Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Lâm Đồng Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2016-2017

1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $\left ( u_{n} \right )$, biết $$u_{1}=\dfrac{1}{2},\, u_{2}=673,\, u_{n+2}=\dfrac{2\left ( n+2 \right )^{2}u_{n+1}-\left ( n^{3}+4n^{2}+5n+2 \right )u_{n}}{n+3},\, \forall n\in \mathbb{N}.$$
2. Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $\left ( O \right )$. Tiếp tuyến của $\left ( O \right )$ tại $B$, $C$ cắt nhau tại $S$. Gọi $d$ là đường thẳng chứa phân giác trong góc $A$ của $\triangle ABC$. Các trung trực của $AB$, $AC$ cắt $d$ tại $M$, $N$. Gọi $P$ là giao điểm $BM$ và $CN$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle MNP$, $H$ là trực tâm $\triangle OMN$.
   a) Chứng minh $H$, $I$ đối xứng nhau qua $d$.
   b) Chứng minh $A$, $I$, $S$ thẳng hàng.
3. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $$f\left ( xf\left ( x+y \right ) \right )=f\left ( yf\left ( x \right ) \right )+x^{2},\, \forall x,y\in \mathbb{R}$$
4. Tìm tất cả cặp số nguyên dương $\left ( x;y \right )$ với $x$, $y$ nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn phương trình $$2\left ( x^{3}-x \right )=y^{3}-y.$$
5. Cho $n$ là một số nguyên dương chẵn lớn hơn hoặc bằng $4$. Ta tô màu mỗi số trong các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ sao cho $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu xanh, $\dfrac{n}{2}$ trong số chúng được tô màu đỏ. Với mỗi cách tô như vậy, gọi $f_{n}$ là số các số nguyên dương bất kì mà ta có thể viết được dưới dạng tổng hai số khác màu.
   a) Tìm tất cả các giá trị có thể của $f_{4}$.
   b) Khi $n\geq 8$ chứng minh $f_{n}<2n-3$. Hãy chỉ ra một cách tô thỏa mãn $f_{n}=2n-5$.
6. Giải phương trình trên tập số thực $$\sqrt{x^{3}+x^{2}+3x-1}+\sqrt{x^{3}+6x+2}=5$$
7. Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi $$u_{1}=\dfrac{3}{2},\, u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}+3u_{n}^{2}-9u_{n}+\dfrac{9n+10}{n+1}-1},\,\forall n\in \mathbb{N}^*.$$ a) Chứng minh $\left ( u_{n} \right )$ bị chặn dưới.
   b) Chứng minh dãy $\left ( u_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $. Tìm giới hạn đó.
8. Cho $x$, $y$, $z$ là các số dương thỏa $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$. Chứng minh rằng $$\dfrac{x}{x^{4}+1+2xy}+\dfrac{y}{y^{4}+1+2yz}+\dfrac{z}{z^{4}+1+2zx}\leq \dfrac{3}{4}$$
9. Cho $\triangle ABC$ ($AB<AC$) có ba góc nhọn và nội tiếp $\left ( O \right )$. Các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ ($E\in AC$, $F\in AB$). Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy điểm $T$ trên $\left ( O \right )$ sao cho $\angle ATH=90^{\circ}$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle GTO$ cắt $EF$ tại $K$ khác $G$. Chứng minh rằng
   a) $G$, $T$, $A$ thẳng hàng.
   b) Đường thẳng $OK$ vuông góc với đường thẳng $AT$.
10. Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ được xác định bởi $$x_{1}=1,\, x_{2}=1,\, x_{3}=1,\, x_{n+3}=x_{n+2}x_{n+1}+x_{n},\,\forall n\in\mathbb N.$$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho $x_{k}$ chia hết cho $m$.
11. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $$11^{n}=xy\left ( z^{2}+1 \right )+\left ( x^{2}+y^{2} \right )z$$
12. Cho dãy số thực $\left ( u_{n} \right )$ được xác định bởi $$u_{1}=2014,\, u_{n+1}=\dfrac{u_{n}^{4}+2013^{2}}{u_{n}^{3}-u_{n}+4026},\, n\in \mathbb{N^{*}}.$$ Đặt $\displaystyle v_{n}=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{u_{k}^{2}+2013},\, \forall n\in \mathbb{N^{*}}$. Tính $\displaystyle \lim_{n\to\infty} v_{n}$.
13. Cho tam giác $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $D$ là trung điểm $AC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle BCD$ giao với phân giác góc $\angle BAC$ tại $E$ nằm trong $\triangle ABC$. Đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABE$ giao với $BD$ tại $F$ khác $B$. $AF$ giao $BE$ tại $I$, $CI$ giao $BD$ tại $K$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABK$.
14. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
    • $f\left ( x+y \right )\leq f\left ( x \right )+f\left ( y \right )$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.
    • $f\left ( x \right )\leq e^{x}-1$ với mỗi $x\in \mathbb{R}$.
15. Giải hệ phương trình $$\begin{cases} \sqrt{x^{2}-\left ( x+y \right )} & =\dfrac{y}{\sqrt[3]{x-y}} \\ 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )-3\sqrt{2x-1} & =11 \end{cases}.$$
16. Trên bảng ô vuông $3\times 3$, người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Hàng không có sỏi ứng với $0$ điểm.
    a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là $8$.
    b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.
17. Cho $x,y,z\in \left ( 0;1 \right )$. Chứng minh rằng $$\left ( x-x^{2} \right )\left ( y-y^{2} \right )\left ( z-z^{2} \right )\geq \left ( x-yz \right )\left ( y-zx \right )\left ( z-xy \right )$$