Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Quảng Ninh Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2015-2016

1. Giả sử $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\frac{a^3}{b^2+1}+\frac{b^3}{c^2+1}+\frac{c^3}{a^2+1}.$$ Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn $$f(f(x) + 3y) = 12x + f(f(y) - x),\,\forall x, y \in\mathbb R.$$
2. Cho số nguyên $n > 1$ và số nguyên tố $p$ sao cho $p - 2$ chia hết cho $n$ và $n^3+n+2$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $4p-7$ là một số chính phương.
3. Cho tam giác $ABC$ nhọn và nội tiếp $(O)$, $H$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$. $P$ là điểm thay đổi nằm trong $ABC$ và nằm trên đường phân giác qua $A$. Đường tròn đường kính $AP$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $G$. $L$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $AH$.
   a) Chứng minh rằng đường thẳng $GL$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ thay đổi.
   b) Chứng minh rằng nếu $GL$ đi qua trung điểm của $HP$ thì $P$ là tâm nội tiếp của $ABC$.
4. Cho $k$ là một số nguyên dương và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $$u_1 = 3,\, u_{n+1} = u_n + 4n + 2,\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Tính giới hạn $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\sqrt{u_{n}}+\sqrt{u_{4n}}+\ldots+\sqrt{u_{4^k n}}}{\sqrt{u_{n}}+\sqrt{u_{2n}}+\ldots+\sqrt{u_{2^k n}}}$.
5. Tìm tất cả các đa thức $P$ với hệ số thực thỏa mãn $$(x - 1)P(x + 1) - (x + 1)P(x - 1) = 4P(x).$$
6. Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Gọi $AA_1$, $BB_1$ là các đường cao của tam giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C$ tại $N$ (khác $C$). Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $K$ là giao điểm của $CN$ và $AB$. $CM$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CA_1B_1$ tại điểm thứ hai $P$, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm thứ hai $Q$.
   a) Chứng minh $KP$ đi qua trực tâm của $ABC$.
   b) Chứng minh $MP = MQ$.
7. Có $n$ học sinh tham gia một cuộc thi học sinh giỏi Toán và mỗi học sinh giải được đúng $3$ bài toán. Hai học sinh bất kỳ có đúng một bài toán mà cả hai cùng giải được, trong khi đó mỗi bài toán được giải bởi đúng $k$ học sinh. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ và $k$ thỏa mãn yêu cầu của bài toán.