Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 THPT Chuyên Sư Phạm TP Hà Nội 2018-2019

1. Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^{2}+ax+b$ với $a,b\in \mathbb{R}.$ Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_{0}$ sao cho $f\left ( \left ( x_{0} \right ) \right )=0.$ Chứng minh rằng $a,b$ là các số không âm.
2. Cho ba số dương $a_{1},b_{1},c_{1}$ thỏa $a_{1}+b_{1}+c_{1}=1$ và các dãy số $\left ( a_{n} \right ),\left ( b_{n} \right ),\left ( c_{n} \right )$ thỏa mãn $$a_{n+1}=a_{n}^{2}+2b_{n}c_{n},\quad  b_{n+1}=b_{n}^{2}+2a_{n}c_{n}, \quad c_{n+1}=c_{n}^{2}+2a_{n}b_{n},\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$$ Xét dãy $(x_{n})$ xác định bởi $$x_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2},\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$$ Chứng minh
   a) $x_{n+1}=\dfrac{2x_{n}^{2}+\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}{2},\,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$.
   b) $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn đó.
3. Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên $1,2,3,...,2018.$ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số là ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của $a,b.$ Hỏi rằng ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không?. Tại sao?.
4. Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M$, $N$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của $BI$, $CI$ và đường tròn $\left ( O \right )$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$. Đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.
   a) Chứng minh rằng tứ giác $EFPQ$ nội tiếp một đường tròn.
   b) Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFPQ$ nằm trên $\Delta$.
5. Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )$ là một hoán vị của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng $$\sum_{k=1}^{n}kx_{k}\left ( k+x_{k} \right )\leq \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2}.$$
6. Cho các số nguyên $m,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^{2}-x$ với $x=\overline{1,n}$ không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho $m.$ Chứng minh rằng
   a) $m\geq 2n-1$.
   b) $m=2n-1$ khi và chỉ khi $m$ là số nguyên tố lẻ.
7. Với mỗi số nguyên $n> 1$, ta gọi một hoán vị $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right )$ của tập hợp $\left \{ 1,2,...,n \right \}$ (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu $$\left | a_{1}-1 \right |=\left | a_{2}-2 \right |=...=\left | a_{n}-n \right |\neq 0.$$ Chứng minh rằng
   a) Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.
   b) Nếu $n$ chẵn thì số hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\dfrac{n}{2}$.
8. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $\left ( O \right )$. $P$, $Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$, $OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RB$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX}=\widehat{YAC}$.