- Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_{0}$ sao cho $f\left ( \left ( x_{0} \right ) \right )=0.$ Chứng minh rằng $a,b$ là các số không âm.
- Cho ba số dương $a_{1},b_{1},c_{1}$ thỏa $a_{1}+b_{1}+c_{1}=1$ và các dãy số $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right ),\left ( c_{n} \right )$ thỏa mãn $$a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n},\quad b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}, \quad c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n},\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$$ Xét dãy $(x_{n})$ xác định bởi $$x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2},\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$$ Chứng minh
a) $x_{n+1}=\dfrac{2x_{n}^{2}+\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}{2},\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$.
b) $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn đó. - Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,...,2018.$ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a,b.$ Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không?. Tại sao?.
- Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M$, $N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI$, $CI$ và đường tròn $\left ( O \right )$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$. Đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $EFPQ$ nội tiếp một đường tròn.
b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFPQ$ nằm trên $\Delta$. - Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ là một hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^{n}kx_{k}\left ( k+x_{k} \right )\leq \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2}.$$
- Cho các số nguyên $m,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^{2}-x$ với $x=\overline{1,n}$ không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho $m.$ Chứng minh rằng
a) $m\geq 2n-1$.
b) $m=2n-1$ khi và chỉ khi $m$ là số nguyên tố lẻ. - Với mỗi số nguyên $n> 1$, ta gọi một hoán vị $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )$ của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu $$\left | a_{1}-1 \right |=\left | a_{2}-2 \right |=...=\left | a_{n}-n \right |\neq 0.$$ Chứng minh rằng
a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.
b) Nếu $n$ chẵn thì số hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\dfrac{n}{2}$. - Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. $P$, $Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$, $OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RB$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX}=\widehat{YAC}$.
Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 THPT Chuyên Sư Phạm TP Hà Nội 2018-2019
# Chọn Đội Tuyển
# Contest
# Đề Thi HSG
# Duyên Hải Bắc Bộ
# Gặp Gỡ Toán Học
# HSG 10
# HSG 11
# HSG 12
# HSG 9
# IMO
# International
# Journal
# National
# Kỷ Yếu
# Olympic 10
# Olympic 11
# Olympic 12
# Olympic KHTN
# Olympic Sinh Viên
# Tạp Chí
# Trường Đông
# Trường Hè
# Trường Thu
# Trường Xuân
# Trại Hè Hùng Vương
# Trại Hè Phương Nam
# TST
# Tuyển Sinh 10
# VMO
# VNTST
Đề Thi HSG
Hà Nội
HSG 12
HSG 12 2018-2019
HSG 12 Chuyên SPHN
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |
- Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Bình Phước Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2021-2022
- Toán Học Tuổi Trẻ
- [Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ] Bất Đẳng Thức Suy Luận Và Khám Phá
- [Trần Phương] Những Viên Kim Cương Trong Bất Đẳng Thức Toán Học
- [Nguyễn Nhất Huy, Nguyễn Minh Tuấn, Phan Quang Đạt, Dương Quỳnh Châu, Lăng Hồng Nguyệt Anh, Doãn Quang Tiến] Số Học Hướng Tới Kì Thi Chuyên Toán
- [Nguyễn Song Thiên Long] Tổng Hợp Các Bài Toán Hay Luyện Thi Olympic Toán
- [Nguyễn Tài Chung] Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Phương Trình Hàm
- Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên TP Hải Phòng 2022-2023 (Toán Chung)
- Ứng Dụng Nguyên Lý Dirichlet Trong Chứng Minh Bất Đẳng Thức
- [Kỷ Yếu] Chuyên Đề Hội Thảo Các Trường THPT Chuyên Khu Vực Duyên Hải - Đồng Bằng Bắc Bộ 2020