Những Vấn Đề Toán Học Hàng Trăm Năm Chưa Có Lời Giải

Vừa qua, giáo sư người Anh Andrew Wiles giành giải thưởng Abel với $700.000$ USD nhờ chứng minh được Định luật Lớn Fermat, phương trình đã thách thức các nhà toán học trong hơn $350$ năm. Tuy nhiên, lĩnh vực này vẫn tồn tại nhiều vấn đề bí ẩn, chưa có lời giải. Đến nay, nhiều phương trình, giả thuyết vẫn là thách thức lớn đối với các nhà toán học.

Giả thuyết Goldbach tam nguyên

Ngày $7/6/1742$, trong bức thư gửi đồng nghiệp người Thụy Sĩ, Leonhard Euler, nhà toán học người Đức Christian Goldbach đề cập một giả thuyết liên quan lý thuyết số. Goldbach cho rằng, tất cả các số nguyên tố lớn hơn $2$ là tổng của $3$ số nguyên tố. Nó được phát biểu như sau

Tất cả các số nguyên lớn hơn $2$ đều là tổng của $3$ số nguyên tố.

Công ty Faber and Faber của Anh từng đặt giải thưởng lên đến một triệu USD cho người giải tìm ra phương pháp chứng minh Giả thuyết Goldbach trong khoảng thời gian từ ngày $20/3/2000$ đến ngày $20/3/2002$. Tuy nhiên, giải thưởng lớn này không tìm được chủ nhân. Trong hơn $270$ năm qua, người tiếp cận gần nhất với lời giải cho bài toán có vẻ đơn giản này là nhà toán học Terence Tao của Đại học California ở Los Angeles, Mỹ. Ông đã chứng minh được mỗi số lẻ là tổng tối đa $5$ số nguyên tố và hy vọng có thể giảm từ $5$ xuống $3$ để “chiến thắng tuyệt đối” giả thuyết Goldbach trong tương lai.

Giả thuyết Riemann

Giả thuyết này được Bernhard Riemann đưa ra lần đầu tiên năm $1859$. Đây là vấn đề toán học sâu sắc, liên quan sự phân bố các số nguyên tố. Thoạt nhìn có vẻ các số nguyên tố phân bố ngẫu nhiên, không theo quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với một hàm số Zeta do nhà toán học Leonard Euler đưa ra. Riemann nêu ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự. Giả thuyết trên được rất nhiều nhà toán học dày công nghiên cứu và tìm cách giải quyết trong $150$ năm qua. Họ kiểm tra tính đúng đắn của nó trong $1,5$ tỷ giá trị đầu tiên nhưng vẫn không chứng minh được. Các nhà toán học coi đây là một trong những bài toán quan trọng nhất chưa được giải trong toán học thuần túy. Năm $2000$, Viện Toán học Clay ở Mỹ treo giải một triệu USD cho người chứng minh được giả thuyết Riemann. Một nhà khoa học đã đưa ra lời phản bác giả thuyết nhưng không được trao thưởng.

Giả thuyết Hodge

Đây là vấn đề lớn còn bí ẩn trong Hình học Đại số, liên quan Topo Đại số. Trong thế kỷ $20$, các đường thẳng và đường tròn trong hình học Euclide đã bị thay thế bởi khái niệm đại số, khái quát và hiệu quả hơn trong hình học hiện đại.  Khoa học của các hình khối và không gian đang dần đi tới hình học của “tính đồng đẳng”. Giới toán học tạo ra những tiến bộ đáng kể trong việc phân loại toán học. Tuy nhiên, việc mở rộng các khái niệm khiến bản chất hình học dần biến mất trong toán. Năm $1950$, nhà toán học người Anh William Hodge nêu giả thuyết trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng.  Viện Toán học Clay đặt ra mức thưởng một triệu USD cho người có thể chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết Hodge. Tuy nhiên, đến nay, nó vẫn là vấn đề bí ẩn.

Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer

Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình $x^2 + y^2 = z^2$? có những nghiệm hiển nhiên, như $3^2 + 4^2 = 5^2$. Cách đây hơn $2.300$ năm, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. Nhưng với các hệ số và số mũ của phương trình phức tạp hơn, vấn đề này không còn đơn giản. Trong vòng hơn $30$ năm trở lại đây, người ta phát hiện không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của phương trình dạng này.  Đầu thập niên $60$, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong elip loại $1$, hai nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer đã giả thuyết số nghiệm của phương trình phụ thuộc một hàm số $f$: nếu hàm số $f$ triệt tiêu tại giá trị bằng $1$ (nghĩa là nếu $f(1)= 0$), phương trình có vô số nghiệm. Nếu không, số nghiệm là hữu hạn. Giả thuyết trên được phát biểu một cách đơn giản nhưng nó đã thách thức các nhà toán học trong nhiều năm qua. Vì thế, giải thưởng trị giá một triệu USD do Viện Toán học Clay đặt ra vẫn chưa tìm được chủ nhân.