$hide=mobile

[Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2016

  1. Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\geq p$. Chứng minh rằng $C_n^p-\left[\dfrac{n}{p}\right]$ chia hết cho $p$.
  2. Xét hai số nguyên dương $m,n>1$ thỏa mãn $\gcd (m,n)=1$, $n$ lẻ, $m$ chẵn. Chứng minh rằng tổng $$\frac{1}{2n}+\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{\left[\frac{mk}{n}\right]}\left\{\frac{mk}{n}\right\}$$ không phụ thuộc vào $m$ và $n$.
  3. Cho số nguyên dương $n$ và $2n$ số thực $x_1,x_2,\cdots,x_n$; $y_1,y_2,\cdots,y_n$ thỏa mãn $$x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n,\quad y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n,\quad \sum_{i=1}^n ix_i=\sum_{i=1}^niy_i.$$ Chứng minh rằng với mỗi số thực $\alpha$ ta có $$\sum_{i=1}^n [i\alpha]x_i\geq\sum_{i=1}^n[i\alpha]y_i.$$
  4. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương thỏa mãn $$\left[\frac{a^2}{b}\right]+\left[\frac{b^2}{a}\right]=\left[\frac{a^2+b^2}{ab}\right]+ab.$$
  5. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số thực thỏa mãn $$a[bn]=b[an],\,\forall n\in\mathbb{N}.$$
  6. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương sao cho $$ab^2+b+7|a^2b+a+b.$$
  7. Tìm tất cả các cặp $(a,b)$ các số nguyên dương sao cho nếu gọi $q$ và $r$ lần lượt là thương và dư trong phép chia $a^2+b^2$ cho $a+b$ thì $q^2+r=1977$.
  8. Cho số thực dương $x$ và số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^n\left(x\left[\frac{k}{x}\right]-(x+1)\left[\frac{k}{x+1}\right]\right)\leq n.$$
  9. Cho số nguyên tố $p$. Giả sử $a_1,a_2 \cdots a_k$ $(k \geq 3)$ là các số nguyên không chia hết cho $p$ và có các số dư khác nhau khi chia cho $p$. Đặt $$S= \{ n\in\mathbb{Z} \mid 1 \leq n \leq p-1, (na_1)_p < \cdots < (na_k)_p \},$$ ở đây $(b)_p$ là dư khi chia số nguyên $b$ cho $p$. Chứng minh rằng $|S|< \dfrac{2p}{k+1}$.
  10. Chứng minh rằng tồn tại $2015$ số nguyên dương liên tiếp sao cho trong chúng có đúng $14$ số nguyên tố.
  11. Với số nguyên dương chẵn $n$ ta đặt các số $1,2,...,n^2$ vào các ô của bàn cờ cỡ $n\times n$ (mỗi số xuất hiện đúng một lần trên bàn). Gọi $S_1$ là tổng các số trên các ô đen và $S_2$ là tổng các số trên các ô trắng. Tìm tất cả $n$ sao cho ta có thể có $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{39}{64}$.
  12. Cho số nguyên tố lẻ $p$. Một bộ $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p)$ các số nguyên được gọi là tốt nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $0\le a_i\le p-1$ với mỗi $i$; $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_p$ không chia hết cho $p$; $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots+a_pa_1$ chia hết cho $p$. Tìm số các bộ tốt.
  13. Cho $A$ là một tập hữu hạn các số thực dương, $$B = \{x/y\mid x,y\in A\},\quad C = \{xy\mid x,y\in A\}.$$ Chứng minh rằng $|A|\cdot|B|\le|C|^2$. 
  14. Cho $n>1$ là một số nguyên dương và $T_n$ là số các tập con khác rỗng của tập $\{1,2,\cdots,n\}$ sao cho trung bình cộng tất cả các phần tử của nó là một số nguyên. Chứng minh rằng $T_n-n$ là một số chẵn.
  15. Tìm số đa thức $f(x)=ax^3+bx$ thỏa mãn cả hai điều kiện: $a,b\in\{1,2,\ldots,2013\}$; $\{f(1),f(2),\ldots,f(2013)\}$ là một hệ thặng dư đầy đủ modulo $2013$.
  16. Cho các số nguyên dương $a,b,c,d$. Trên mặt phẳng xét $a+b+c+d$ điểm sao cho không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại hai đường thẳng $l_1$, $l_2$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $l_1$ và $l_2$ không song song; $l_1$, $l_2$ không đi qua điểm nào trong $a+b+c+d$ điểm đã cho; có $a, b, c, d$ điểm trên mỗi miền chia bởi $l_1$, $l_2$. 
  17. Cho $m$, $n$ là các số nguyên lớn hơn $1$ và $S$ là một tập có $n$ phần tử. Giả sử có các tập con $A_1,A_2,\cdots,A_m$ của $S$ thoả mãn: với mỗi hai phần tử $x,y\in S$, có tập $A_i$ sao cho $x\in A_i$, $y\not\in A_i$ hoặc $x\not\in A_i$, $y\in A_i$. Chứng minh rằng $n\leq 2^m$.
  18. Cho số nguyên tố $p>5$. Với mỗi số nguyên $x$ ta định nghĩa $$f_p(x)=\sum_{k=1}^{p-1}\dfrac{1}{(px+k)^2}.$$ Chứng minh rằng với mỗi hai số nguyên dương $x$, $y$, khi viết $f_p(x)-f_p(y)$ dưới dạng phân số tối giản thì tử số của nó chia hết cho $p^3$.
  19. Cho số nguyên dương $n$ và các số nguyên dương $a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$ thỏa mãn $$a_1+a_2+\cdots+a_n=2n,\quad a_n\not =n+1.$$ a) Chứng minh rằng nếu $n$ chẵn thì tồn tại tập con khác rỗng $K$ của $\{1,2,\cdots,n\}$ sao cho $\displaystyle\sum_{i\in K}a_i=n$;
    b) Chứng minh rằng nếu $n$ lẻ và $a_n\not=2$ thì kết luận trên vẫn đúng.
  20. Với mỗi số nguyên dương $n$, xác định tập $S_n$ như sau $$S_n = \left \{C_n^n,C_{2n}^n, C_{3n}^n,\cdots,C_{n^2}^n \right \}.$$ a) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số $n$ sao cho $S_n$ không phải là hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$;
    b) Chứng minh rằng có vô hạn hợp số $n$ sao cho $S_n$ là hệ thặng dư đầy đủ modulo $n$.
  21. Cho số nguyên dương lẻ $n>3$. Chứng minh rằng với mỗi $x\in [n]$, ta có thể chia tập $[n]\setminus \{x\}$ thành hai nhóm bằng nhau sao cho tổng các phần tử ở hai nhóm là đồng dư với nhau theo modulo $n$.
  22. Cho dãy số $(v_n)_{n\geq 0}$ xác định bởi $$v_0 = 0,\, v_1 = 1,\quad v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},\,\forall n \in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy trên không chứa các số hạng có dạng $3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}$ $(\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*)$.
  23. Cho $n$ và $q$ là các số nguyên thỏa mãn $n \geq 5$, $2 \leq q \leq n$. Chứng minh rằng $q-1$ là ước của $\left[\dfrac{(n-1)!}{q}\right]$.
  24. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $s$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho tổng các chữ số của $n$ bằng $s$ và $s\mid n$.
  25. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n>1$, tồn tại đa thức với hệ số nguyên có bậc bé hơn $n$ sao cho giá trị của nó tại $1,2,\cdots,n$ là các lũy thừa đôi một khác nhau của $2$.
  26. Tìm tất cả các số nguyên dương $n>1$ sao cho tồn tại duy nhất số nguyên $a$ thỏa mãn $0<a\leq n!$ và $n!\mid a^n+1$.
  27. Cho $n>1$ $(n\in\mathbb{Z})$ và $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ là một đa thức với hệ số nguyên, $a_n>0$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $P(m!)$ là hợp số.
  28. Chứng minh rằng hệ $$\begin{cases}x^6+x^3+x^3y+y&= 147^{157}\\ x^3+x^3y+y^2+y+z^9&= 157^{147}\end{cases}$$ không có nghiệm nguyên.
  29. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,p)$ sao cho $p$ là số nguyên tố, $x\leq 2p$ và $x^{p-1}$ là một ước của $(p-1)^x+1$.

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,23,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,45,Bình Dương,23,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,14,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,353,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,618,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1770,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,26,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,232,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,587,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,315,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,54,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,227,MYTS,4,Nam Định,33,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,43,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,27,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,12,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,36,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,64,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,20,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2016
[Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2016
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/09/nguyen-trung-tuan-bai-tap-luyen-thi-hoc-sinh-gioi-quoc-gia-thpt-2016.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/09/nguyen-trung-tuan-bai-tap-luyen-thi-hoc-sinh-gioi-quoc-gia-thpt-2016.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy