# [Solutions] India Regional Mathematical Olympiad 2010

1. Let $ABCDEF$ be a convex hexagon in which diagonals $AD, BE, CF$ are concurrent at $O$. Suppose $[OAF]$ is geometric mean of $[OAB]$ and $[OEF]$ and $[OBC]$ is geometric mean of $[OAB]$ and $[OCD]$. Prove that $[OED]$ is the geometric mean of $[OCD]$ and $[OEF]$. (Here $[XYZ]$ denotes are of $\triangle XYZ$)
2. Let $$P_1(x) = ax^2 - bx - c \\ P_2(x) = bx^2 - cx - a \\ P_3(x) = cx^2 - ax - b$$ be three quadratic polynomials. Suppose there exists a real number $\alpha$ such that $P_1(\alpha) = P_2(\alpha) = P_3(\alpha)$. Prove that $a = b = c$.
3. Find the number of $4$-digit numbers (in base $10$) having non-zero digits and which are divisible by $4$ but not by $8$.
4. Find three distinct positive integers with the least possible sum such that the sum of the reciprocals of any two integers among them is an integral multiple of the reciprocal of the third integer.
5. Let $ABC$ be a triangle in which $\angle A = 60^\circ$. Let $BE$ and $CF$ be the bisectors of $\angle B$ and $\angle C$ with $E$ on $AC$ and $F$ on $AB$. Let $M$ be the reflection of $A$ in line $EF$. Prove that $M$ lies on $BC$.
6. For each integer $n \ge 1$ define $a_n = \left[\frac{n}{\left[\sqrt{n}\right]}\right]$ (where $[x]$ denoted the largest integer not exceeding $x$, for any real number $x$). Find the number of all $n$ in the set $\{1, 2, 3, \cdots , 2010\}$ for which $a_n > a_{n+1}$.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...