# [Solutions] International Zhautykov Mathematical Olympiad 2018

1. Let $\alpha,\beta,\gamma$ measures of angles of opposite to the sides of triangle with measures $a,b,c$ respectively. Prove that $$2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$$
2. Let $N$, $K$, $L$ be points on $AB$, $BC$, $CA$ such that $CN$ bisector of angle $\angle ACB$ and $AL=BK$. Let $BL\cap AK=P$. If $I$, $J$ be incenters of triangles $\triangle BPK$ and $\triangle ALP$ and $IJ\cap CN=Q$ prove that $IQ=JP$
3. Prove that there exist infinitely pairs $(m,n)$ such that $m+n$ divides $(m!)^n+(n!)^m+1$
4. Crocodile chooses $1\times 4$ tile from $2018\times 2018$ square.The bear has tilometer that checks $3\times 3$ square of $2018\times 2018$ is there any of choosen cells by crocodile. Tilometer says "YES" if there is at least one choosen cell among checked $3\times 3$ square. For what is the smallest number of such questions the Bear can certainly get an affirmative answer?
5. Find all real numbers $a$ such that there exist $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ with $$f(x-f(y))=f(x)+a[y],\,\forall x,y\in \mathbb{R}$$
6. In a circle with a radius $R$ a convex hexagon is inscribed. The diagonals $AD$ and $BE$, $BE$ and $CF$, $CF$ and $AD$ of the hexagon intersect at the points $M$, $N$ and $K$, respectively. Let $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$, $r_6$ be the radii of circles inscribed in triangles $ABM$, $BCN$, $CDK$, $DEM$, $EFN$, $AFK$ respectively. Prove that $$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt{3}$$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...