# [Solutions] India Regional Mathematical Olympiad 2003

1. Let $ABC$ be a triangle in which $AB =AC$ and $\angle CAB = 90^{\circ}$. Suppose that $M$ and $N$ are points on the hypotenuse $BC$ such that $BM^2 + CN^2 = MN^2$. Prove that $\angle MAN = 45^{\circ}$.
2. If $n$ is an integer greater than $7$, prove that ${n \choose 7} - \left[ \frac{n}{7} \right]$ is divisible by $7$.
3. Let $a,b,c$ be three positive real numbers such that $a + b +c =1$. Prove that among the three numbers $a-ab, b - bc, c-ca$ there is one which is at most $\frac{1}{4}$ and there is one which is at least $\frac{2}{9}$.
4. Find the number of ordered triples $(x,y,z)$ of non-negative integers satisfying
i) $x \leq y \leq z$,
ii) $x + y + z \leq 100.$
5. Suppose $P$ is an interior point of a triangle $ABC$ such that the ratios $\frac{d(A,BC)}{d(P,BC)} ,\, \frac{d(B,CA)}{d(P,CA)} ,\, \frac{d(C,AB)}{d(P,AB)}$ are all equal. Find the common value of these ratios. $d(X,YZ)$ represents the perpendicular distance fro $X$ to the line $YZ$.
6. Find all real numbers $a$ for which the equation $x^2a- 2x + 1 = 3 |x|$ has exactly three distinct real solutions in $x$.
7. Consider the set $X$ = $\{ 1,2 \ldots 10 \}$. Find two disjoint nonempty sunsets $A$ and $B$ of $X$ such that
8. a) $A \cup B = X$,
b) $\prod_{x\in A}x$ is divisible by $\prod_{x\in B}x$, where $\prod_{x\in C}x$ is the product of all numbers in $C$,
c) $\frac{ \prod\limits_{x\in A}x}{ \prod\limits_{x\in B}x}$ is as small as possible.
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệbbt.molympiad@gmail.comChúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...