# [Solutions] Vojtěch Jarník International Mathematical Competition 2018

### Category I

1. Every point of the rectangle $R=[0,4] \times [0,40]$ is coloured using one of four colours. Show that there exist four points in $R$ with the same colour that form a rectangle having integer side lengths.
2. Find all prime numbers $p$ such that $p^3$ divides the determinant $\begin{vmatrix} 2^2 & 1 & 1 & \dots & 1\\1 & 3^2 & 1 & \dots & 1\\ 1 & 1 & 4^2 & & 1\\ \vdots & \vdots & & \ddots & \\1 & 1 & 1 & & (p+7)^2 \end{vmatrix}.$
3. Let $n$ be a positive integer and let $x_1,\dotsc,x_n$ be positive real numbers satisfying $\vert x_i-x_j\vert \le 1$ for all pairs $(i,j)$ with $1 \le i<j \le n$. Prove that $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\dots+\frac{x_{n-1}}{x_n}+\frac{x_n}{x_1} \ge \frac{x_2+1}{x_1+1}+\frac{x_3+1}{x_2+1}+\dots+\frac{x_n+1}{x_{n-1}+1}+\frac{x_1+1}{x_n+1}.$
4. Determine all possible (finite or infinite) values of $\lim_{x \to -\infty} f(x)-\lim_{x \to \infty} f(x),$if $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ is a strictly decreasing continuous function satisfying $f(f(x))^4-f(f(x))+f(x)=1$for all $x \in \mathbb{R}$.

### Category II

1. Find all real solutions of the equation $17^x+2^x=11^x+2^{3x}.$
2. Let $n$ be a positive integer and let $a_1\le a_2 \le \dots \le a_n$ be real numbers such that $a_1+2a_2+\dots+na_n=0.$ Prove that $a_1[x]+a_2[2x]+\dots+a_n[nx] \ge 0$for every real number $x$. (Here $[t]$ denotes the integer satisfying $[t] \le t<[t]+1$.)
3. In $\mathbb{R}^3$ some $n$ points are coloured. In every step, if four coloured points lie on the same line, Vojtěch can colour any other point on this line. He observes that he can colour any point $P \in \mathbb{R}^3$ in a finite number of steps (possibly depending on $P$). Find the minimal value of $n$ for which this could happen.
4. Compute the integral $\iint_{\mathbb{R}^2} \left(\frac{1-e^{-xy}}{xy}\right)^2 e^{-x^2-y^2} dx dy.$
 MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa bài viết này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ[email protected]Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,...