# [Solutions] India Regional Mathematical Olympiad 2009

1. Let $ABC$ be a triangle in which $AB = AC$ and let $I$ be its in-centre. Suppose $BC = AB + AI$. Find $\angle{BAC}$
2. Show that there is no integer $a$ such that $a^2 - 3a - 19$ is divisible by $289$.
3. Show that $3^{2008} + 4^{2009}$ can be written as product of two positive integers each of which is larger than $2009^{182}$.
4. Find the sum of all 3-digit natural numbers which contain at least one odd digit and at least one even digit.
5. A convex polygon is such that the distance between any two vertices does not exceed $1$.
a) Prove that the distance between any two points on the boundary of the polygon does not exceed $1$.
b) If $X$ and $Y$ are two distinct points inside the polygon, prove that there exists a point $Z$ on the boundary of the polygon such that $XZ + YZ\le1$.
6. In a book with page numbers from $1$ to $100$ some pages are torn off. The sum of the numbers on the remaining pages is $4949$. How many pages are torn off?
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...