $$\begin{array}{llllllllll} 1 & & & & & & & & & & & & & & & & 1 \\ 1 & & & & & & & & 2 & & & & & & & & 1 \\ 1 & & & & 3 & & & & 2 & & & & 3 & & & & 1 \\ 1 & & 4 & & 3 & & 5 & & 2 & & 5 & & 3 & & 4 & & 1 \\ 1 & 5 & 4 & 7 & 3 & 8 & 5 & 7 & 2 & 7 & 5 & 8 & 3 & 7 & 4 & 5 & 1 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \end{array} $$là bảng vô hạn dòng được xây dựng theo cách như sau:
- Viết tại dòng thứ nhất hai số 1; và sau khi đã xây dựng được dòng thứ $n$ $(n \geq 1)$,
- Viết lại dòng thứ $n$ tại dòng thứ $n+1$; đồng thời chèn vào giữa hai số hạng liên tiếp bất kì một số mới, bằng tổng của hai số hạng đó...
- Chứng minh rằng dòng thứ $n$ của bảng có $2^{n-1}+1$ số.
- Trung bình cộng của các số trên dòng thứ $n$ bằng bao nhiêu?
- Chứng minh rằng
a) Số thứ $k$ và số thứ $2^{n-1}+2-k\left(1 \leq k \leq 2^{n-1}+1\right)$ trên dòng thứ $n$ là bằng nhau;
b) Hai số liên tiếp trên mỗi dòng là nguyên tố cùng nhau;
c) Nếu $a, b, c$ là 3 số liên tiếp, theo thứ tự đó, trên một dòng nào đó của bảng thì $b \mid a+c$. - Trong bảng Stern ở trên, ta xóa đi cột ngoài cùng bên phải (gồm các số $1$), rồi liệt kê các số còn lại của bảng tuần tự từ trái sang phải, từ trên xuống dưới $$1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,5,3,4,1,5, \ldots$$ Người ta gọi dãy $\left(s_{n}\right)_{n \geq 1}$ thu được ở trên là dãy Stern.
- Chứng minh rằng dãy Stern $\left(s_{n}\right)$ được xác định bởi các điều kiện: $s_{1}=1$ và $$s_{n}= \begin{cases}s_{n / 2} & \text { nếu } n \text { chẵn } \\ s_{(n-1) / 2}+s_{(n+1) / 2} & \text { nếu } n \text { lẻ }\end{cases}$$ với mọi $n \geq 2$. Giá trị của số thứ 304 trên dòng thứ 2019 của bảng Stern bằng bao nhiêu?
- Chứng minh rằng $s_{n+1}$ bằng số cách biểu diễn $n$ thành tổng của các lũy thừa với số mũ nguyên và không âm của 2 , mà mỗi luỹ thừa có mặt không quá hai lần trong tổng (không kể thứ tự giữa các hạng tử trong tổng; chẳng hạn, $4=2^{2}=2^{1}+2^{1}=2^{1}+2^{0}+2^{0}$ và $s_{5}=3$).
- Chứng minh rằng
a) $s_{j(n)}=F_{n}$, trong đó $j(n)=\frac{2^{n}-(-1)^{n}}{3}$;
b) Giá trị lớn nhất của các số trên dòng thứ $n$ của bảng Stern bằng $F_{n+1}$. ở đây, $\left(F_{n}\right)$ là dãy Fibonacci quen biết, được cho bởi $F_{1}=F_{2}=1$ và quan hệ truy hồi $$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \quad \forall n \geq 3$$ - Chứng minh rằng mọi số hữu tỷ dương đều xuất hiện một và chỉ một lần trong dãy vô hạn các phân số $$\frac{s_{1}}{s_{2}}, \frac{s_{2}}{s_{3}}, \frac{s_{3}}{s_{4}}, \ldots, \frac{s_{n}}{s_{n+1}}, \ldots$$
ĐẠI SỐ
Cho $$P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}$$ là một đa thức hệ số thực. Số thực $r$ được gọi là một nghiệm bội $m$ của $P(x)$ nếu $P(x)=$ $(x-r)^{m} Q(x)$, trong đó $Q(x)$ là một đa thức mà $Q(r) \neq 0$ và $m$ là một số nguyến dương (được gọi là số bội của nghiệm $r$ ). Giả sử tất cả các nghiệm dương (đôi một khác nhau) của đa thức $P(x)$ bao gồm $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}(k \geq 0)$, với số bội tương ứng là $m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{k}$. Khi đó, ta gọi đại lượng $N(P)=m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{k}$ là số nghiệm dương, tính cả bội của $P(x)$ (dĩ nhiên, $N(P)=0$ khi $k=0$ ). Số nghiệm dương, tính cả bội của đa thức không (đa thức $P(x) \equiv 0$ ) được quy ước là $N(0)=0$. Ta định nghĩa số lần đổi dấu của dãy số thực $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ là số bộ $(i, j)$ với $0 \leq i<j \leq n$ sao cho $a_{i} a_{j}<0$ và $a_{k}=0$ khi $i<k<j$. Số lần đổi dấu của dã̃y số thực $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ sẽ được kí hiệu là $W\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$. Với $P(x)$ là đa thức được cho ở (1), ta đặt $W(P)=$ $W\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)$. Nói cách khác, $W(P)$ là sồ lần đổi dấu của dãy các hệ số của đa thức $P(x)$. Các kí hiệu và định nghĩa trên được sử dụng cho toàn bộ các bài toán sau.- Chứng minh rằng
a) $W\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=W\left(-a_{n},-a_{n-1}, \ldots,-a_{0}\right)$.
b) $W\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=W\left(p_{0} a_{0}, p_{1} a_{1}, \ldots, p_{n} a_{n}\right)$ nếu $p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{n}$ là các số dương. - Chứng minh rằng
a) $W(P) \geq W\left(P^{\prime}\right)$, trong đó $P^{\prime}(x)$ kí hiệu đạo hàm của đa thức $P(x)$.
b) $N(P)$ là một số chẵn nếu $a_{0} a_{n}>0 ; N(P)$ là một số lẻ nếu $a_{0} a_{n}<0$. - Chứng minh rằng nếu $W\left(P^{\prime}\right) \equiv N\left(P^{\prime}\right)(\bmod 2)$ thì $W(P) \equiv N(P)(\bmod 2)$.
- (Quy tắc dấu Descartes) Chứng minh rằng
a) $W(P) \geq N(P)$.
b) $W(P)-N(P)$ là một số chẵn. - Đa thức $x^{10}-x^{2}-x-1$ có bao nhiêu nghiệm dương?
- Chứng minh rằng đa thức $$Q(x)=30 x^{7}-4 x^{6}-1975 x^{4}-30 x^{2}-4 x-2019$$ có đúng một nghiệm thực.
- Cho số nguyên dương $n \geq 4$. Đăt $$P_{n}(x)=x^{5 n^{3}+1}-2 x^{n^{3}+n}-3 x^{n^{3}-3 n^{2}}-4 x^{n^{2}+n}-5 x^{n^{2}-1}+6 x^{n-1}+7 .$$ Chứng minh rằng $P_{n}(x) \geq 0$ với mọi $x \geq 0$.
- Cho đa thức hệ số thực $R(x)=c_{0}+c_{1} x^{m_{1}}+c_{2} x^{m_{2}}+\cdots+c_{n} x^{m_{n}}$, trong đó $0<m_{1}<m_{2}<\ldots<m_{n}$ thỏa mãn $m_{i} \equiv i \pmod 2$ với mọi $1 \leq i \leq n$. Giả sử $c_{0} \neq 0$. Chứng minh rằng $R(x)$ có không quá $n$ nghiệm thực.
- Cho các số nguyên dương $m_{1}<m_{2}<\ldots<m_{n}$. Chứng minh rằng tồn tại các số thực $c_{0}, c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ sao cho đa thức $c_{0}+c_{1} x^{m_{1}}+c_{2} x^{m_{2}}+\cdots+c_{n} x^{m_{n}}$ có đúng $n$ nghiệmdương.