[Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2016

1. Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\geq p$. Chứng minh rằng $C_n^p-\left[\dfrac{n}{p}\right]$ chia hết cho $p$.
2. Xét hai số nguyên dương $m,n>1$ thỏa mãn $\gcd (m,n)=1$, $n$ lẻ, $m$ chẵn. Chứng minh rằng tổng $$\frac{1}{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{\left[\frac{mk}{n}\right]}\left\{\frac{mk}{n}\right\}$$ không phụ thuộc vào $m$ và $n$.
3. Cho số nguyên dương $n$ và $2n$ số thực $x_1,x_2,\cdots,x_n$; $y_1,y_2,\cdots,y_n$ thỏa mãn $$x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n,\quad y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n,\quad \sum_{i=1}^n ix_i=\sum_{i=1}^niy_i.$$ Chứng minh rằng với mỗi số thực $\alpha$ ta có $$\sum_{i=1}^n [i\alpha]x_i\geq\sum_{i=1}^n[i\alpha]y_i.$$
4. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương thỏa mãn $$\left[\frac{a^2}{b}\right]+\left[\frac{b^2}{a}\right]=\left[\frac{a^2+b^2}{ab}\right]+ab.$$
5. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số thực thỏa mãn $$a[bn]=b[an],\,\forall n\in\mathbb{N}.$$
6. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương sao cho $$ab^2+b+7|a^2b+a+b.$$
7. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương sao cho nếu gọi $q$ và $r$ lần lượt là thương và dư trong phép chia $a^2+b^2$ cho $a+b$ thì $q^2+r=1977$.
8. Cho số thực dương $x$ và số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^n\left(x\left[\frac{k}{x}\right]-(x+1)\left[\frac{k}{x+1}\right]\right)\leq n.$$
9. Cho số nguyên tố $p$. Giả sử $a_1,a_2 \cdots a_k$ $(k \geq 3)$ là các số nguyên không chia hết cho $p$ và có các số dư khác nhau khi chia cho $p$. Đặt $$S= \{ n\in\mathbb{Z} \mid 1 \leq n \leq p-1, (na_1)_p < \cdots < (na_k)_p \},$$ ở đây $(b)_p$ là dư khi chia số nguyên $b$ cho $p$. Chứng minh rằng $|S|< \dfrac{2p}{k+1}$.
10. Chứng minh rằng tồn tại $2015$ số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng $14$ số nguyên tố.
11. Với số nguyên dương chẵn $n$ ta đặt các số $1,2,...,n^2$ vào các ô của bàn cờ cỡ $n\times n$ (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi $S_1$ là tổng các số trên các ô đen và $S_2$ là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả $n$ sao cho ta có thể có $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}$.
12. Cho số nguyên tố lẻ $p$. Một bộ $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p)$ các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $0\le a_i\le p-1$ với mỗi $i$; $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p$ không chia hết cho $p$; $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1$ chia hết cho $p$. Tìm số các bộ tốt.
13. Cho $A$ là một tập hữu hạn các số thực dương, $$B = \{x/y\mid x,y\in A\},\quad C = \{xy\mid x,y\in A\}.$$ Chứng minh rằng $|A|\cdot|B|\le|C|^2$. 
14. Cho $n>1$ là một số nguyên dương và $T_n$ là số các tập con khác rỗng của tập $\{1,2,\cdots,n\}$ sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng $T_n-n$ là một số chẵn.
15. Tìm số đa thức $f(x)=ax^3+bx$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $a,b\in\{1,2,\ldots,2013\}$; $\{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\}$ là một hệ thặng dư đầy đủ modulo $2013$.
16. Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$. Trên mặt phẳng xét $a+b+c+d$ điểm sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng $l_1$, $l_2$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $l_1$ và $l_2$ không song song; $l_1$, $l_2$ không đi qua điểm nào trong $a+b+c+d$ điểm đã cho; có $a, b, c, d$ điểm trên mỗi miền chia bởi $l_1$, $l_2$. 
17. Cho $m$, $n$ là các số nguyên lớn hơn $1$ và $S$ là một tập có $n$ phần tử. Giả sử có các tập con $A_1,A_2,\cdots,A_m$ của $S$ thoả mãn: với mỗi hai phần tử $x,y\in S$, có tập $A_i$ sao cho $x\in A_i$, $y\not\in A_i$ hoặc $x\not\in A_i$, $y\in A_i$. Chứng minh rằng $n\leq 2^m$.
18. Cho số nguyên tố $p>5$. Với mỗi số nguyên $x$ ta định nghĩa $$f_p(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{(px+k)^2}.$$ Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương $x$, $y$, khi viết $f_p(x)-f_p(y)$ dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho $p^3$.
19. Cho số nguyên dương $n$ và các số nguyên dương $a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$ thỏa mãn $$a_1+a_2+\cdots+a_n=2n,\quad a_n\not =n+1.$$ a) Chứng minh rằng nếu $n$ chẵn thì tồn tại tập con khác rỗng $K$ của $\{1,2,\cdots,n\}$ sao cho $\displaystyle\sum_{i\in K}a_i=n$;
    b) Chứng minh rằng nếu $n$ lẻ và $a_n\not=2$ thì kết luận trên vẫn đúng.
20. Với mỗi số nguyên dương $n$, xác định tập $S_n$ như sau $$S_n = \left \{C_n^n,C_{2n}^n, C_{3n}^n,\cdots,C_{n^2}^n \right \}.$$ a) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số $n$ sao cho $S_n$ không phải là hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$;
    b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số $n$ sao cho $S_n$ là hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$.
21. Cho số nguyên dương lẻ $n>3$. Chứng minh rằng với mỗi $x\in [n]$, ta có thể chia tập $[n]\setminus \{x\}$ thành hai nhóm bằng nhau sao cho tổng các phần tử ở hai nhóm là đồng dư với nhau theo modulo $n$.
22. Cho dãy số $(v_n)_{n\geq 0}$ xác định bởi $$v_0 = 0,\, v_1 = 1,\quad v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},\,\forall n \in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy trên không chứa các số hạng có dạng $3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}$ $(\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*)$.
23. Cho $n$ và $q$ là các số nguyên thỏa mãn $n \geq 5$, $2 \leq q \leq n$. Chứng minh rằng $q-1$ là ước của $\left[\dfrac{(n-1)!}{q}\right]$.
24. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $s$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho tổng các chữ số của $n$ bằng $s$ và $s\mid n$.
25. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n>1$, tồn tại đa thức với hệ số nguyên có bậc bé hơn $n$ sao cho giá trị của nó tại $1,2,\cdots,n$ là các lũy thừa đôi một khác nhau của $2$.
26. Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ sao cho tồn tại duy nhất số nguyên $a$ thỏa mãn $0<a\leq n!$ và $n!\mid a^n+1$.
27. Cho $n>1$ $(n\in\mathbb{Z})$ và $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ là một đa thức với hệ số nguyên, $a_n>0$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $P(m!)$ là hợp số.
28. Chứng minh rằng hệ $$\begin{cases}x^6+x^3+x^3y+y&= 147^{157}\\ x^3+x^3y+y^2+y+z^9&= 157^{147}\end{cases}$$ không có nghiệm nguyên.
29. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố, $x\leq 2p$ và $x^{p-1}$ là một ước của $(p-1)^x+1$.