[Nguyễn Trung Tuấn] Bài Tập Luyện Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2009

1. Cho $(x_n)_{n\geq 0}$ là dãy các số thực xác định bởi $$x_1=0,\,x_2=2,\quad x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}\forall n\in\mathbb N^*.$$ Chứng minh rằng dãy số này hội tụ và tìm giới hạn của nó.
2. Cho hàm số $f:(0;\infty)\to (0;\infty)$ thoả mãn điều kiện $$f(3x)\geq f\left(\dfrac{1}{2}f(2x)\right)+2x,\,\forall x>0.$$ Chứng minh rằng $f(x)\geq x,\,\forall x>0$.
3. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $$a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{\sqrt{a_n}},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho dãy $(a_n^{\alpha}/n)$ có giới hạn hữu hạn khác $0$ khi $n\to \infty$.
4. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn $$f(x^2+y+f(y))=f^2(x)+2y\forall x,y\in\mathbb{R}.$$
5. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và phương trình $$f(x+f(x+\cdots+f(x)\cdots))=2008$$ ($2008$ chữ $f$) có nghiệm. Chứng minh rằng phương trình $f(x)=x$ cũng có nghiệm.
6. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $$\forall x,y,z\in\mathbb{R}:|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|.$$
7. Cho hai dãy $(a_n)$ và $(b_n)$ xác định bởi $$a_0=\sqrt{2},\,b_0=2,\quad a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}},\, b_{n+1}=\dfrac{2b_n}{2+\sqrt{4+b_n^2}},\,\forall n\in\mathbb N.$$ Chứng minh rằng các dãy $(a_n)$, $(b_n)$ giảm và hội tụ đến $0$, dãy $(2^na_n)$ tăng, dãy $(2^nb_n)$ giảm và hai dãy này hội tụ đến cùng một giới hạn.
8. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$ ta có $$\dfrac{e}{2n+2}<e-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<\dfrac{e}{2n+1}.$$
9. Cho các số nguyên dương $k$, $s$ và các số thực dương $a_1,a_2,\cdots,a_k$; $b_1,b_2,\cdots,b_s$ sao cho $$\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+\cdots+\sqrt[n]{a_k}=\sqrt[n]{b_1}+\sqrt[n]{b_2}+\cdots+\sqrt[n]{b_s}$$ với vô hạn số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $k=s$ và $\prod a_i=\prod b_j$. 
10. Một hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ được gọi là có tính chất $\Gamma$ nếu $$f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\in\{f(a),f(b)\}\,\forall a,b\in\mathbb{R}.$$ a) Tìm một hàm có tính chất $\Gamma$ mà không phải là hàm hằng. b) Chứng minh rằng một hàm có tính chất $\Gamma$ mà liên tục trên $\mathbb{R}$ sẽ phải là hàm hằng.
11. Dãy $(x_n)$ được xác định bởi $$x_1=a,\quad x_{n+1}=\dfrac{2x_n^3}{3x_n^2-1}\forall n\in\mathbb N^*.$$ Hãy tìm tất cả các số thực $a$ sao cho dãy $(x_n)$ xác định và hội tụ.
12. Cho $\mathcal{F}$ là tập các hàm $f:(0;\infty)\to (0;\infty)$ thoả mãn $$f(3x)\geq f(f(2x))+x,\,\forall x>0.$$ Tìm số thực $A$ lớn nhất sao cho $$f(x)\geq Ax,\,\forall x>0,\,\forall f\in\mathcal{F}.$$
13. Tìm tất cả các số thực $a$ sao cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$x_0=\sqrt{1996},\quad x_{n+1}=\dfrac{a}{1+x_n^2},\,\forall n\in\mathbb N$$ là dãy số hội tụ.
14. Cho dãy $(u_n)$ xác định như sau $$u_1=2,\quad u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Tìm tất cả các số thực $\alpha$ sao cho dãy $(u_n^{\alpha}/n)$ hội tụ và giới hạn của nó khác $0$.
15. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $$f(x^2+f(y))=y+f^2(x),\,\forall x,y\in\mathbb{R}.$$
16. Tìm tất cả các hàm số $f:[1,\infty)\to [1,\infty)$ sao cho $$f(x)\leq 2(x+1),\,f(x+1)=\dfrac{f^2(x)-1}{x},\,\forall x\geq 1.$$
17. Cho các số thực dương $a$, $b$. Tìm tất cả các hàm số $f:[0,\infty)\to [0,\infty)$ sao cho $$[f(f(x))+af(x)=b(a+b)x,\,\forall x\geq 0.$$
18. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sao cho $$f((x+z)(y+z))=(f(x)+f(z))(f(y)+f(z)),\,\forall x,y,z\in\mathbb{R}.$$