Đề Thi Chọn Đội Tuyển Moldova Tham Dự IMO 2014

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $(x,y)$ sao cho $$\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$$
2. Cho $a,b\in\mathbb{R}_+$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$E(a,b)=3\sqrt{1+2a^2}+2\sqrt{40+9b^2}.$$
3. Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn có $AD$ là tia phân giác trong $\widehat{BAC}$ với $D\in BC$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ tới $AB$ và $AC$. Giả sử $BF\cap CE=K$ và $\odot AKE\cap BF=L$. Chứng minh rằng $DL\perp BF$.
4. Kí hiệu $p(n)$ là tích tất cả các chữ số khác $0$ của $n$. Chẳng hạn, $p(5)=5$, $p(27)=14$, $p(101)=1$. Tìm ước nguyên tố lớn nhất của $$p(1)+p(2)+p(3)+...+p(999). $$
5. Cho $n$ $(n \geq 2)$ số nguyên dương $0<x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$, thỏa mãn $$x_1 + x_2 + ... + x_n = 1.$$ Chứng minh rằng nếu $x_n \leq \dfrac{2}{3}$ thì tồn tại số nguyên dương $1 \leq k \leq n$ sao cho $$\dfrac{1}{3} \leq x_1+x_2+...+x_k < \dfrac{2}{3}. $$
6. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$E(a,b,c) =\dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)}.$$
7. Cho $ABCD$ là tứ giác toàn phần. Tia phân giác các góc $\widehat{BAD}$ và $\widehat{BCD}$ cắt nhau tại $K$ sao cho $K \in BD$. Gọi $M$ là trung điểm $BD$. Một đường thẳng đi qua $C$ và song song với $AD$, cắt $AM$ tại $P$. Chứng minh rằng $\triangle DPC$ cân.
8. Cho $n$ $(n \geq 2)$ điểm phân biệt $A_1,A_2,...,A_n$ trên mặt phẳng. Tô màu các trung điểm của các đoạn thẳng tạo bởi mỗi cặp điểm bằng màu đỏ. Có ít nhất bao nhiêu điểm màu đỏ phân biệt?.
9. Chứng minh rằng không tồn tại $4$ điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong đó là một số nguyên lẻ
10. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy,\,\forall  x,y \in \mathbb{R}$$
11. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{A}$ nhọn. Gọi $P$ là điểm nằm trong $\triangle ABC$ sao cho $\widehat{BAP} = \widehat{ACP}$ và $\widehat{CAP} =\widehat{ABP}$. Đặt $M$, $N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABP$, $ACP$, và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{R}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AP}. $$
12. Người ta viết lên một đường tròn $n (n \geq 1)$ số thực sao cho tổng của chúng bằng $n-1$. Chứng minh rằng có thể chọn các số $x_1, x_2, ..., x_n$ liên tiếp bắt đầu từ một số nào đó và theo chiều kim đồng hồ sao cho với bất kì số $k (1\leq k \leq n)$, ta có $$x_1 + x_2+...+x_k \geq k-1$$