[Đáp Án] Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Tỉnh Bắc Giang 2014-2015 (Toán Chuyên)

1. Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2 x-1}$ có đồ thị là $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$, biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $(d): 2 x+3 y-1=0$ một góc $45^{\circ}$.
2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $$y=m x^{3}-3 m x^{2}+(2 m+1) x+3-m$$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\frac{1}{2} ; \frac{15}{4}\right)$ đến đường thằng $A B$ đạt giá trị lớn nhất.
3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh $(n \in \mathbb{N}, n>4)$. Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp $5$ lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.
4. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\pi / 4} \frac{x^{2}}{(\cos x+x \sin x)^{2}} {\rm d} x.$$
5. Giải phương trình $$(1+x)\left(2+4^{x}\right)=3 \cdot 4^{x} \quad (x \in \mathbb{R}).$$
6. Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A$ ' $B$ ' $C$ ' có đáy $A B C$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $C C'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left(A C C^{\prime} A^{\prime}\right)$ và $\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right)$ bằng $60^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $C C'$ và $A B'$.
7. Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P): x-y-2 z-5=0$ và đường thẳng $(d): \dfrac{x-2}{4}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ nằm trong $(P)$, song song với $(d)$ và cách $(d)$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.
8. Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$ cho tam giác $A B C$ có đỉnh $A(3 ; 3)$, đường phân giác trong góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2 ; 1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $B C=\dfrac{8}{\sqrt{5}}$ và góc $\widehat{B A C}$ nhọn.
9. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\dfrac{1}{2 x}+\dfrac{x}{y} &=\dfrac{3(x+\sqrt{y})}{4 x^{2}+2 y} \\ \dfrac{3}{16} y^{2}-x y &=1-\sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}} \end{cases}$$
10. Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả mãn điều kiện $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$a^{3}+b^{3}+c^{3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 3(a b+b c+c a).$$

DOWNLOAD ĐÁP ÁN