Đề Thi Tuyển Sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm TP HCM 2018-2019

1. a) Cho các số thực $x$, $y$ khác $0$ và thỏa mãn $x^2y+xy^2=x^2-xy+y^2$. Chứng minh rằng $$\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2,\quad \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} \leq 16.$$ b) Giải phương trình $$3(x^2-3x+1)+\sqrt{3(x^4+x^2+1)}=0$$
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $$x^2y^2=x^2+2xy+8y^2.$$
3. Cho $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn dưới dạng $x^2+3y^2$ với $x$, $y$ là các số nguyên, tức là $S=\{n \in \mathbb{N} \mid n=x^2+3y^2,\,x,y\in\mathbb Z\}$. Chứng minh các tính chất sau của dãy $S$
   a) Nếu $m \in S$, $n \in S$ thì $mn \in S$.
   b) Nếu $n \in S$ và $n$ chia hết cho $2$ thì $n$ chia hết cho $4$.
4. a) Cho $1 \leq x \leq 2$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $$P=\sqrt{x-1}+\sqrt{6-3x}.$$ b) Chứng minh rằng với $x,y$ là các số thực lớn hơn $2$ thì $$\frac{x^2}{y-2}+\frac{y^2}{x-2} \geq 16$$
5. Cho tam giác $ABC$ nhọn có trực tâm $H$ và ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$. Gọi $M$ $N$, $K$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $AEF$, $BDF$ và $CDE$. Phân giác trong góc $\angle HCA$ và $\angle HBA$ cắt nhau tại $P$.
   a) Chứng minh rằng $BC= AH\tan\widehat{BAC}$.
   b) Chứng minh $P$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.
   c) Chứng minh tam giác $MNK$ và tam giác $DEF$ bằng nhau.
6. Cho đường tròn tâm $O$ và một điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Kẻ các cát tuyến $SAB$ và $SCD$ đến $(O)$ ($A$ nằm giữa $S$ và $B$,$C$ nằm giữa $S$ và $D$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $OS$ tại $S$ và cắt các đường thẳng $BC$ và $AD$ tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng $OE=OF$.
7. Có $6$ đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận. Trong mỗi trận đấu, đội thắng được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được $1$ điểm, Kết thức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp. Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trả lời.