$hide=mobile

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (Đại Số)

Bảng A

  1. Cho ma trận $$A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 4 & -3\\ 4 & 6 & -5\\ 8 & 12 & -10 \end{array}\right).$$ a) Tính $A^4$,
    b) Tìm số nguyên dương $N$ nhỏ nhất sao cho ${\rm rank}(A^k) ={\rm rank}(A^{k+1})$ với mọi $k \geq N$, trong đó ${\rm rank}(M)$ là hạng của một ma trận $M$ (có giải thích rõ các lập luận và tính toán). 
  2. Người ta khảo sát một mô hình di cư dân số giữa hai vùng đô thị và nông thôn với quy luật như sau: Hằng năm, có $50%$ dân số vùng nông thôn chuyển về vùng đô thị và đồng thời có $25%$ dân số vùng đô thị chuyển về vùng nông thôn sinh sống. Giả sử $x$, $y$ tương ứng là số dân vùng nông thôn và vùng đô thị ở thời điểm ban đầu $(x, y > 0)$.
    a) Hỏi sau $k$ năm dân số của vùng nông thôn và vùng đô thị là bao nhiêu?.
    b) Giả sử ban đầu số người sống ở nông thôn và đô thị là bằng nhau. Có thể đến lúc nào đó dân số của vùng đô thị vượt quá $80% $tổng dân số của cả hai vùng không?. Giải thích câu trả lời.
  3. a) Giả sử $X$, $A$ là các ma trận vuông với hệ số thực thoả mãn $X^2 = A$. Chứng minh rằng $AX = XA$.
    b) Tìm số các ma trận vuông $X$ với hệ số thực thỏa mãn $$ X^{2}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 16 \end{array}\right)$$
  4. Một ma trận vuông được gọi là dương nếu tất cả hệ số của nó là các số thực dương.
    a) Chứng minh rằng mỗi ma trận dương cấp $2$ đều có hai giá trị riêng là các số thực khác nhau và giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất là một số dương.
    b) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $2$. Giả sử $v\in\mathbb R^2$ là một véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của $A$. Chứng minh rằng hai thành phần của véctơ $v$ có cùng dấu.
    c) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $3$. Xét tập các giá trị riêng của $A$ (kể cả các giá trị phức), chứng minh rằng giá trị riêng có mô đun lớn nhất của $A$ là một số thực dương.
  5. Cho trước $6$ điểm phân biệt trên một đường tròn.
    a) Chia $6$ điểm đó thành ba cặp và nối hai điểm trong mỗi cặp bởi một dây cung. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho không có hai dây cung nào cắt nhau?.
    b) Đánh số một cách ngẫu nhiên các điểm đó từ $1, 2, . . . , 6$. Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chứng minh rằng luôn tìm được ba dây cung, đôi một không có điểm chung, sao cho tổng của các số gán với ba dây cung đó bằng $9$.

Bảng B

  1. Cho một số thực $a$ và một số nguyên $n > 0$. Xét ma trận vuông cấp $n$ sau $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a & 0 & \cdots & 0 & n-1\\ 0 & a & \cdots & 0 & n-2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a & 1\\ n-1 & n-2 & \cdots & 1 & a \end{array}\right).$$ Tính định thức của $A$ trong các trường hợp a) $n = 4$,
    b) $n$ là số nguyên dương bất kỳ. 
  2. Người ta khảo sát một mô hình di cư dân số giữa hai vùng đô thị và nông thôn với quy luật như sau: Hằng năm, có $50%$ dân số vùng nông thôn chuyển về vùng đô thị và đồng thời có $25%$ dân số vùng đô thị chuyển về vùng nông thôn sinh sống. Giả sử $x$, $y$ tương ứng là số dân vùng nông thôn và vùng đô thị ở thời điểm ban đầu $(x, y > 0)$.
    a) Hỏi sau $k$ năm dân số của vùng nông thôn và vùng đô thị là bao nhiêu?.
    b) Giả sử ban đầu số người sống ở nông thôn và đô thị là bằng nhau. Có thể đến lúc nào đó dân số của vùng đô thị vượt quá $80% $tổng dân số của cả hai vùng không?. Giải thích câu trả lời.
  3. Cho ma trận $$A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 2 & -3\\ 6 & 1 & 1 & -4\\ 1 & 6 & 1 & -4\\ 1 & 1 & 6 & -4 \end{array}\right)$$ a) Tính $A^4$,
    b) Chứng minh rằng hai hệ phương trình sau có cùng tập hợp nghiệm trong $\mathbb R^4$ $$Ax = 0,\quad (A + A^2 + A^3 + A^4)x = 0.$$
  4. Một ma trận vuông được gọi là dương nếu tất cả hệ số của nó là các số thực dương.
    a) Chứng minh rằng mỗi ma trận dương cấp $2$ đều có hai giá trị riêng là các số thực khác nhau và giá trị riêng có giá trị tuyệt đối lớn nhất là một số dương.
    b) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $2$. Giả sử $v\in\mathbb R^2$ là một véc tơ riêng ứng với giá trị riêng lớn nhất của $A$. Chứng minh rằng hai thành phần của véctơ $v$ có cùng dấu,
    c) Cho $A$ là một ma trận dương cấp $3$. Xét tập các giá trị riêng của $A$ (kể cả các giá trị phức), chứng minh rằng giá trị riêng có mô đun lớn nhất của $A$ là một số thực dương. 
  5. Cho trước $6$ điểm phân biệt trên một đường tròn.
    a) Chia $6$ điểm đó thành ba cặp và nối hai điểm trong mỗi cặp bởi một dây cung. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho không có hai dây cung nào cắt nhau?.
    b) Đánh số các điểm đó lần lượt từ $1, 2, . . . , 6$. Mỗi dây cung nối hai điểm bất kỳ được gán với giá trị tuyệt đối của hiệu các số ở hai đầu mút. Chọn ra $3$ dây cung, đôi một không có đầu mút chung, rồi lấy tổng của các số gán với các dây cung đó. Hỏi giá trị lớn nhất của tổng nhận được bằng bao nhiêu?.

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,22,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1643,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,87,HSG 12,581,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,230,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (Đại Số)
[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2018 (Đại Số)
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/04/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-hoc-sinh-2018-dai-so.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/04/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-hoc-sinh-2018-dai-so.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy