Đề Thi Olympic Toán Nữ Sinh Trung Quốc 2014

1. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ giao nhau tại $A$, $B$. Ta kéo dài đường $O_1 A$, cắt $(O_2)$ tại C; kéo dài đường $O_2 A$ và cắt $(O_1)$ tại $D$. Qua điểm $B$, ta vẽ đường thẳng song song với $O_2 A$, cắt $(O_1)$ tại điểm thứ hai là $E$. Chứng minh rằng nếu $DE \parallel O_1A$ thì $DC \perp CO_2$.
2. Cho dãy các số thực $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, trong đó, $n\ge 2$ là một số nguyên; và $\lfloor{x_1}\rfloor,\lfloor{x_2}\rfloor,\ldots,\lfloor{x_n}\rfloor$ là một hoán vị của $1,2,\ldots,n$ (Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$). Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $$\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lfloor{x_{i+1}-x_i}\rfloor$$
3. Trong một lớp học có $n$ học sinh: mỗi học sinh quen với đúng $d$ bạn nữ và $d$ bạn nam ("quen" là một quan hệ hai bên). Tìm tất cả các cặp $(n,d)$ thỏa mãn cho lớp học đó.
4. Với mỗi số nguyên $m\geq 4$, Ta lấy $T_{m}$ là số các dãy số $a_{1},\dots,a_{m}$ sao cho các mệnh đề sau được thỏa mãn
   
   • $a_{i}\in \{1,2,3,4\}$ $\forall i=\overline{1,m}$
   • $a_{1} = a_{m} = 1$
   • Các số $a_{i}$, $a_{i-1}$ và $a_{i-2}$ là phân biệt với mọi $i=\overline{3,m}$
   Chứng minh rằng tồn tại một cấp số nhân gồm các số nguyên dương $\{g_{n}\}$ sao cho với $n\geq 4$ ta có $$g_{n} - 2\sqrt{g_{n}} < T_{n} < g_{n} + 2\sqrt{g_{n}}$$
5. Cho $a$ là một số nguyên dương, nhưng không chính phương; $r$ là một nghiệm thực của phương trình $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh rằng $r+\sqrt{a}$ là một số vô tỉ.
6. Cho tam giác nhọn $ABC$ sao cho $AB > AC$. Lấy $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta BCE$ tại điểm thứ hai là $P$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ tại điểm thứ hai là $Q$. Chứng minh rằng $AP = AQ$.
7. Với một tập hợp $X$ khác rỗng gồm hữu hạn các số thực, ta định nghĩa hàm $f(X) = \dfrac{1}{|X|} \displaystyle\sum\limits_{a\in X} a$, trong đó, $\left\lvert X \right\rvert$ là số các phần tử của $X$. Với các cặp tập hợp có sắp xếp $(A,B)$ sao cho $A\cup B = \{1, 2, \dots , 100\}$ và $A\cap B = \emptyset$ $\left( 1\leq |A| \leq 98\right) $, ta chọn một số $p\in B$ bất kỳ, và lấy $A_{p} = A\cup \{p\}$ và $B_{p} = B - \{p\}$. Trong tất cả các cặp $(A,B)$ và $p\in B$, hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức $(f(A_{p})-f(A))(f(B_{p})-f(B))$.
8. Cho $n$ là một số nguyên dương, và tập hợp $S$ gồm tất cả các giá trị nguyên tố cùng nhau với $n$ trong $\{1,2,\dots,n\}$. Ta định nghĩa các tập hợp $S_1 = S \cap \left(0, \frac n3 \right]$, $S_2 = S \cap \left( \frac n3, \frac {2n}3 \right]$, $S_3 = S \cap \left( \frac{2n}{3}, n \right]$. Chứng minh rằng nếu số các phần tử của $S$ là một bội số của $3$ thì $S_1, S_2, S_3$ có cùng một số các phần tử.