Tuyển Sinh 2022-2023

[Hình Học Sơ Cấp] Phương Tích Trục Đẳng Phương

Định lý 1.1. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $M$ cố định, $OM = d$. Một đường thẳng thay đổi qua $M$ cắt đường tròn tại hai điểm $A, B$. Khi đó $\overline{MA}.\overline{MB} = d^2 – R^2$.

Định nghĩa 1.2. Giá trị không đổi $\overline{MA}.\overline{MB} = d^2 – R^2$ trong định lý 1.1 được gọi là phương tích của điểm $M$ đối với đường tròn $(O)$ và kí hiệu là $\mathscr{P}_{M/(O)}$. Ta có \[\mathscr{P}_{M/(O)}= \overline{MA}.\overline{MB} = d^2 – R^2\] Định lý 1.3. Hai đường thẳng $AB$, $CD$ cắt nhau tại $M$. Khi đó $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi $\overline{MA}.\overline{MB} =\overline{MC}.\overline{MD} $

Tính chất 1.4.  
  1. Khi $M$ nằm trên $(O)$ thì ${{\mathscr{P}}_{M/\left( O \right)}} = 0$.
  2. Khi $M$ nằm trên $(O)$ thì ${{\mathscr{P}}_{M/\left( O \right)}} = 0$.
  3. Khi $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ và $MT$ là tiếp tuyến của $(O)$ thì ${{\mathscr{P}}_{M/\left( O \right)}} = M{T^2}$.
  4. Nếu $A, B$ cố định và $\overline {AB} .\overline {AM}$ không đổi thì $M$ cố định.
Định nghĩa 1.5. Nếu đường tròn suy biến thành điểm, tức là đường tròn có bán kính bằng 0 thì phương tích của điểm $M$ đến đường tròn đó bằng $d^2$, với $d$ là khoảng cách từ $M$ đến điểm đó.

Định lý 1.6. Cho hai đường tròn không đồng tâm $(O_1; R_1)$ và $(O_2; R_2)$. Tập hợp các điểm $M$ mà phương tích của $M$ đối với hai đường tròn bằng nhau là một đường thẳng.

Định nghĩa 1.7. Đường thẳng trong định lý 2 được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Tính chất 1.8. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(I)$. Từ định lý 1.3 ta suy ra được các tính chất sau:
  1. Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm.
  2. Nếu hai đường tròn cắt nhau tại $A$ và $B$ thì $AB$ chính là trục đẳng phương của chúng.
  3. Nếu điểm $M$ có cùng phương tích đối với $(O)$ và $(I)$ thì đường thẳng qua $M$ vuông góc với $OI$ là trục đẳng phương của hai đường tròn.
  4. Nếu hai điểm $M$, $N$ có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng $MN$ chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
  5. Nếu ba điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì ba điểm đó thẳng hàng.
  6. Nếu $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc nhau tại $A$ thì đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $OI$ chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Định lý 1.9. Cho ba đường tròn $(C_1)$, $(C_2)$ và $(C_3)$. Khi đó ba trục đẳng phương của các cặp đường tròn trùng nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đó được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Định nghĩa 1.10. Điểm đồng quy trong định lý trên được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Tính chất 1.11. Từ định lý trên, ta có
  1. Nếu ba đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm.
  2. Cho ba đường tròn $w_1$, $w_2$, $w_3$ có tâm lần lượt là $O_1$, $O_2$, $O_3$. Gọi $d_{ij}$ là trục đẳng phương của $w_i$, $w_j$. Khi đó nếu $d_{12}$ và $d_{13}$ cắt nhau tại $P$ thì $P$ là tâm đẳng phương của 3 đường tròn. Khi đó trục đẳng phương $d_{23}$ là đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $O_2O_3$.

Các ví dụ.

Ví dụ 1. (Công thức Euler) Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp là $(O;R)$ và đường tròn nôi tiếp là $(I;r)$. Chứng minh rằng \[OI = \sqrt{R^2-2Rr}\] Gợi ý.

Ta có $\mathscr{P}_(I/(O)) = IA.ID = R^2- OI^2$, suy ra $OI^2 = R^2 – IA.ID$.
Ta có $\mathscr{P}_(I/(O)) = IA.ID = R^2- OI^2$, suy ra $OI^2 = R^2 – IA.ID$.
Vẽ đường kính $DE$. Ta có tam giác $AFI$ và $ECD$ đồng dạng, suy ra $AI.CD = IF.DE$. Mà $CD = ID$, $IF = r$, $DE = 2R$, suy ra $IA.ID = 2Rr$. Vậy $$OI^2 = R^2 – 2Rr \Rightarrow IO = \sqrt{R^2-2Rr}$$ Ví dụ 2 (Định lý Brocard). Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt tại $E$; $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $\mathscr{P}_{E/(O)} + \mathscr{P}_{F/(O)} = EF^2$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh $OI \bot EF$.

Gợi ý.
Gọi $K$ là giao điểm của $(AFD)$ và $EF$. Ta có $\angle EKA = \angle ADC = \angle ABE$, suy ra $EKAB$ nội tiếp. Gọi $K$ là giao điểm của $(AFD)$ và $EF$. Ta có $\angle EKA = \angle ADC = \angle ABE$, suy ra $EKAB$ nội tiếp. Khi đó $$\mathscr{P}_{E/(O)} + \mathscr{P}_{F/(O)} = EA.AD + FD.FC = EK.EF + FK.KE = EF^2.$$ Ta có $$\angle FKD + \angle EKB = \angle DCB + \angle BCD = 2 \angle C = \angle AOB,$$ suy ra $KBOD$ nội tiếp. Chứng minh tương tự ta cũng có $KAOC$ nội tiếp. Khi đó tâm đẳng phương của $(O)$, $(KBOD)$, $(KAOC)$ đồng quy tại $I$. Hay $O$, $I$, $K$ thẳng hàng Hơn nữa $KO$, $KF$ lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của $BKD$ nên vuông góc. Vậy $OI \bot EF$ tại $K$.

Ví dụ 3. (Chọn đội tuyển PTNK 2008) Cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A$ cố định và $B, C$ thay đổi trên đường thẳng $d$ cố định sao cho nếu gọi $A’$ là hính chiếu của $A$ lên $d$ thì $\overline {A’B} .\overline {A’C} $ âm và không đổi. Gọi $M$ là hình chiếu của $A’$ lên $AB$. Gọi $N$ là hình chiếu của $A’$ lên $AC$, $K$ là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A’MN$ tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng $K$ thuộc một đường thẳng cố định.

Gợi ý.
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A’MN$ và $I$ là giao điểm của $OK$ và $MN$. Ta thấy $O$ là trung điểm của $AA’$. Gọi $D$ và $P$ là giao điểm của $AA’$ với $(ABC)$ và $MN$. Dễ thấy $$\overline {AM} .\overline {AB} = {\overline {AA’} ^2} = \overline {AN} .\overline {AC},$$ suy ra tứ giác $BMNC$ nội tiếp, suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ACB}$. Mà $\widehat {ADB} = \widehat {ACB}$ nên $\widehat {AMN} = \widehat {ADB}$. Suy ra $MPDB$ nội tiếp. Do đó ta có $$\overline {AP} .\overline {AD} = \overline {AM} .\overline {AB} = {\overline {AA’} ^2}.$$ Mà $A$, $A’$ và $D$ cố định suy ra $P$ cố định. Gọi $H$ là hình chiếu của $K$ trên $AA’$. Ta có $$\overline {AP} .\overline {AH} = \overline {AI} .\overline {AK} = I{N^2} = \dfrac{1}{4}A{A’^2}.$$ Mà $A$, $P$, $A’$ cố định suy ra $H$ cố định. Vậy $K$ thuộc đường thẳng qua $H$ và vuông góc với $AA’$.

Ví dụ 4. (Chọn đội tuyển Việt Nam 2006) Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn và không phải tam giác cân nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Một đường thẳng $d$ thay đổi sao cho vuông góc với $OA$ và luôn cắt tia $AB$, $AC$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là giao điểm của $d$ và $AB$, $AC$. Giả sử $BN$ và $CM$ cắt nhau tại $K$, $AK$ cắt $BC$ tại $P$.
a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $AMN$. Đặt $BC = a$ và $I$ là khoảng cách từ $A$ đến $KH$. Chứng minh $KH$ đi qua trực tâm của tam giác $ABC$, từ đó suy ra $l \leq \sqrt{4R^2-a^2}$.

Gợi ý.
a) Gọi $Q$ là giao điểm của $MN$ và $BC$, $E$ là trung điểm $BC$. Xét tứ giác BMPC thì ta biết rằng $Q$, $P$, $B$, $C$ là hang điểm điều hòa, suy ra $(QPBC) = – 1$. Ta có $EP .EQ = EB^2$, suy ra $$QE .QP = QE^2 – QE .PE = QE^2 – EB^2 = OQ^2 – OB^2 = QB.QC.$$ Mà tứ giác $BMNC$ cũng nội tiếp vì có $\widehat {NCB} = \widehat {xAB} = \widehat {AMN}$ ($Ax$ là tia tiếp tuyến của $(O)$). Suy ra $QM .QN = QB .QC$. Từ đó suy ra $QM .QN = QP .QE $, suy ra tứ giác $MNEP$ nội tiếp, suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ luôn đi qua điểm $E$ cố định.
b) Giả sử ba đường cao $AD$, $BF$ và $CJ$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $I$; ba đường cao $MX$, $AY$, $NZ$ của tam giác $AMN$ cắt nhau tại $H$. Ta cần chứng minh $K$, $I$, $H$ thẳng hàng. Xét đường tròn tâm $(O_1)$ đường kính $BN$ và tâm $(O_2)$ đường kính $CM$. Ta thấy $KC .KM = KB .KN$, $IC .IJ = IB .IF$, $HM .HX = HN .HZ$. Suy ra $K$, $I$, $H$ cùng thuộc trục đẳng phương của $(O_1)$ và $(O_2)$ nên thẳng hàng. Từ đó suy ra $AL \le AI$. Mà $$AI = 2.OE = 2\sqrt {{R^2} – \frac{{B{C^2}}}{4}} = \sqrt {4{R^2} – {a^2}} $$ nên $AL = l \le \sqrt {4{R^2} – {a^2}} $.

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $M$ là trung điểm $BC$, $M’ $ là giao điểm của $AM$ và $(O)$. Tiếp tuyến tại $M’$ cắt đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AO$ tại $X$, các điểm $Y$, $Z$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $X$, $Y$, $Z$ thẳng hàng.

Gợi ý.
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$, $N$ là trung điểm $AH$. Khi đó $MN$ là đường kính của đường tròn Euler. Dễ thấy $AOMN$ là hình bình hành. Mà $AO \bot MX$, suy ra $MN \bot MX$. Do đó $MX$ là tiếp tuyến của đường tròn Euler. Ta có $\angle XMM’ = 90^o – \angle OAX = \angle OM’X – \angle OM’A = \angle XM’M$. Suy ra tam giác $XMM’$ cân tại $X$. Do đó $\mathscr{P}_{X/(F)} = XM^2 = XM’^2 = \mathscr{P}_{(O))}$. Do đó $X$ thuộc trục đẳng phương của (F) và $(O)$. Chứng minh tương tự ta cũng có $Y$, $Z$ thuộc trục đẳng phương của $(F)$ và $(O)$, do đó $X$, $Y$, $Z$ thẳng hàng.

Ví dụ 6. (PTNK 2015) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Đường tròn tâm $I$ qua $B$ và $C$ lần lượt cắt các tia $BA$, $CA$ tại $E$ và $F$. Giả sử các tia $BF$, $CE$ cắt nhau tại $D$ và $T$ là tâm đường tròn $(AEF)$. Chứng minh rằng $OT // ID$. Trên $BF$, $CE$ lần lượt lấy các điểm $G$, $H$ sao cho $AG \bot CE$, $AH\bot BF$. Các đường tròn $(ABF)$, $(ACE)$ cắt $BC$ tại các điểm $M$, $N$ (khác $B$ và $C$) và cắt $EF$ tại $P$, $Q$ (khác $E$ và $F$). Gọi $K$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$. Chứng minh $DK$ vuông góc với $GH$.

Gợi ý.
a) Gọi $(AEF)$ cắt $(O)$ tại $R$ thì $ARBC$ nội tiếp, do đó $AR, EF, BC$ tại $S$ là tâm đẳng phương của $(O)$, $(I)$, $(T)$. Theo định lý Brokard (ví dụ 3), ta có $ID \bot AS$, mặc khác $OT \bot AS$ nên $ID ||OT$.
b) Ta có $\angle MPQ = \angle CEQ = \angle CNQ$ nên $MPQN$ nội tiếp. Khi đó $KM.KP = KN.KQ$, mặt khác $DB.DF = DE.DC$ nên $DK$ là trục đẳng phương của $(ABF)$ và $(ACE)$, do đó $AD$ đi qua $K$. Hơn nữa tam giác $AGH$ có $DG \bot AH$ và $DH \bot AG$ nên $AD \bot GH$. Vậy $DK \bot GH$. 
Ví dụ 7. (VMO 2015) Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B$, $C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$, $C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E$, $F$ và có tâm là $I$.Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M$, $N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P$, $Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\angle MTN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Gợi ý.
Vẽ tia tiếp tuyến $Tx$ của $(O)$ và $(TPQ)$, thì $Tx$ là trục đẳng phương của $(O)$ và $(TPQ)$. Xét ba đường tròn $(O), (TPQ)$ và $(HBC)$ thì trục đẳng phương đồng quy tại một điểm nên $PQ$, $BC$, $Tx$ đồng quy tại điểm, đặt tên là $X$. Lại có trục đẳng phương của $(BEFC)$, $(I)$, $(HBC)$ đồng quy, nên $X$ thuộc $EF$. Do đó ta có $$XT^2 = XB.XC = XF.XE = XM.XN$$ nên $XT$ tiếp xúc với $(TMN)$. Ta có $$\angle XTB + \angle BTM = \angle XTM = \angle XNT = \angle ACB + \angle CTN$$ nên $\angle BTM = \angle CTN$. Gọi $S$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$ thì $$\angle BTM + \angle MTS = \angle BTS = \angle CTS = \angle CTN = \angle CTN + \angle NTS$$ hay là $\angle MTS = \angle NTS$. Vậy phân giác giác $\angle MTN$ luôn đi qua $S$ cố định.

Ví dụ 8. (IMO Shortlist 2011) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, gọi $B’$, $C’$ là trung điểm của cạnh $AB$ và $AC$. Đường tròn $(I)$ qua $B’, C’$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $X$ (khác $A$). Gọi $D$ là chân đường cao hạ từ $A$ của tam giác $ABC$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $X$, $D$, $G$ thẳng hàng.

Gợi ý.
Gọi $P$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ và tại $X$ của $(O)$. Gọi $B$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ và tại $X$ của $(O)$. Phương tích của $P$ đối với $(AB’C’)$, $(B’C’X)$, $(ABC)$ bằng nhau. Suy ra $P$ thuộc trục đẳng phương của $(B’C’X)$ và $B’C’A)$, suy ra $P$ thuộc $B’C’$. $A$, $D$ đối xứng qua $B’C’$ nên ta có $PA = PD$ (tính chất đối xứng) nên $PD$ là tiếp tuyến của $B’C’D$. Vẽ $AY||BC$, chứng minh được $D$, $G$, $Y$ thẳng hàng. $XD$ cắt $(O)$ tại $Y’$ ta có $$\angle ADY’ + \angle AY’D = \dfrac{1}{2} \angle APX + \angle ACX = \dfrac{1}{2} \angle APX + \dfrac{1}{2} AOX = 90^o.$$ Suy ra $AY’||BC$. Vậy $Y \equiv Y’$ và $X$, $D$, $G$ thẳng hàng.

Ví dụ 9. (IMO SL 2009) Cho tam giác $ABC$, đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $D$, $E$. Vẽ các hình bình hành $BDMC$ và $CENB$. Gọi $G$ là giao điểm của $BE$ và $CD$. Chứng minh tam giác $GNM$ cân.

Gợi ý.
Đường tròn tâm $I_a$ bàng tiếp góc $A$ tiếp xúc với $AB, AC$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Ta có $BN = CE = p – c = AX – AD = DX$ và $EN = BC = a = p-(p-a) = AY = YE$. Khi đó $\mathscr{P}_{E/(I_a)} = EY^2 = EN^2$ và $\mathscr{P}_{B/(I_a)} = BX^2 = BN^2$. Do đó $BE$ là trục đẳng phương của $(I_a)$ và đường tròn điểm $N$. Chứng minh tương tự ta cũng có $CD$ là trục đẳng phương của $(I_a)$ và đường tròn điểm $M$. $G$ là giao điểm của $BE$ và $CD$, suy ra $G$ là tâm đẳng phương của $(I_a)$ và hai đường tròn điểm $M$, $N$. Vậy $GM = GN$, hay tam giác $GMN$ cân.

Bài Tập

  1. Cho đường tròn $(O)$. $A$, $B$ là hai điểm cố định đối xứng nhau qua $O$, $M$ là điểm chuyển động trên $(O)$. $MA$, $MB$ giao với $(O)$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $\dfrac{{\overline {AM} }}{{\overline {AP} }} + \dfrac{{\overline {BM} }}{{\overline {BQ} }}$ nhận giá trị không đổi.
  2. Cho tam giác $ABC$ nhọn, kẻ đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Cho $K$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$ và khác $B$, $C$ kẻ đường kính $KM$ củaCho tam giác $ABC$ nhọn, kẻ đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Cho $K$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$ và khác $B$, $C$ kẻ đường kính $KM$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BFK$ và đường kính $KN$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CEK$. Chứng minh rằng ba điểm $M, H, N$ thẳng hàng.
  3. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $\angle B > \angle C$. Gọi $M$ là trung điểm đoạn $BC$ và $E, F$ lần lượt là chân đường cao từ $B$ và $C$. Gọi $K$, $L$ lần lượt là trung điểm của $ME$, $MF$. Gọi $T$ là giao điểm của $KL$ sao cho $TA||BC$. Chứng minh $TA = TM$.
  4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, một đường thẳng qua $(O)$ song song với $BC$, cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $F, E$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $(BFO)$ và $(CEO)$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $D$ và cắt $BC$ tại $L$, $K$. Gọi $M$ là giao của $BE$ và $CF$. Gọi $N$ là giao của $FL$ và $EK$. Chứng minh rằng $D$, $M$, $N$ thẳng hàng.
  5. Cho hai đường tròn $w_1$ và $w_2$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Gọi $l$ là tiếp tuyến chung của $w_1$, $w_2$ sao cho $l$ gẩn $M$ hơn $N$. Gọi tiếp điểm của $l$ với $w_1$ là $A$, với $w_2$ là $B$. Đường thẳng qua $M$ song song với $l$ cắt $w_1$ tại $C$ và cắt $w_2$ tại $D$. Đường thẳng $CA$ và $DB$ cắt nhau tại $E$; đường thẳng $AN$ và $CD$ cắt nhau tại $P$; $BN$ và $CD$ cắt nhau tại $Q$. Chứng minh rằng $EP = EQ$.
  6. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với góc $A$ nhọn. Gọi $D$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ và $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AC, AB$. Giả sử $DE, DF$ cắt lại với $(O)$ tại điểm thứ hai tương ứng là $Y$, $Z$. Đường tròn $(AEY)$ cắt $(AFZ)$ tại điểm thứ hai $M$. Gọi $N$ là trung điểm của $BC$ và đường tròn $(DNM)$ giao với $BC$ tại điểm thứ hai $X$. Chứng minh rằng $AX$ là tiếp tuyến của $(O)$.
  7. Lấy $AB$ là dây cung của đường tròn tâm $O$, $M$ là điểm chính giữa cung $AB$ và $C$ là điểm nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $C$ vẽ hai tiếp tuyến đến $(O)$ tại tiếp điểm $S$, $T$. Gọi $E$ là giao điểm của $MS$ và$ AB$, $F$ là giao điểm của $MT$ và $AB$. Từ $E, F$ vẽ các đường thẳng vuông góc với $AB$, cắt $OS$ và $OT$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Một đường thẳng qua $C$ cắt $(O)$ tại $P$ và $Q$, $MP$ cắt $AB$ tại $R$. Chứng minh rằng $XY$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQR$.
  8. Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại tiếp điểm $M$. Gọi $AB$ là một tiếp tuyến chung của $()C1)$ và $(C_2)$ với $A, B$ phân biệt lần lượt là các tiếp điểm. Trên tia tiếp tuyến chung Mx của hai đường tròn ($Mx$ không cắt $AB$) lấy điểm $C$ khác $M$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $CA$ với $(C_1)$ và $CB$ với $(C_2)$. Chứng minh rằng tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $E$, tiếp tuyến của $(C_2)$ tại $F$ và $Mx$ đồng quy.
  9. Cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi $AD$, $BE$, $CF$ là ba đường phân giác trong của tam giác $ABC$. Gọi $L$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BE$, $CF$. Gọi $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$ lần lượt là các đường tròn đi qua $L$, tiếp xúc với $OA$ tại $A$; đi qua $M$, tiếp xúc với $OB$ tại $B$; đi qua $N$ tiếp xúc với $OC$ tại $C$. Chứng minh rằng $(O_1)$, $(O_2)$, $(O_3)$ có đúng hai điểm chung và đường thẳng nối hai điểm đó đi qua trọng tâm tam giác $ABC$.
  10. Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ thay đổi trên cạnh $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt $AC$ tại $E$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt $AB$ tại $F$. Gọi $H$ là trực tâm.
    a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ và đường tròn đường kính $AH$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $P$. Chứng minh $AP$ đi qua trung điểm của $BC$.
    b) Chứng minh trực tâm tam giác $PEF$ thuộc một đường thẳng cố định. 
  11. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn đường kính $AB$ cắt đường cao $CD$ tại hai điểm $M$ và $N$, $M$ nằm ngoài tam giác; đường tròn đường kính $AC$ cắt đường cao $BE$ tại hai điểm $P$ và $Q$, $Q$ nằm ngoài tam giác.
    a) Chứng minh $4$ điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
    b) Chứng minh $MP$, $NQ$ và $BC$ đồng quy.
  12. Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B, C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $MA = MC$ và $NA = NB$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMN$ và $ABC$ cắt nhau tại $P$ ($P \neq A$). Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$.
    a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $P$, $Q$ thẳng hàng.
    b) Gọi $D$ là trung điểm của $BC$. Các đường tròn có tâm là $M$, $N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ($K \neq A$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F (F \neq A)$. Chứng minh rằng đường thẳng $AF$ đi qua một điểm cố định.
MOlympiad.NET rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc LIÊN HỆ
[email protected]
You can use $\LaTeX$ in comment




Name

Abel Albania AMM Amsterdam An Giang Andrew Wiles Anh APMO Austria (Áo) Ba Đình Ba Lan Bà Rịa Vũng Tàu Bắc Bộ Bắc Giang Bắc Kạn Bạc Liêu Bắc Ninh Bắc Trung Bộ Bài Toán Hay Balkan Baltic Way BAMO Bất Đẳng Thức Bến Tre Benelux Bình Định Bình Dương Bình Phước Bình Thuận Birch BMO Booklet Bosnia Herzegovina BoxMath Brazil British Bùi Đắc Hiên Bùi Thị Thiện Mỹ Bùi Văn Tuyên Bùi Xuân Diệu Bulgaria Buôn Ma Thuột BxMO Cà Mau Cần Thơ Canada Cao Bằng Cao Quang Minh Câu Chuyện Toán Học Caucasus CGMO China - Trung Quốc Chọn Đội Tuyển Chu Tuấn Anh Chuyên Đề Chuyên SP TPHCM Chuyên SPHN Chuyên Trần Hưng Đạo Collection College Mathematic Concours Cono Sur Contest Correspondence Cosmin Poahata Crux Czech-Polish-Slovak Đà Nẵng Đa Thức Đại Số Đắk Lắk Đắk Nông Đan Phượng Danube Đào Thái Hiệp ĐBSCL Đề Thi Đề Thi HSG Đề Thi JMO Điện Biên Định Lý Định Lý Beaty Đỗ Hữu Đức Thịnh Do Thái Doãn Quang Tiến Đoàn Quỳnh Đoàn Văn Trung Đống Đa Đồng Nai Đồng Tháp Du Hiền Vinh Đức Dương Quỳnh Châu Duyên Hải Bắc Bộ E-Book EGMO ELMO EMC Epsilon Estonian Euler Evan Chen Fermat Finland Forum Of Geometry Furstenberg G. Polya Gặp Gỡ Toán Học Gauss GDTX Geometry Gia Lai Gia Viễn Giải Tích Hàm Giảng Võ Giới hạn Goldbach Hà Giang Hà Lan Hà Nam Hà Nội Hà Tĩnh Hà Trung Kiên Hải Dương Hải Phòng Hậu Giang Hậu Lộc Hilbert Hình Học HKUST Hòa Bình Hoài Nhơn Hoàng Bá Minh Hoàng Minh Quân Hodge Hojoo Lee HOMC HongKong HSG 10 HSG 10 2015-2016 HSG 10 2022-2023 HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 10 Bắc Giang HSG 10 Bạc Liêu HSG 10 Bắc Ninh HSG 10 Bình Định HSG 10 Bình Dương HSG 10 Bình Thuận HSG 10 Chuyên SPHN HSG 10 Đắk Lắk HSG 10 Đồng Nai HSG 10 Gia Lai HSG 10 Hà Nam HSG 10 Hà Tĩnh HSG 10 Hải Dương HSG 10 KHTN HSG 10 Nghệ An HSG 10 Phú Yên HSG 10 Thái Nguyên HSG 10 Thanh Hóa HSG 10 Trà Vinh HSG 10 Vĩnh Phúc HSG 11 HSG 11 2011-2012 HSG 11 2012-2013 HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 11 Bắc Giang HSG 11 Bạc Liêu HSG 11 Bắc Ninh HSG 11 Bình Định HSG 11 Bình Dương HSG 11 Bình Thuận HSG 11 Cà Mau HSG 11 Đà Nẵng HSG 11 Đồng Nai HSG 11 Hà Nam HSG 11 Hà Tĩnh HSG 11 Hải Phòng HSG 11 HSG 12 Quảng Ngãi HSG 11 Lạng Sơn HSG 11 Nghệ An HSG 11 Ninh Bình HSG 11 Thái Nguyên HSG 11 Thanh Hóa HSG 11 Trà Vinh HSG 11 Vĩnh Long HSG 11 Vĩnh Phúc HSG 12 HSG 12 2010-2011 HSG 12 2011-2012 HSG 12 2012-2013 HSG 12 2013-2014 HSG 12 2014-2015 HSG 12 2015-2016 HSG 12 2016-2017 HSG 12 2017-2018 HSG 12 2018-2019 HSG 12 2019-2020 HSG 12 2020-2021 HSG 12 2021-2022 HSG 12 An Giang HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 12 Bắc Giang HSG 12 Bạc Liêu HSG 12 Bắc Ninh HSG 12 Bến Tre HSG 12 Bình Định HSG 12 Bình Dương HSG 12 Bình Phước HSG 12 Bình Thuận HSG 12 Cà Mau HSG 12 Cần Thơ HSG 12 Cao Bằng HSG 12 Chuyên SPHN HSG 12 Đà Nẵng HSG 12 Đắk Lắk HSG 12 Đắk Nông HSG 12 Đồng Nai HSG 12 Đồng Tháp HSG 12 Gia Lai HSG 12 Hà Nam HSG 12 Hà Tĩnh HSG 12 Hải Dương HSG 12 Hải Phòng HSG 12 Hòa Bình HSG 12 Khánh Hòa HSG 12 KHTN HSG 12 Lạng Sơn HSG 12 Long An HSG 12 Nam Định HSG 12 Nghệ An HSG 12 Ninh Bình HSG 12 Phú Yên HSG 12 Quảng Nam HSG 12 Quảng Ngãi HSG 12 Quảng Ninh HSG 12 Sơn La HSG 12 Tây Ninh HSG 12 Thái Nguyên HSG 12 Thanh Hóa HSG 12 Thừa Thiên Huế HSg 12 Tiền Giang HSG 12 TPHCM HSG 12 Vĩnh Long HSG 12 Vĩnh Phúc HSG 9 HSG 9 2010-2011 HSG 9 2011-2012 HSG 9 2012-2013 HSG 9 2013-2014 HSG 9 2014-2015 HSG 9 2015-2016 HSG 9 2016-2017 HSG 9 2017-2018 HSG 9 2018-2019 HSG 9 2019-2020 HSG 9 2020-2021 HSG 9 2021-202 HSG 9 2021-2022 HSG 9 2022-2023 HSG 9 An Giang HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu HSG 9 Bắc Giang HSG 9 Bắc Ninh HSG 9 Bến Tre HSG 9 Bình Định HSG 9 Bình Dương HSG 9 Bình Phước HSG 9 Bình Thuận HSG 9 Cà Mau HSG 9 Cao Bằng HSG 9 Đà Nẵng HSG 9 Đắk Lắk HSG 9 Đắk Nông HSG 9 Đồng Nai HSG 9 Đồng Tháp HSG 9 Gia Lai HSG 9 Hà Giang HSG 9 Hà Nam HSG 9 Hà Tĩnh HSG 9 Hải Dương HSG 9 Hải Phòng HSG 9 Hòa Bình HSG 9 Khánh Hòa HSG 9 Lạng Sơn HSG 9 Long An HSG 9 Nam Định HSG 9 Nghệ An HSG 9 Ninh Bình HSG 9 Phú Yên HSG 9 Quảng Nam HSG 9 Quảng Ngãi HSG 9 Quảng Ninh HSG 9 Sơn La HSG 9 Tây Ninh HSG 9 Thanh Hóa HSG 9 Thừa Thiên Huế HSG 9 Tiền Giang HSG 9 TPHCM HSG 9 Trà Vinh HSG 9 Vĩnh Long HSG 9 Vĩnh Phúc HSG Cấp Trường HSG Quốc Gia HSG Quốc Tế Hứa Lâm Phong Hứa Thuần Phỏng Hùng Vương Hưng Yên Hương Sơn Huỳnh Kim Linh Hy Lạp IMC IMO IMT India - Ấn Độ Inequality InMC International Iran Jakob JBMO Jewish Journal Junior K2pi Kazakhstan Khánh Hòa KHTN Kiên Giang Kim Liên Kon Tum Korea - Hàn Quốc Kvant Kỷ Yếu Lai Châu Lâm Đồng Lăng Hồng Nguyệt Anh Lạng Sơn Langlands Lào Cai Lê Hải Châu Lê Hải Khôi Lê Hoành Phò Lê Hồng Phong Lê Khánh Sỹ Lê Minh Cường Lê Phúc Lữ Lê Phương Lê Quý Đôn Lê Viết Hải Lê Việt Hưng Leibniz Long An Lớp 10 Chuyên Lớp 10 Không Chuyên Lớp 11 Lục Ngạn Lượng giác Lương Tài Lưu Giang Nam Lý Thánh Tông Macedonian Malaysia Margulis Mark Levi Mathematical Excalibur Mathematical Reflections Mathematics Magazine Mathematics Today Mathley MathLinks MathProblems Journal Mathscope MathsVN MathVN MEMO Metropolises Mexico MIC Michael Guillen Mochizuki Moldova Moscow MYTS Nam Định Nam Phi National Nesbitt Newton Nghệ An Ngô Bảo Châu Ngô Việt Hải Ngọc Huyền Nguyễn Anh Tuyến Nguyễn Bá Đang Nguyễn Đình Thi Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Đức Thắng Nguyễn Duy Khương Nguyễn Duy Tùng Nguyễn Hữu Điển Nguyễn Mình Hà Nguyễn Minh Tuấn Nguyễn Nhất Huy Nguyễn Phan Tài Vương Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phúc Tăng Nguyễn Quản Bá Hồng Nguyễn Quang Sơn Nguyễn Song Thiên Long Nguyễn Tài Chung Nguyễn Tăng Vũ Nguyễn Tất Thu Nguyễn Thúc Vũ Hoàng Nguyễn Trung Tuấn Nguyễn Tuấn Anh Nguyễn Văn Huyện Nguyễn Văn Mậu Nguyễn Văn Nho Nguyễn Văn Quý Nguyễn Văn Thông Nguyễn Việt Anh Nguyễn Vũ Lương Nhật Bản Nhóm $\LaTeX$ Nhóm Toán Ninh Bình Ninh Thuận Nội Suy Lagrange Nội Suy Newton Nordic Olympiad Corner Olympiad Preliminary Olympic 10 Olympic 10/3 Olympic 10/3 Đắk Lắk Olympic 11 Olympic 12 Olympic 23/3 Olympic 24/3 Olympic 24/3 Quảng Nam Olympic 27/4 Olympic 30/4 Olympic KHTN Olympic Sinh Viên Olympic Tháng 4 Olympic Toán Olympic Toán Sơ Cấp Ôn Thi 10 PAMO Phạm Đình Đồng Phạm Đức Tài Phạm Huy Hoàng Pham Kim Hung Phạm Quốc Sang Phan Huy Khải Phan Quang Đạt Phan Thành Nam Pháp Philippines Phú Thọ Phú Yên Phùng Hồ Hải Phương Trình Hàm Phương Trình Pythagoras Pi Polish Problems PT-HPT PTNK Putnam Quảng Bình Quảng Nam Quảng Ngãi Quảng Ninh Quảng Trị Quỹ Tích Riemann RMM RMO Romania Romanian Mathematical Russia Sách Thường Thức Toán Sách Toán Sách Toán Cao Học Sách Toán THCS Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út Scholze Serbia Sharygin Shortlists Simon Singh Singapore Số Học - Tổ Hợp Sóc Trăng Sơn La Spain Star Education Stars of Mathematics Swinnerton-Dyer Talent Search Tăng Hải Tuân Tạp Chí Tập San Tây Ban Nha Tây Ninh Thạch Hà Thái Bình Thái Nguyên Thái Vân Thanh Hóa THCS Thổ Nhĩ Kỳ Thomas J. Mildorf THPT Chuyên Lê Quý Đôn THPTQG THTT Thừa Thiên Huế Tiền Giang Tin Tức Toán Học Titu Andreescu Toán 12 Toán Cao Cấp Toán Rời Rạc Toán Tuổi Thơ Tôn Ngọc Minh Quân TOT TPHCM Trà Vinh Trắc Nghiệm Trắc Nghiệm Toán Trại Hè Trại Hè Hùng Vương Trại Hè Phương Nam Trần Đăng Phúc Trần Minh Hiền Trần Nam Dũng Trần Phương Trần Quang Hùng Trần Quốc Anh Trần Quốc Luật Trần Quốc Nghĩa Trần Tiến Tự Trịnh Đào Chiến Trường Đông Trường Hè Trường Thu Trường Xuân TST TST 2008-2009 TST 2010-2011 TST 2011-2012 TST 2012-2013 TST 2013-2014 TST 2014-2015 TST 2015-2016 TST 2016-2017 TST 2017-2018 TST 2018-2019 TST 2019-2020 TST 2020-2021 TST 2021-2022 TST 2022-2023 TST An Giang TST Bà Rịa Vũng Tàu TST Bắc Giang TST Bắc Ninh TST Bến Tre TST Bình Định TST Bình Dương TST Bình Phước TST Bình Thuận TST Cà Mau TST Cần Thơ TST Cao Bằng TST Đà Nẵng TST Đắk Lắk TST Đắk Nông TST Đồng Nai TST Đồng Tháp TST Gia Lai TST Hà Nam TST Hà Tĩnh TST Hải Dương TST Hải Phòng TST Hòa Bình TST Khánh Hòa TST Lạng Sơn TST Long An TST Nam Định TST Nghệ An TST Ninh Bình TST Phú Yên TST PTNK TST Quảng Nam TST Quảng Ngãi TST Quảng Ninh TST Sơn La TST Thái Nguyên TST Thanh Hóa TST Thừa Thiên Huế TST Tiền Giang TST TPHCM TST Trà Vinh TST Vĩnh Long TST Vĩnh Phúc Tuyên Quang Tuyển Sinh Tuyển Sinh 10 Tuyển Sinh 10 An Giang Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu Tuyển Sinh 10 Bắc Giang Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh Tuyển Sinh 10 Bến Tre Tuyển Sinh 10 Bình Định Tuyển Sinh 10 Bình Dương Tuyển Sinh 10 Bình Phước Tuyển Sinh 10 Bình Thuận Tuyển Sinh 10 Cà Mau Tuyển Sinh 10 Cao Bằng Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk Tuyển Sinh 10 Đắk Nông Tuyển Sinh 10 Đồng Nai Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp Tuyển Sinh 10 Gia Lai Tuyển Sinh 10 Hà Giang Tuyển Sinh 10 Hà Nam Tuyển Sinh 10 Hà Nội Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh Tuyển Sinh 10 Hải Dương Tuyển Sinh 10 Hải Phòng Tuyển Sinh 10 Hòa Bình Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa Tuyển Sinh 10 KHTN Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn Tuyển Sinh 10 Long An Tuyển Sinh 10 Nam Định Tuyển Sinh 10 Nghệ An Tuyển Sinh 10 Ninh Bình Tuyển Sinh 10 Phú Yên Tuyển Sinh 10 PTNK Tuyển Sinh 10 Quảng Nam Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh Tuyển Sinh 10 Sơn La Tuyển Sinh 10 Tây Ninh Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế Tuyển Sinh 10 Tiền Giang Tuyển Sinh 10 TPHCM Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc Tuyển Sinh 2010-2011 Tuyển Sinh 2011-2012 Tuyển Sinh 2012-2013 Tuyển Sinh 2013-2014 Tuyển Sinh 2014-2015 Tuyển Sinh 2015-2016 Tuyển Sinh 2016-2017 Tuyển Sinh 2017-2018 Tuyển Sinh 2018-2019 Tuyển Sinh 2019-2020 Tuyển Sinh 2020-2021 Tuyển Sinh 2021-202 Tuyển Sinh 2021-2022 Tuyển Sinh 2022-2023 Tuyển Sinh Chuyên SP TPHCM Tuyển Tập Tuymaada UK - Anh Undergraduate USA - Mỹ USA TSTST USAJMO USATST USEMO Uzbekistan Vasile Cîrtoaje Vật Lý Viện Toán Học Vietnam Viktor Prasolov VIMF Vinh Vĩnh Long Vĩnh Phúc Virginia Tech VLTT VMEO VMF VMO VNTST Võ Anh Khoa Võ Quốc Bá Cẩn Võ Thành Văn Vojtěch Jarník Vũ Hữu Bình Vương Trung Dũng WFNMC Journal Wiles Yên Bái Yên Định Yên Thành Zhautykov Zhou Yuan Zhe
false
ltr
item
MOlympiad.NET: [Hình Học Sơ Cấp] Phương Tích Trục Đẳng Phương
[Hình Học Sơ Cấp] Phương Tích Trục Đẳng Phương
https://i2.wp.com/i.imgur.com/RhanGbo.png?resize=350%2C327&ssl=1
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2018/05/phuong-tich-truc-dang-phuong.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/05/phuong-tich-truc-dang-phuong.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Not found any posts Not found any related posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Table of Contents See also related Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
PLEASE FOLLOW THE INSTRUCTIONS TO VIEW THIS CONTENT
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
XIN HÃY LÀM THEO HƯỚNG DẪN ĐỂ XEM NỘI DUNG NÀY
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN