Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Đồng Nai Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2017-2018

1. Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi $${x_1} = a > 0,\quad {x_{n + 1}} = {x_n} + \frac{n}{{{x_n}}},\,\forall n\in\mathbb N^*.$$ a) Chứng minh rằng ${x_n} \ge n$ với mọi $n \ge 2$.
   b) Chứng minh rằng dãy $\left( {\dfrac{{{x_n}}}{n}} \right)$ có giới hạn hữa hạn và tìm giới hạn đó.
2. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn $$f\left( {xf\left( y \right) - f\left( x \right)} \right) = f\left( {xy} \right) - xy,\,\forall x,y \in \mathbb R$$
3. Cho tam giác $ABC$. Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác cân $ABP$ và $ACQ$ sao cho $AB = AP$, $AC = AQ$, $\angle BAP = \angle CAQ = {30^0}$. Các đường thẳng $BQ$ và $CP$ cắt nhau tại $R$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCR$.
   a) Tính số đó góc $\angle BOC$.
   b) Chứng minh rằng các đường thẳng $OA$ và $PQ$ vuông góc với nhau.
4. Cho hai đa thức $$\begin{align}P\left( x \right) &= {x^5} + 5{x^4} + 5{x^3} + 5{x^2} + 1 \\ Q\left( x \right) &= {x^5} + 5{x^4} + 3{x^3} - 5{x^2} - 1\end{align}.$$ Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $x$ $(0 \le x < p)$ sao cho cả $P(x)$ và $Q(x)$ đều chia hết cho $p$ và tìm các số $x$ đó.
5. Cho $P = \left\{ {{P_1},{P_2},.....,{P_{2017}}} \right\}$ là tập hợp gồm $2017$ điểm phân biệt nằm trong hình tròn tâm ${P_1}$ bán kính bằng $1$. Với mỗi đặt là khoảng cách nhỏ nhất từ đến một điểm của $P$ (khác $P_k$). Chứng minh rằng $$x_1^2 + x_2^2 + ...... + x_{2017}^2 \le 9$$
6. Tìm tất cả các hàm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ thỏa mãn $$f(x^2 - 2yf(x)) + f(y^2) = f^2 (x - y),\,\forall x, y \in\mathbb R.$$
7. Gọi $O$, $I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ABC$ không đều. Chứng minh rằng $$\angle AIO \leq 90^\circ \Leftrightarrow 2BC \leq AB + AC.$$
8. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho với $n$ số nguyên dương $a_1, a_2, ..., a_n$ đôi một khác nhau, luôn tồn tại hai chỉ số $i, j \in\{1, 2, 3, .., n\}$ để $a_i + a_j \geq 2017(a_i, a_j)$, với $(a, b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a$, $b$.