$hide=mobile

[Toán Cao Cấp] Tìm Hiểu Đa Thức Nội Suy Lagrange

Trong bài này, chúng ta sẽ học về công thức nội suy Lagrange cho đa thức. Chúng ta sẽ dùng ví dụ sau đây $$P(x) = 2x^2 - 3x + 3.$$ Chúng ta thấy rằng $P(x)$ là một đa thức bậc hai và chúng ta có thể tính được $$P(1) = 2, ~~P(2) = 5, ~~P(3) = 12.$$ Bài toán đa thức nội suy là bài toán ngược, tức là, cho biết $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, và $P(3) = 12$, tìm lại đa thức $P(x)$.

Khi đối diện với một bài toán mà chúng ta không biết phải làm như thế nào, thì việc đầu tiên chúng ta có thể làm là xem xét các trường hợp đặc biệt của bài toán. Chúng ta thử xem với những trường hợp đặc biệt đó thì bài toán có giải quyết được không. Đôi khi bằng cách giải các trường hợp đặc biệt mà chúng ta tìm ra được những kỹ thuật có thể dùng để giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.

Đối với một đa thức $f(x)$ bất kỳ, nếu $f(u) = 0$ thì $u$ là một nghiệm của đa thức, cho nên $f(x)$ sẽ chia hết cho $x-u$, và chúng ta có thể viết được $f(x)$ dưới dạng $$f(x) = (x-u)g(x).$$ Sử dụng tính chất này, chúng ta sẽ làm một bài toán đơn giản sau đây. Tìm đa thức $A(x)$ sao cho $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$ Rõ ràng đa thức $A(x)$ sẽ có dạng $$A(x) = a (x-2)(x-3)$$ Hai điều kiện $A(2) = 0$, $A(3) = 0$ đã thoã mãn. Vậy điều kiện $A(1) = 1$ thì sao?. Chúng ta thay $x=1$ vào thì có $$A(1) = a (1-2)(1-3) = 1$$ Vậy chúng ta có thể chọn $$a = \frac{1}{(1-2)(1-3)},$$ và như vậy chúng ta đã tìm được đa thức $$A(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}$$ thõa mãn điều kiện $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0.$$ Tương tự, chúng ta có thể tìm được đa thức $B(x)$ thõa mãn điều kiện $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0,$$ đó chính là $$B(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.$$ Và đa thức $C(x)$ thõa mãn điều kiện $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ chính là $$C(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.$$ Ở trên, chúng ta đã giải các trường hợp đặc biệt và tìm ra được các đa thức $A(x)$, $B(x)$ và $C(x)$ thõa mãn điều kiện $$A(1) = 1, ~~A(2) = 0, ~~A(3) = 0$$ $$B(1) = 0, ~~B(2) = 1, ~~B(3) = 0$$ $$C(1) = 0, ~~C(2) = 0, ~~C(3) = 1$$ Bây giờ, đối với bài toán tổng quát, tìm $P(x)$ sao cho $P(1) = 2$, $P(2) = 5$, $P(3) = 12$ thì sao?. Các bạn đã nhìn thấy mối tương quan giữa đa thức $P(x)$ với các đa thức $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ chưa?. Rõ ràng nếu chúng ta lấy $$P(x) = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x)$$ thì $$P(1) = 2 ~A(1) + 5 ~B(1) + 12 ~C(1) = 2 + 0 + 0 = 2,$$ $$P(2) = 2 ~A(2) + 5 ~B(2) + 12 ~C(2) = 0 + 5 + 0 = 5,$$ $$P(3) = 2 ~A(3) + 5 ~B(3) + 12 ~C(3) = 0 + 0 + 12 = 12.$$ Vậy chúng ta đã tìm ra được đa thức $P(x)$, đó chính là $$\begin{align*}P(x) & = 2 ~A(x) + 5 ~B(x) + 12 ~C(x) \\ &= 2 \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} + 5 \frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)} + 12 \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} \\ &= (x-2)(x-3) - 5(x-1)(x-3)+ 6(x-1)(x-2) \\ &= 2x^2 - 3x + 3\end{align*}$$ Các bạn thấy chưa, chính nhờ việc giải bài toán đối với các trường hợp đơn giản là $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$, mà chúng ta đã tìm ra được lời giải cho bài toán tổng quát $P(x)$!. Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để phát biểu công thức nội suy Lagrange. Nếu $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số thực khác nhau, và $y_1$, $y_2$, $\dots$, $y_n$, $y_{n+1}$ là $n+1$ số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $n$ thõa mãn điều kiện $$P(x_1) = y_1, ~~P(x_2) = y_2, \dots, ~~P(x_n) = y_n, ~~P(x_{n+1})=y_{n+1}.$$ Như ở trên, chúng ta thấy rằng đa thức $P(x)$ có thể được xây dựng từ các đa thức $P_1(x)$, $P_2(x)$, $\dots$, $P_n(x)$, $P_{n+1}(x)$ như sau $$P(x) = y_1 ~P_1(x) + y_2 ~P_2(x) + \dots + y_n ~P_n(x) + y_{n+1} ~P_{n+1}(x),$$ trong đó, các đa thức $P_1(x)$, $\dots$, $P_{n+1}(x)$ được xác định như sau. $$\begin{align*}P_1(x) & = \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})}\\ P_2(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}\\ \ldots&\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\P_n(x) & = \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})}\\ P_{n+1}(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})}\end{align*}$$ Các đa thức này thõa mãn điều kiện $$P_1(x_1) = 1, ~~P_1(x_2) = 0, ~~P_1(x_3) = 0, \dots, ~~P_1(x_n) = 0, ~~P_1(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_2(x_1) = 0, ~~P_2(x_2) = 1, ~~P_2(x_3) = 0, \dots, ~~P_2(x_n) = 0, ~~P_2(x_{n+1}) = 0.$$ $$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$ $$P_n(x_1) = 0, ~~P_n(x_2) = 0, ~~P_n(x_3) = 0, \dots, ~~P_n(x_{n}) = 1, ~~P_n(x_{n+1}) = 0.$$ $$P_{n+1}(x_1) = 0, ~~P_{n+1}(x_2) = 0, ~~P_{n+1}(x_3) = 0, \dots, ~~P_{n+1}(x_n) = 0, ~~P_{n+1}(x_{n+1}) = 1$$ Tóm lại chúng ta có công thức nội suy Lagrange sau
$$\begin{align*}P(x) = & y_1 \frac{(x-x_2)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_1-x_2)(x_1-x_3) \dots (x_1-x_n)(x_1-x_{n+1})} \\ & + y_2 \frac{(x-x_1)(x-x_3) \dots (x-x_n)(x-x_{n+1})}{(x_2-x_1)(x_2-x_3) \dots (x_2-x_n)(x_2-x_{n+1})}\\ & + \dots + y_n \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_{n+1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2) \dots (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n+1})} \\ &+ y_{n+1} \frac{(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_{n-1})(x-x_n)}{(x_{n+1}-x_1)(x_{n+1}-x_2) \dots (x_{n+1}-x_{n-1})(x_{n+1}-x_{n})}\\  = &\sum_{i=1}^{n+1} y_i \prod_{j \neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\end{align*}$$
Chúng ta xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 1, ~~P(3) = 2, ~~P(4) = 3, ~~P(5) = 5$$  Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange $$\begin{align*}P(x) = & \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)} \\ & + 2 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 3 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} \\ & + 5 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}\end{align*}$$ Ví dụ 2. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 1, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 9, ~~P(4) = 16, ~~P(5) = 25$$  Dùng công thức nội suy Lagrange thì $$\begin{align*}P(x) = & \frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)} + 4 \frac{(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)}{(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)} \\ &+ 9 \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)}{(3-1)(3-2)(3-4)(3-5)} + 16 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)}{(4-1)(4-2)(4-3)(4-5)} \\ & + 25 \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)}\end{align*}$$ Khai triển các biểu thức này ra, các bạn có thể kiểm chứng rằng $P(x) = x^2$.
Bài tập 1. Tìm đa thức $P(x)$ có bậc bé thua hoặc bằng $4$ sao cho $$P(1) = 2, ~~P(2) = 4, ~~P(3) = 6, ~~P(4) = 8, ~~P(5) = 10$$ Bài tập 2. Dãy số Fibonacci được xác định như sau: $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+1}=F_n+F_{n−1}$. Do đó $$F_0=0, ~F_1=1, ~F_2=1, ~F_3=2, ~F_4=3, ~F_5=5, ~F_6=8, \dots$$ Cho đa thức $P(x)$ thoã mãn điều kiện sau $$P(0) = 2011^{F_{2012}}, ~~P(1) = 2011^{F_{2011}}, ~~P(2) = 2011^{F_{2010}}, \dots $$ $$P(2010) = 2011^{F_{2}}, ~~P(2011) = 2011^{F_{1}}. $$ Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ phải có bậc lớn hơn hoặc bằng $2011$.

Tô Niên Đông Vũ

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,353,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1770,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,587,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,43,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,20,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Toán Cao Cấp] Tìm Hiểu Đa Thức Nội Suy Lagrange
[Toán Cao Cấp] Tìm Hiểu Đa Thức Nội Suy Lagrange
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/10/tim-hieu-da-thuc-noi-suy-lagrange.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/10/tim-hieu-da-thuc-noi-suy-lagrange.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy