[Solutions] India Regional Mathematical Olympiad 2008

1. Let $ABC$ be an acute angled triangle; let $D,F$ be the midpoints of $BC,AB$ respectively. Let the perpendicular from $F$ to $AC$ and the perpendicular from $B$ ti $BC$ meet in $N$. Prove that $ND$ is the circumradius of $ABC$.
2. Prove that there exist two infinite sequences $\{a_n\}_{n\ge 1}$ and $\{b_n\}_{n\ge 1}$ of positive integers such that the following conditions hold simultaneously
i) $0 < a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$;
ii) $a_n < b_n < a_n^2$, for all $n\ge 1$;
iii) $a_n - 1$ divides $b_n - 1$, for all $n\ge 1$,
iv) $a_n^2 - 1$ divides $b_n^2 - 1$, for all $n\ge 1$
3. Suppose $a$ and $b$ are real numbers such that the roots of the cubic equation $ax^3-x^2+bx-1$ are positive real numbers. Prove that $$0<3ab\le 1,\quad b\ge \sqrt{3}$$
4. Find the number of all $6$-digit natural numbers such that the sum of their digits is $10$ and each of the digits $0,1,2,3$ occurs at least once in them.
5. Three nonzero real numbers $a,b,c$ are said to be in harmonic progression if $$\frac {1}{a} + \frac {1}{c} = \frac {2}{b}.$$ Find all three term harmonic progressions $a,b,c$ of strictly increasing positive integers in which $a = 20$ and $b$ divides $c$.
6. Find the number of all integer-sided isosceles obtuse-angled triangles with perimeter $2008$.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...