Đề Thi Olympic Toán Học Viện Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự TP Hà Nội 2011

1. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N}^*$ tồn tại $c \in [0,1]$ sao cho $$f(c)= f\left( \dfrac{cn+1}{n}\right).$$
2. Cho dãy $\{\varepsilon\}$ là dãy số gồm các phần tử nhận một trong ba giá trị $-1,0,1$. Chứng minh công thức sau $$\varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}=2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\varepsilon_1\varepsilon_2\dots \varepsilon_n}{2^{k-1}}\right),\,\forall n \in \mathbb{N}.$$ Từ đó suy ra giới hạn của dãy số sau $a_n = \varepsilon_1 +\sqrt{2+\varepsilon_2\sqrt{2+\dots+\varepsilon_n\sqrt{2}}}$.
3. Tìm $x$ để giới hạn sau tồn tại và tính giới hạn đấy $$\lim_{n \to \infty} \prod_{k=0}^n \left(1 + \dfrac{2}{x^{2^k}+x^{-2^k}} \right).$$
4. Giả sử rằng $\{a_n\}$ hội tụ tới $1$. Tính giới hạn sau đây với số tự nhiên $p\geq 2$ $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[p]{1+a_n}-1}{a_n}$$
5. a) Chứng minh rằng nếu dãy $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $\lim\limits_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)=a$ thì ta cũng có $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}=a.$$ b) Chứng minh rằng $$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2 -\sin^2 x}{x^2\sin^2 x} = \dfrac{1}{3}.$$ c) Sử dụng kết quả trên chứng minh dãy số $\{a_n\}$ cho bởi $$0<a_1< \pi, a_{n+1} =\sin a_n,\,\forall n\in\mathbb N^*$$  thỏa mãn $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{n} a_n =\sqrt{3}.$
6. Cho dãy số bởi công thức truy hồi $$a_1=0,\quad a_{n+1} = 1-\sin (a_n-1),\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ Tính giới hạn $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n a_k$.