Phép dựng hình bằng compa và thước kẻ là phép dựng các độ dài, góc, và các hình hình học khác bằng cách chỉ sử dụng một thước kẻ thẳng lý tưởng và compa. Ba bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa nổi tiếng nhất là
Nếu chúng ta có 2 đường thẳng cắt nhau tại điểm $O$ và chúng ta muốn chia đôi góc tạo bởi hai đường thẳng đó, dưới đây là cách làm việc đó.
Đặt chân com-pa tại $O$ và vẽ một đường tròn (bán kính tùy thích). Đó chính là cung tròn màu xanh dương trong hình vẽ.Đường tròn sẽ cắt hai đường thẳng tại hai điểm: gọi chúng là $A$ và $B$.
- Bài toán chia 1 góc thành 3 phần bằng nhau.
- Bài toán cầu phương hình tròn
- Bài toán gấp đôi hình lập phương
Chia đôi một góc
Đặt chân com-pa tại $O$ và vẽ một đường tròn (bán kính tùy thích). Đó chính là cung tròn màu xanh dương trong hình vẽ.Đường tròn sẽ cắt hai đường thẳng tại hai điểm: gọi chúng là $A$ và $B$.
Bây giờ thì hãy đặt chân com-pa tại $A$ và vẽ một đường tròn, như trong hình vẽ. Không thay đổi bán kính của com-pa, di chuyển nó sang $B$ và vẽ một cung tròn khác. Đó là những cung màu đỏ trong hình vẽ. Nối giao điểm của hai cung tròn với $O$ bằng cạnh thẳng (đường thẳng màu xanh lá trong hình vẽ), và ta có góc $POB$ chính bằng $1/2$ góc $AOB$. Nếu hai cung tròn không cắt nhau, tất nhiên bạn cần phải vẽ hai đường tròn lớn hơn.
Bạn có thể chứng minh rằng thủ thuật này đúng bằng cách sử dụng các hình tam giác bằng nhau không? Những người Hy Lạp cổ đại chắc chắn biết cách làm việc này.
Chia ba một góc
Vấn đề liệu việc chia góc làm ba phần bằng nhau có thể được thực hiện trong trường hợp tổng quát hay không vẫn là một bí ẩn toán học trong hàng thiên niên kỉ - vào năm $1837$ điều đó được chứng minh là không thể bởi Pierre Wantzel, một nhà toán học người Pháp và chuyên gia về số học. Đây là một thành tựu tuyệt vời đôi với một người đàn ông $23$ tuổi, người mà sau đó qua đời khi còn rất trẻ ở tuổi $33$.
Vậy tại sao lại không thể? Pierre cho thấy rằng hai vấn đề chia một góc làm ba phần bằng nhau và giải quyết một phương trình bậc ba là như nhau. Hơn nữa, ông cho thấy rằng chỉ có một số ít phương trình bậc ba có thể giải quyết được bằng phương pháp cạnh thẳng - com-pa, hầu hết đều không thể. Do đó ông đã suy luận rằng hầu hết các góc đều không thể chia làm ba được.
Tuy nhiên, việc chia ba một góc một cách gần đúng được mô tả bởi Steinhaus trong cuốn Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, $1999$. (trước đó nó được môt tả bởi Wazewski $1945$; và Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, $1983$.).
Vậy tại sao lại không thể? Pierre cho thấy rằng hai vấn đề chia một góc làm ba phần bằng nhau và giải quyết một phương trình bậc ba là như nhau. Hơn nữa, ông cho thấy rằng chỉ có một số ít phương trình bậc ba có thể giải quyết được bằng phương pháp cạnh thẳng - com-pa, hầu hết đều không thể. Do đó ông đã suy luận rằng hầu hết các góc đều không thể chia làm ba được.
Tuy nhiên, việc chia ba một góc một cách gần đúng được mô tả bởi Steinhaus trong cuốn Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, $1999$. (trước đó nó được môt tả bởi Wazewski $1945$; và Peterson, G. "Approximation to an Angle Trisection." Two-Year Coll. Math. J. 14, 166-167, $1983$.).
Bí ẩn thật sự
Mặc dù thực tế rằng chứng minh của Wantzel có nghĩa bây giờ chúng ta biết rằng không thể chia ba một góc tổng quát, thế nhưng mọi người vẫn tiếp tục cố gắng. Viện Toán học trụ sở của tờ PASS Maths đã nhận được những lá thư khá nghiêm trọng từ các cá nhân những người nghĩ rằng họ đã giải mã được vấn đề, cung cấp cho những người nổi tiếng trong viện cơ hội để "mua" các "bằng chứng" (đôi khi bằng một số tiền lớn). Một bức thư thậm chí bỏ một vài trang bằng chứng trên cơ sở đảm bảo quyền tác giả của người viết.Không cần phải nói, tất cả các cái gọi là bằng chứng trên chứa nhiều sai sót và vô giá trị. Nếu những người này muốn thuyết phục bất kì ai rằng có thể chia một góc làm ba phần bằng nhau thì thời gian đó tốt hơn họ dành để cố gắng tìm kiếm một lỗi sai trong chứng minh của Wantzel. Bí ẩn thực sự ở đây là tại sao mọi người lại tiếp tục cố gắng giải quyết vấn đề của một bằng chứng bất khả thi. Bạn trả lời điều đó thế nào?
Cầu phương hình tròn
Bài toán cầu phương hình tròn được phát biểu rằng- [message]
- Chỉ dùng thước thẳng và compa, có thể dựng được một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn cho trước hay không?
Đôi khi nó còn được gọi là bài toán biến tròn thành vuông (hóa viên vi phương).
Những cố gắng thời cổ đại
Người nghiên cứu bài toán này sớm nhất là nhà học giả Anaxagaras (khoảng $499$ – $427$ trước Công nguyên) người Hi Lạp cổ đại. Lúc đó tệ mê tín rất thịnh hành nhưng ông lại không tin vào thần thánh. Trong thần thoại Hi Lạp thì Apolo là vị thần Mặt Trời, nhưng Anaxagaras lại cho rằng Mặt Trời không phải là thần, mà chỉ là một quả cầu lửa. Do vậy, ông đã bị gán cho tội “bất kính thần thánh” và bị bắt giam.Trong nhà ngục, một tayAnaxagaras cầm cây gỗ, một tay cầm đây, đo tới đo lui. Nhà ngục đã hạn chế hành động của ông nhưng không thể buộc ông ngừng suy nghĩ. Ông tìm cách vẽ được hình vuông mà diện tích của nó đúng bằng diện tích của một hình tròn cho trước. Tuy vậy, những gì ông đã nghiên cứu được thì ngày nay vẫn chưa ai biết được. Chỉ biết rằng, cho đến khi tạ thế, Anaxagaras vẫn không giải được bài toán cầu phương hình tròn.
Sau khi Anaxagaras không còn nữa, bài toán “biến tròn thành vuông” được lan truyền rộng rãi hơn và hấp dẫn nhiều nhà nghiên cứu, đến mức ở Hi Lạp cổ đại đã xuất hiện một chuyên đề với tên Hiến thân cho bài toán cầu phương hình tròn.
Không chỉ có Anaxagaras bị thất bại, mà không biết bao nhiêu người trong suốt hơn 1000 năm sau đó cũng chưa giải được bài toán này, có cả Leonardo de Vinci người Italia.
Từ số pi đến tính không giải được...
Số π là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số chu vi đường tròn chia cho đường kính của đường tròn đó. Từ xa xưa, người ta đã nhận thấy tỉ số này nhỉnh hơn 3 một chút và ngày nay, học sinh thường dùng trị số 3,1416. Người thợ mộc, thợ rừng xưa chỉ cần lấy một sợi dây, đánh vòng quanh thân cây hoặc một cái cột rồi chia làm 3 là có được trị số gần đúng của đường kính của cái cây hay cái cột. Thế nhưng, trị số đúng của số đó là bao nhiều?
Người ta có thể hỏi, trên đây mới chỉ là một ít số lẻ của pi, làm sao có thể biết rằng ở chuỗi số lẻ tiếp theo lại không thể đến một lúc nào đó sẽ gặp một chu kỳ tuần hoàn? Năm 1776, nhà toán học Pháp Jean Henri Lambert (1728- 1777) đã chứng minh rằng Pi là một số vô tỉ, nghĩa là π sẽ gồm một chuỗi số lẻ thập phân vô hạn và không tuần hoàn.
Mặc dù vậy, người ta vẫn muốn nhìn tận mắt thấy dãy số lẻ đó như thế nào. Năm 1874, nhà toán học Anh William Shanks đã tính được π với 707 số lẻ. Đó là một kỷ lục thời đó, đến nay vẫn chưa ai phá nổi với cách tính bằng tay, không nhờ sự trợ giúp nào của máy tính. Và 707 số lẻ này, người ta không thấy một sự tuần hoàn nào và các con số xuất hiện một cách ngẫu nhiên, không theo một quy tắc nào. Con số π với dãy sỗ lẻ đó đã được trưng bày thành bốn vòng số ở lâu đài Phát minh ở Paris (Pháp). Còn ngày nay, máy tính đã cho phép tính tới 51 tỷ số lẻ của pi.
Như vậy, ta sẽ không thể tìm một trị số chính xác cho diện tích vòng tròn là πr^2, từ đó không thể tính được cạnh hình vuông có diện tích bằng đúng diện tích hình tròn đã cho. Nhưng với một thủ thuật khéo léo (bằng thước và compa), liệu có thể làm được điều đó không?. Năm 1882, nhà toán học Ferdinand Lindemann ($1852-1919$) đã chứng minh $\pi$ cũng như số $e$ $(~ 2,718...)$ là một số siêu việt, tức là số không thể là nghiệm của một phương trình đại số với hệ số nguyên nào cả. Và điều đó đồng nghĩa với việc không thể dựng được hình vuông trong bài toán cầu phương hình tròn.
... và các bài toán dạng cầu phương mở rộng
Người Hi Lạp cổ đại cũng xét một bài toán tương tự là dùng thước kẻ và compa chia một đa giác cho trước ra thành các phần rời nhau sao cho có thể ghép các phần này lại thành một hình vuông. Tuy nhiên bài toán này cũng không thể giải được với mọi đa giác, thí dụ như một đa giác đều bảy cạnh. Nếu ta bỏ điều kiện dùng thước kẻ và compa thì sao? Điều này có nghĩa là ta có thể dùng mọi công cụ toán học để xác định các phần cần chia. Với giả thiết này, năm $1807$ Wallace đã chứng minh được rằng có thể chia mọi đa giác này thành hình vuông. Kết quả này ngày nay được gọi là định lí Wallace-Bolyai-Gerwien.
- [message]
- Hãy chia môt hình tròn cho trước thành các tập hợp điểm khác nhau sao cho có thể ghép các tập hợp điểm này thành một hình vuông mà vẫn giữ nguyên khoảng cách giữa các điểm của mỗi tập hợp.
Các tập hợp điểm ở đây không nhất thiết là phải hữu hạn và liên thông với nhau. Giả thiết mới của bài toán yếu hơn rất nhiều so với việc chia hình bằng thước và compa hay dùng kéo một cách đơn thuần, tuy rằng nó đã vượt ra ngoài phạm vi toán học phổ thông. Lúc đầu ai cũng nghĩ bài toán này đơn giản thôi. Nhưng cũng phải hơn $60$ năm sau ($1989$) nhà toán học Hungari Laczcovich mới tìm được lời giải qua việc sử dụng nhiều kết quả của nhiều lĩnh vực khác nhau như: lí thuyết tập hợp, lí thuyết đồ thị, lí thuyết độ đo và số học.
Vẫn còn tồn tại nhiều vấn đề lạ lùng liên quan đến việc cầu phương hình tròn chưa được giải quyết. Thí dụ như hình vuông cầu phương hình tròn theo kiểu Tarski có cùng diện tích của hình tròn không? Vấn đề là ở chỗ một tập hợp điểm có thể không có diện tích nhưng khi ghép nhiều tập hợp điểm như vậy với nhau có thể cho ta một tập hợp mới có diện tích. Do đó phép chia và ghép các tập hợp không nhất thiết giữ nguyên diện tích. Một vấn đề khác cũng chưa giải quyết được là liệu có thể chia một tập hợp mở trong mặt phẳng ra thành các tập hợp con khác sao cho có thể ghép chúng lại thành một đường thẳng. Toán học thật kì diệu.
Vẫn còn tồn tại nhiều vấn đề lạ lùng liên quan đến việc cầu phương hình tròn chưa được giải quyết. Thí dụ như hình vuông cầu phương hình tròn theo kiểu Tarski có cùng diện tích của hình tròn không? Vấn đề là ở chỗ một tập hợp điểm có thể không có diện tích nhưng khi ghép nhiều tập hợp điểm như vậy với nhau có thể cho ta một tập hợp mới có diện tích. Do đó phép chia và ghép các tập hợp không nhất thiết giữ nguyên diện tích. Một vấn đề khác cũng chưa giải quyết được là liệu có thể chia một tập hợp mở trong mặt phẳng ra thành các tập hợp con khác sao cho có thể ghép chúng lại thành một đường thẳng. Toán học thật kì diệu.