Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Nghệ An Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2008-2009

1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}|y|&=|x-3| \\ (2\sqrt{z}+2-y)y&=1+4y \\ x^2+z-4x&=0\end{cases}.$$
2. Cho số nguyên $a$. Chứng minh rằng phương trình $$x^4-7x^3+(a+2)x^2-11x+a=0$$ không thể có nhiều hơn một nghiệm nguyên
3. Cho dãy số thực $\{x_n\}$ được xác định bởi $$x_0=1,\quad x_{n+1}=2+\sqrt{x_n}-2\sqrt{1+\sqrt{x_n}},\, \forall n \in \mathbb N.$$ Ta xác định dãy $\{y_n\}$ bởi công thức $y_n= \sum\limits_{i=1}^{n}2^i x_i$, $\forall n \in \mathbb N^*$. Tìm công thức tổng quát của dãy $\{y_n\}$.
4. Cho các số nguyên $a,b,c$ khác $0$ thoả mãn $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+ \dfrac{c}{a} \in \mathbb Z$, $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \in \mathbb Z$. Chứng minh rằng $$\dfrac{3a^4}{b^2}+\dfrac{2b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}-4|a|-3|b|-2|c| \ge 0$$
5. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho $9$ điểm có toạ độ là các số nguyên, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có $3$ đỉnh là $3$ trong $9$ điểm trên có diện tích là một số chẵn.
6. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong tại điểm $K$, $(O')$ nằm trong $(O)$. Điểm $A$ nằm trên $(O)$ sao cho ba điểm $A$, $O$, $O'$ ko thẳng hàng. Các tiếp tuyến $AD$ và $AE$ của $(O')$ cắt $(O)$ lần lượt tại $B$ và $C$ ($D$, $E$ là các tiếp điểm). Đường thẳng $AO'$ cắt $(O)$ tại $F$. Chứng minh rằng các đường thẳng $BC$, $DE$, $FK$ đồng quy.
7. Cho $n \ge 2$, $n \in \mathbb N$. Kí hiệu $A=\{1,2,...,n\}$. Tập con $B$ của tập $A$ được gọi là tập "tốt" nếu $B$ khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của $B$ là số nguyên. Gọi $T_n$ là số các tập tốt của tập $A$. Chứng minh rằng $T_n-n$ là số chẵn.
8. Giải phương trình $$16x^3-24x^2+12x-3=\sqrt[3]{x}$$
9. Tìm tất cả các số nguyên $a,b,c$ thoả mãn điều kiện $1<a<b<c$ và $abc$ chia hết cho $(a-1)(b-1)(c-1)$
10. Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực thay đổi thoả mãn $(x+y)c-(a+b)z=\sqrt{6}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$F=a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+z^2+ax+by+cz$$
11. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb R \to \mathbb R$ sao cho $$f(x+\cos (2009y))=f(x)+2009\cos (f(y)),\,\forall x,y \in \mathbb R$$
12. Cho tam giác $ABC$ thay đổi. Gọi $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Xác định giá trị nhỏ nhất của số $k$ sao cho $\dfrac{OH}{R} < k$.
13. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp. $M$ và $ N$ là các điểm lần lượt thay đổi trên các cạnh $AB$ và $CD$ sao cho $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{NC}{ND}$. Điểm $P$ thay đổi trên đoạn thẳng $MN$ sao cho $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AB}{CD}$. Chứng minh rằng tỷ số diện tích của hai tam giác $PAD$ và $PBC$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$ và $N$.
14. Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên dương đồng thời thoả mãn hai điều kiện sau
    • tồn tại hai phần tử $x,y \in S$ sao cho $(x,y)=1$,
    • với bất kỳ $a,b \in S$ thì $a+b \in S$.
    Gọi $T$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương ko thuộc $S$. Chứng minh rằng số phần tử của $T$ là hữu hạn và không nhỏ hơn $\sqrt{s(T)}$, trong đó $s(T)$ là tổng các phần tử của tập $T$ (nếu $T= \phi$ thì $s(T)=0$).