Đề Thi Chọn Đội Tuyển Albania Tham Dự Olympic Toán Balkan 2014

1. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi $n \geq 2$ $$\frac{1}{n+1} \left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1} \right) > \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n}\right)$$
2. Giải phương trình $$ \left( x-\frac{1}{x} \right)^\frac{1}{2} + \left( 1-\frac{1}{x} \right)^\frac{1}{2}=x $$
3. Từ một điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $\omega$, vẽ tiếp tuyến $PA$ và $PB$ với $A$, $B$ là tiếp điểm. Từ điểm $M$ bất kì trên dây cung $AB$, ta vẽ đường vuông góc với $OM$, đường thẳng này cắt $PA$, $PB$ lần lượt tại $C$, $D$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $CD$.
4. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f(x)f(y)=f(x+y)+xy, \,\forall x, y \in \mathbb{R} $$
5. Tìm tất cả các số nguyên không âm $k$, $n$ thỏa mãn $$ 2^{2k+1}+9.2^k+5=n^2 $$