Đề Thi Chọn Đội Tuyển THPT Chuyên Đại Học Vinh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2015-2016

1. Cho số $a > 0$ và dãy $(x_n)$ xác định bởi $$x_1 = x_2 = a,\quad x_{n+1} = x_n + \frac{2 \sqrt x_{n-1}}{n^3},\,\forall n \geq 2.$$ Chứng minh rằng $x_n < 2(a + 3),\,\forall n\in\mathbb N^*$.
2. Tìm tất cả các hàm $f : (0; +\infty) \to (0; +\infty)$ sao cho các bất đẳng thức $$f(x + y) \geq f(x) + 2y,\quad f(f(x)) \leq 4x$$ đúng với mọi số thực dương $x$, $y$.
3. Cho tam giác $ABC$ và điểm $X$ nằm trong tam giác đó. Gọi $H$, $K$ theo thứ tự là hình chiếu của $X$ lên các cạnh $BC$, $BA$ và $A'$, $C'$ lần lượt là điểm đối xứng của $X$ qua $BC$, $BA$.
   a) Gọi $E = BC \cap XK$, $F = AB \cap XH$. Chứng minh rằng các điểm $A'$, $B$, $C'$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.
   b) Gọi $Y$ là giao điểm thứ hai của đường tròn $(A'BC')$ với đường tròn đường kính $BX$. Chứng minh rằng $\dfrac{KX}{KY} = \dfrac{HX}{HY}$.
4. Một lớp học có $n$ học sinh cùng tham gia trò chơi tô màu trên một bảng vuông $n \times n$ như sau
   
   • Trong phút đầu tiên $n$ học sinh tô màu $n$ ô không cùng hàng hoặc cùng cột.
   • Trong mỗi phút tiếp theo, mỗi học sinh tô một ô có cạnh chung với ô mà học sinh đó tô ở phút liền trước.
   • Mỗi ô chỉ được tô đúng một lần.
   Hỏi sau $n$ phút bảng vuông có thể được tô kín hay không trong các trường hợp
   a) $n = 30$?.
   b) $n = 31$?.
5. Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}+\frac{b+c+1}{b^2+c^2+1}+\frac{c+a+1}{c^2+a^2+1}.$$
6. Cho $ABCD$ là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tứ giác. Đường thẳng qua $I$, song song với $AB$ cắt $AD$ và $BC$ tại $H$ và $K$. Chứng minh rằng độ dài $HK$ bằng một phần tư chu vi tứ giác $ABCD$. 
7. Cho $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $p^n$ có chứa $2015$ chữ số bằng nhau liên tiếp.