$show=home$type=carousel$sn=0$cols=4$va=0$count=20$sr=random

[Ian Stewart] 17 Phương Trình Thay Đổi Thế Giới

Toán học có thể được nhìn thấy ở mọi nơi xung quanh chúng ta. Nó là công cụ đắc lực nhất giúp con người hình thành nên hiểu biết về thế giới và vũ trụ. Trong toán học, những gì tinh túy nhất được kết tinh lại thành những phương trình. Phương trình càng đơn giản bao nhiêu, nó càng được gọi là “đẹp” bấy nhiêu. Trong vô vàn những phương trình đó, có những phương trình mang sức mạnh có thể thay đổi cả thế giới.

Nếu bạn không tin một dòng chữ số lộn xộn có thể làm được điều đó, dưới đây là những ví dụ dành cho bạn. $17$ phương trình thay đổi thế giới này được Ian Stewart, một khoa học gia, đề xuất trong cuốn sách cùng tên của mình xuất bản năm $2013$.

1. Định lý Pitago $$a^2+b^2=c^2$$

Phương trình này đã trở thành nền tảng cho hiểu biết của nhân loại về hình học. Nó mô tả mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông trên mặt phẳng. Theo đó, tổng bình phương của độ dài hai cạnh góc vuông chính bằng bình phương độ dài cạnh huyền.

Mối quan hệ này được sử dụng để phân biệt hình học phẳng Euclide bình thường mà bạn học trong trường phổ thông với hình học phi Euclide. Ví dụ, một tam giác vuông khổng lồ được vẽ trên bề mặt Trái Đất sẽ không tuân theo định lý Pitago. Lí do bởi bề mặt Trái Đất không phẳng, nó là mặt hình cầu.

2. Logarit $$\log xy = \log x + \log y$$

Logarit là nghịch đảo của hàm mũ. Một Logarit cho bạn biết số mũ để nâng một cơ số trong hàm mũ để đạt được giá trị xác định. Ví dụ, Logarit cơ số $10$ của $1$ kí hiệu là $\log (1) = 0$ vì $1 = 100$, $\log (10) = 1$ vì $10 = 101$, $\log (100) = 2$ vì $100 =102$.

Phương trình trên đây thể hiện một trong những ứng dụng hữu ích nhất của Logarit, nó chuyển phép nhân thành phép cộng. Trước khi máy tính kỹ thuật số phát triển, đây là cách phổ biến nhất cho các nhà khoa học nhân hai số cực lớn với nhau. Nó giúp tăng tốc tính toán trong vật lý, thiên văn học và kỹ thuật. Nếu không có phương trình này, có lẽ thế giới sẽ phát triển chậm đi hàng thế kỷ.

3. Vi tích phân $$\frac{df}{dt}=\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$

Công thức trên thể hiện định nghĩa của đạo hàm trong vi tích phân. Đạo hàm thể hiện tốc độ mà một đại lượng đang thay đổi. Ví dụ đơn giản, bạn có thể đã biết vận tốc là đạo hàm của vị trí. Nó thể hiện sự thay đổi vị trí nhanh hay chậm. Nếu bạn đang đi bộ với tốc độ $5 km/h$, sau mỗi giờ bạn sẽ thay đổi vị trí của mình trên quãng đường $5 km$.

Điều này là đặc biệt quan trọng bởi các nhà khoa học luôn quan tâm đến làm thế nào mọi thứ và đại lượng thay đổi. Đạo hàm cùng với tích phân tạo nền tảng cho giải tích, hỗ trợ đắc lực cho các nhà khoa học hiểu và đo lường sự thay đổi.

4. Định luật vạn vật hấp dẫn $$F=G\frac{m_1 m_2}{d^2}$$

Phương trình trên mô tả lực hấp dẫn giữa hai vật, $F$. Trong đó $G$ là một hằng số vũ trụ, khối lượng của hai vật lần lượt là $m_1$ và $m_2$. Khoảng cách giữa hai đối tượng là $d$.

Định luật của Newton là một nền tảng đáng ghi nhận trong lịch sử khoa học. Nó giúp con người giải thích một cách hoàn hảo sự di chuyển của các hành tinh. Tính chất phổ quát của phương trình này trải dài từ các hiện tượng trên Trái Đất, trong Hệ Mặt Trời tới bất kì đâu trong vũ trụ.

Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton đã đứng vững trong suốt $200$ năm cho đến khi nó bị thay thế bởi thuyết tương đối rộng của Einstein.

5. Căn bậc hai của $-1$ $$i^2=1$$

Các nhà toán học liên tục muốn mở rộng tập hợp số của họ. Càng nhiều số, toán học càng có thể mô tả nhiều hơn. Mỗi lần mở rộng một được tập hợp số, sức mạnh của toán học đều tăng lên đáng kể. Trên thực tế, tập hợp số đã bắt đầu đi từ số tự nhiên, thêm vào đó số âm, phân số và số thực. Căn bậc hai của -1, thường được kí hiệu là i, hoàn tất tập hợp số bằng cách tạo ra các số phức.

Về mặt toán học, số phức vô cùng “thanh lịch”. Đại số sẽ hoạt động một cách hoàn hảo nếu có sự góp mặt của số phức. Điều đó có nghĩa là bất kể một phương trình nào cũng sẽ có nghiệm. Trước đó, người ta đã không thể tìm nghiệm cho phương trình dạng $x^2 + 4 = 0$. Nó sẽ được kết luận là vô nghiệm nếu giải trên tập số thực. Tuy nhiên, nó lại có nghiệm phức: căn của $-2$.

Vi tích phân cũng có thể mở rộng đến các số phức. Bằng cách đó, toán học tìm thấy sự đối xứng tuyệt vời và tính chất của những con số này. Những đặc tính khiến số phức góp phần lớn vào nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như điện tử, xử lí tín hiệu, điện từ học, cơ học lượng tử...

6. Đặc trưng Euler $$F-E+V=2$$

Khối đa diện là phiên bản $3$ chiều của một đa giác. Một đa diện sẽ có các đỉnh và góc. Các đường kết nối các đỉnh là cạnh và diện tích bên ngoài bao phủ khối đa diện là các mặt của nó.

Bây giờ nếu một khối đa diện có $8$ đỉnh, $12$ cạnh và $6$ mặt. Nếu bạn cộng số đỉnh với số mặt rồi trừ đi số cạnh bạn sẽ nhận được kết quả bằng $2$: $8 + 6 -12 =2$.

Công thức Euler nói rằng miễn là đa diện của bạn tồn tại, phép tính trên luôn cho kết quả bằng $2$ cho dù nó có $4$, $8$, $12$, $20$ hay bất kì bao nhiêu mặt.

7. Phân phối chuẩn $$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Phân phối chuẩn, hay còn gọi là phân phối Gauss, là một phân phối xác suất cực kì quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Bạn sẽ nhìn thấy chúng là những đường cong hình chuông quen thuộc và phổ biến trong thống kê.

Đường cong chuẩn được sử dụng trong vật lý, sinh học và các ngành khoa học xã hội để mô hình các thuộc tính đa dạng. Một trong những lí do khiến đường cong này trở nên phổ biến bởi nó mô tả hành vi của các nhóm lớn nhiều quy trình độc lập.

8. Phương trình sóng $$\frac{d^2z}{d^2t}=c^2\frac{d^2z}{d^2x}$$

Đây là một phương trình vi phân riêng phần tuyến tính bậc hai mô tả các sóng trong vật lý. Các sóng được mô tả có thể từ sự rung của dây đàn guitar, gợn nước trong hồ sau khi ném một hòn đá cho đến ánh sáng phát ra từ một bóng đèn sợi đốt.

Phương trình sóng là một phương trình vi phân sớm. Các kỹ thuật được phát triển cho phương trình này mở rộng sự hiểu biết của chúng ta tới các phương trình khác.

9. Biến đổi Fourier $$\hat{f}(\zeta)=\int_{-\infty}{\infty}f(x)e^{-2i\pi\zeta}$$

Biến đổi Fourier là công cụ cần thiết để con người hiểu được những cấu trúc sóng phức tạp hơn, ví dụ như lời nói của chúng ta. Nếu bạn có một tập hợp sóng phức tạp và lộn xộn như một bản ghi âm hai người đang nói chuyện, biến đổi Fourier sẽ cho phép sắp xếp lại chúng thành tập hợp những sóng đơn giản. Nhờ đó, việc phân tích sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xử lí tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, quang học, hình học...

10. Hệ phương trình Navier-Stokes $$\frac{\partial \textbf{u}}{\partial t} + (\textbf{u}\cdot\nabla)\textbf{u}=-\nabla p + \nu\nabla^{2}\textbf{u}$$

Giống như phương trình sóng, đây là một phương trình vi phân. Nó miêu tả dòng chảy của chất lỏng, chất khí, gọi chung là chất lưu. Ví dụ, phương trình Navier-Stokes có thể được sử dụng cho dòng nước chảy trong ống, lưu lượng khí trên cánh máy bay hay đơn giản là khói tỏa ra từ một điếu thuốc.

Có một điều rất thú vị với phương trình Navier-Stokes, mặc dù được đưa ra từ năm $1822$ và đã được khai thác gần $2$ thế kỷ, phương trình này vẫn tồn tại những khía cạnh mà chưa một nhà toán học nào có thể giải đáp. Viện toán học Clay đã đưa phương trình Navier-Stokes vào danh sách “Bảy vấn đề quan trọng nhất trong toán học còn bỏ ngỏ”. Họ treo một giải thưởng $1$ triệu USD cho ai giải quyết được nó.

11. Phương trình Maxwell $$\begin{eqnarray} \nabla\times{\bf E} &=& \frac{\partial{\bf B}}{\partial t} \\ \nabla\cdot(\nabla\times{\bf E}) &=& \nabla\cdot\left(\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}\right) \\ 0 &=& \frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot {\bf B}) \end{eqnarray}$$

Hệ phương trình Maxwell gồm $4$ phương trình vi phân mô tả hành vi và mối quan hệ của điện trường $(E)$ và từ trường $(H)$, gọi chung là trường điện từ.

Giống với định luật Vạn vật hấp dẫn của Newton thuộc cơ học cổ điển, hệ phương trình Maxwell cũng chỉ có thể mô tả trường điện từ ở một quy mô lớn. Nó có thể giải thích cách mà dòng điện hàng ngày của chúng ta hoạt động.

Mọi thứ thuộc về cơ học cổ điển cũng như điện từ cổ điển sẽ thất bại khi mô tả những hiện tượng ở thế giới vi mô, nơi chúng ta cần đến vật lý hiện đại. Ngày nay, cơ học lượng tử với lý thuyết của nó về điện từ trường đã có thể thay thế phương trình Maxwell. Mặc dù vậy, nó vẫn có thể được sử dụng trong những tính toán gần đúng hàng ngày.

12. Định luật thứ hai của nhiệt động lực học $$dS\geq 0$$

Nguyên lý này khẳng định rằng trong một hệ khép kín, entropy (hiểu một cách đơn giản là sự hỗn loạn) chỉ có thể giữ nguyên hoặc tăng lên. Nghe có vẻ đơn giản nhưng nó chính là một hòn đá tảng chặn đường chúng ta đến với tương lai của những thiết bị viễn tưởng.

Định luật hai nhiệt động học có thể được sử dụng để dự đoán số phận vũ trụ. Nó giải thích cho sự hỗn loạn của vũ trụ từ sau vụ nổ Big Bang và dẫn đến “cái chết nhiệt” của nó, khi vạn vật cân bằng trên một trạng thái nhiệt độ.

Ví dụ gần gũi hơn trong đời sống, định luật hai nhiệt động lực học là lời giải thích cho câu hỏi tại sao nhiệt chỉ có thể truyền từ vật nóng sang vật lạnh mà không có chiều ngược lại. Khi bạn bỏ đá vào tách cà phê nóng, đá tan và cà phê nguội đi.

Định luật hai nhiệt động học là lí do câu hỏi tại sao không phải viên đá sẽ đóng băng tách cà phê. Nó cũng là chiếc búa to lớn có thể đập tan mọi ý tưởng dẫn đến một động cơ vĩnh cửu.

Bên cạnh đó, định luật thứ hai nhiệt động học là một trong số ít định luật vật lý không cho phép tồn tại dòng chảy ngược lại của thời gian. Trong khi nhiều nhà khoa học đang cố gắng chứng minh thời gian có một chiều ngược lại bởi không một định luật cơ bản nào của vật lý hiện đại chi phối trạng thái vũ trụ, khiến thời gian nhất thiết cứ phải trôi về phía trước. Họ luôn vấp phải “hòn đá thứ hai” của nhiệt động lực học.

Mặc dù đã có những lý thuyết gần đây được đưa ra nhằm gạt bỏ vai trò của định luật thứ hai nhiệt động học trong xác định chiều thời gian, chúng vẫn chưa thể được hoàn thiện và chứng minh.

13. Sự tương đương của khối lượng và năng lượng $$E=mc^2$$

Hãy nhìn vào phương trình cực kỳ đơn giản này: $E=mc^2$. Nó được Einstein đưa ra vào năm $1905$ trong một bài báo khoa học với tiêu đề “Quán tính của một vật có phụ thuộc vào năng lượng trong nó không?”.

Như đã nói, một phương trình càng đơn giản bao nhiêu nó càng đẹp bấy nhiêu. Phương trình E=mc2 được mệnh danh là công thức không thể nổi tiếng hơn. Dòng chữ ngắn gọn này mang một sức mạnh khủng khiếp, mở đầu cho những ý tưởng về năng lượng nguyên tử.

Theo đó, Einstein chứng minh năng lượng và khối lượng vốn chỉ là một. Chúng ở hai trạng thái khác nhau và khối lượng chính là dạng “đặc lại” của năng lượng. Chỉ cần nửa cân bất kỳ chất gì cũng đang chứa trong nó năng lượng tương đương vụ nổ của hơn $7$ triệu tấn thuốc nổ TNT.

Phương trình $E=mc^2$ giải thích tại sao Uranium lại có thể liên tiếp, trong hàng triệu năm, bắn ra những tia li ti chạy với tốc độ khủng khiếp, tại sao mặt trời và các ngôi sao có thể tuôn ánh sáng và sức nóng trong hàng tỷ tỷ năm. Nó còn cho chúng ta thấy năng lượng ghê gớm chứa trong nhân nguyên tử và tiên đoán chỉ cần một lượng rất nhỏ Uranium cũng đủ tạo ra một trái bom có sức công phá hủy diệt cả một thành phố.

14. Phương trình Schorodinger $$\frac{\partial}{\partial t}\vert\Psi(\mathbf{r},t)\rangle = \hat H\vert\Psi(\mathbf{r},t)\rangle$$

Đây là một phương trình nền tảng của cơ học lưởng tử. Trong khi thuyết tương đối rộng giải thích vũ trụ và các hiện tượng ở quy mô cực lớn, phương trình Schrodinger miêu tả hành vi của các nguyên tử và hạt hạ nguyên tử. Hiểu được thế giới nhỏ bé này quan trọng và vĩ đại chẳng khác nào cách chúng ta hiểu về vũ trụ.

Phương trình Schrodinger mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian. Nó có thể được sử dụng để thay thế cho định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển. Phương trình Schrodinger là một trụ cột trong cơ học lượng tử còn cơ học lượng tử là nền tảng của năng lượng hạt nhân, công nghiệp bán dẫn, máy tính, laser...

Cũng phải nói rằng cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng là hai lý thuyết khoa học thành công nhất trong lịch sử nhân loại. Tất cả quan sát về mọi hiện tượng của chúng ta ngày nay đều phù hợp với dự đoán của hai lý thuyết này.

15. Lý thuyết thông tin $$H=-\sum p(x)\log p(x)$$

Phương trình này được dùng để mô tả entropy thông tin. Nó là một khái niệm mở rộng của entropy trong nhiệt động lực học đã nói phía trên.

Entropy thông tin mô tả mức độ hỗn loạn trong một tín hiệu, nó chỉ ra có bao nhiêu thông tin trong tín hiệu, có thể là của một cuốn sách, một dòng chữ hay một bức ảnh JPEG đăng trên mạng xã hội.

Entropy thông tin cho ta biết được chúng ta có thể nén một nội dung xuống mức độ bao nhiêu mà không mất đi ý nghĩa của nó. Đo entropy thông tin là tiền đề của nghiên cứu toán tin, mở ra cách mà chúng ta có thể kết nối và giao tiếp thông qua mạng internet ngày nay.

16. Lý thuyết hỗn loạn $$X_{t+1}=kx_t (1-x_t)$$

Phương trình này được gọi là bản đồ Logistic. Nó được về xuất và phổ biến từ những năm 1976 bởi nhà sinh vật học Robert May, mô tả quá trình thay đổi theo thời gian của một đại lượng.

Nếu bạn để ý vào phương trình này, vế trái của nó thể hiện trạng thái tiếp theo của đại lượng x, nó phụ thuộc vào đại lượng x hiện tại và một hằng số k chọn trước. Đối với một số giá trị của k, phương trình cho thấy hành vi hỗn loạn.

Nghĩa là nếu chúng ta bắt đầu từ 1 giá trị x, quá trình này sẽ phát triển theo một cách. Nhưng nếu chọn một giá trị khởi điểm cho dù rất gần x, nó cũng phát triển theo một cách rất khác.

Đó gọi là sự nhạy cảm của hành vi hỗn loạn với điều kiện ban đầu. Rất nhiều lĩnh vực có thể phải sử dụng mô hình này, ví dụ đơn giản như thời tiết. Một sự thay đổi dù nhỏ trong khí quyển cũng có thể dẫn đến một loạt các hiện tượng thời tiết phức tạp vài ngày sau đó.

Thậm chí một hiệu ứng nổi tiếng mang tên “Hiệu ứng cánh bướm” đã được đề xuất nói rằng một con bướm vỗ cánh ở lục địa này hoàn toàn có thể gây ra một cơn bão phía bên kia lục địa khác. Nó dần đi vào văn hóa đương đại và trong các tác phẩm có đề cập tới quan hệ nhân quả.

17. Phương trình Black-Scholes $$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0$$

Chúng ta lại gặp một phương trình vi phân ở đây. Black-Scholes là phương trình mô tả cách các chuyên gia tài chính và nhà đầu tư định giá cho chứng khoán phái sinh. Hiểu một cách đơn giản nó là một phần quan trọng của hệ thống tài chính hiện đại, với nhiều vai trò khác nhau như phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận hoặc tạo lợi nhuận.

Phương trình Black-Scholes cho phép những chuyên gia tài chính tính toán giá trị của các sản phẩm tài chính, dựa trên đặc tính phái sinh và các tài sản cơ sở.

KỶ YẾU_$type=three$cl=green$c=3$h=1$sr=random$l=0$t=oot$m=0$rm=0

Name

Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,An Giang,31,Andrew Wiles,1,Anh,2,APMO,21,Austria (Áo),1,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,69,Bắc Bộ,2,Bắc Giang,59,Bắc Kạn,2,Bạc Liêu,13,Bắc Ninh,58,Bắc Trung Bộ,3,Bài Toán Hay,5,Balkan,40,Baltic Way,32,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,68,Bến Tre,65,Benelux,15,Bình Định,58,Bình Dương,32,Bình Phước,45,Bình Thuận,38,Birch,1,BMO,40,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,British,16,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,14,Cà Mau,20,Cần Thơ,21,Canada,40,Cao Bằng,11,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,3,CGMO,11,China - Trung Quốc,25,Chọn Đội Tuyển,439,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên SPHCM,7,Chuyên SPHN,26,Chuyên Trần Hưng Đạo,2,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,665,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,47,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,68,Đắk Nông,10,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1976,Đề Thi JMO,1,DHBB,28,Điện Biên,9,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,5,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,61,Đồng Tháp,62,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Dương Quỳnh Châu,1,Duyên Hải Bắc Bộ,28,E-Book,31,EGMO,29,ELMO,19,EMC,10,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,29,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,14,GGTH,29,Gia Lai,36,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,4,Hà Lan,1,Hà Nam,35,Hà Nội,253,Hà Tĩnh,83,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,61,Hải Phòng,49,Hậu Giang,6,Hậu Lộc,1,Hilbert,2,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,21,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,110,HSG 10 2015-2016,1,HSG 10 2021-2022,1,HSG 10 2022-2023,1,HSG 10 Bà Rịa Vũng Tàu,2,HSG 10 Bắc Giang,1,HSG 10 Bạc Liêu,2,HSG 10 Bắc Ninh,3,HSG 10 Bình Định,1,HSG 10 Bình Dương,1,HSG 10 Bình Thuận,3,HSG 10 Chuyên SPHN,4,HSG 10 Đắk Lắk,2,HSG 10 Đồng Nai,4,HSG 10 Gia Lai,2,HSG 10 Hà Nam,3,HSG 10 Hà Tĩnh,13,HSG 10 Hải Dương,8,HSG 10 KHTN,9,HSG 10 Kon Tum,1,HSG 10 Nghệ An,1,HSG 10 Ninh Thuận,1,HSG 10 Phú Yên,2,HSG 10 Quảng Trị,2,HSG 10 Thái Nguyên,8,HSG 10 Thanh Hóa,1,HSG 10 Trà Vinh,5,HSG 10 Vĩnh Phúc,14,HSG 11,111,HSG 11 2011-2012,1,HSG 11 2012-2013,1,HSG 11 2018-2019,1,HSG 11 Bà Rịa Vũng Tàu,1,HSG 11 Bắc Giang,4,HSG 11 Bạc Liêu,2,HSG 11 Bắc Ninh,4,HSG 11 Bình Định,11,HSG 11 Bình Dương,3,HSG 11 Bình Thuận,1,HSG 11 Cà Mau,1,HSG 11 Đà Nẵng,9,HSG 11 Đồng Nai,1,HSG 11 Hà Nam,1,HSG 11 Hà Tĩnh,10,HSG 11 Hải Phòng,1,HSG 11 Kiên Giang,4,HSG 11 Lạng Sơn,11,HSG 11 Nghệ An,6,HSG 11 Ninh Bình,2,HSG 11 Quảng Bình,7,HSG 11 Quảng Ngãi,8,HSG 11 Quảng Trị,3,HSG 11 Sóc Trăng,1,HSG 11 Thái Nguyên,8,HSG 11 Thanh Hóa,4,HSG 11 Trà Vinh,1,HSG 11 Tuyên Quang,1,HSG 11 Vĩnh Long,2,HSG 11 Vĩnh Phúc,10,HSG 12,567,HSG 12 2009-2010,1,HSG 12 2010-2011,38,HSG 12 2011-2012,43,HSG 12 2012-2013,57,HSG 12 2013-2014,52,HSG 12 2014-2015,42,HSG 12 2015-2016,33,HSG 12 2016-2017,46,HSG 12 2017-2018,58,HSG 12 2018-2019,42,HSG 12 2019-2020,41,HSG 12 2020-2021,42,HSG 12 2021-2022,32,HSG 12 2022-2023,1,HSG 12 An Giang,7,HSG 12 Bà Rịa Vũng Tàu,10,HSG 12 Bắc Giang,17,HSG 12 Bạc Liêu,2,HSG 12 Bắc Ninh,13,HSG 12 Bến Tre,16,HSG 12 Bình Định,14,HSG 12 Bình Dương,6,HSG 12 Bình Phước,8,HSG 12 Bình Thuận,7,HSG 12 Cà Mau,8,HSG 12 Cần Thơ,7,HSG 12 Cao Bằng,5,HSG 12 Chuyên SPHN,9,HSG 12 Đà Nẵng,3,HSG 12 Đắk Lắk,20,HSG 12 Đắk Nông,1,HSG 12 Đồng Nai,20,HSG 12 Đồng Tháp,18,HSG 12 Gia Lai,12,HSG 12 Hà Nam,3,HSG 12 Hà Nội,14,HSG 12 Hà Tĩnh,15,HSG 12 Hải Dương,13,HSG 12 Hải Phòng,17,HSG 12 Hòa Bình,1,HSG 12 Hưng Yên,9,HSG 12 Khánh Hòa,2,HSG 12 KHTN,24,HSG 12 Kiên Giang,11,HSG 12 Kon Tum,1,HSG 12 Lâm Đồng,9,HSG 12 Lạng Sơn,7,HSG 12 Lào Cai,16,HSG 12 Long An,17,HSG 12 Nam Định,7,HSG 12 Nghệ An,11,HSG 12 Ninh Bình,10,HSG 12 Ninh Thuận,6,HSG 12 Phú Thọ,8,HSG 12 Phú Yên,10,HSG 12 Quảng Bình,12,HSG 12 Quảng Nam,9,HSG 12 Quảng Ngãi,5,HSG 12 Quảng Ninh,19,HSG 12 Quảng Trị,7,HSG 12 Sóc Trăng,4,HSG 12 Sơn La,4,HSG 12 Tây Ninh,6,HSG 12 Thái Nguyên,12,HSG 12 Thanh Hóa,17,HSG 12 Thừa Thiên Huế,15,HSG 12 Tiền Giang,2,HSG 12 TPHCM,12,HSG 12 Tuyên Quang,2,HSG 12 Vĩnh Long,6,HSG 12 Vĩnh Phúc,22,HSG 9,494,HSG 9 2009-2010,1,HSG 9 2010-2011,21,HSG 9 2011-2012,44,HSG 9 2012-2013,44,HSG 9 2013-2014,35,HSG 9 2014-2015,40,HSG 9 2015-2016,39,HSG 9 2016-2017,40,HSG 9 2017-2018,47,HSG 9 2018-2019,39,HSG 9 2019-2020,17,HSG 9 2020-2021,53,HSG 9 2021-2022,35,HSG 9 2022-2023,1,HSG 9 An Giang,6,HSG 9 Bà Rịa Vũng Tàu,7,HSG 9 Bắc Giang,12,HSG 9 Bắc Ninh,12,HSG 9 Bến Tre,9,HSG 9 Bình Định,9,HSG 9 Bình Dương,5,HSG 9 Bình Phước,12,HSG 9 Bình Thuận,5,HSG 9 Cà Mau,1,HSG 9 Cao Bằng,1,HSG 9 Chuyên SPHN,2,HSG 9 Đà Nẵng,10,HSG 9 Đắk Lắk,10,HSG 9 Đắk Nông,1,HSG 9 Đồng Nai,7,HSG 9 Đồng Tháp,10,HSG 9 Gia Lai,8,HSG 9 Hà Giang,3,HSG 9 Hà Nam,8,HSG 9 Hà Nội,25,HSG 9 Hà Tĩnh,13,HSG 9 Hải Dương,14,HSG 9 Hải Phòng,7,HSG 9 Hậu Giang,3,HSG 9 Hòa Bình,3,HSG 9 Hưng Yên,9,HSG 9 Khánh Hòa,4,HSG 9 Kiên Giang,15,HSG 9 Kon Tum,7,HSG 9 Lâm Đồng,13,HSG 9 Lạng Sơn,8,HSG 9 Lào Cai,3,HSG 9 Long An,7,HSG 9 Nam Định,7,HSG 9 Nghệ An,16,HSG 9 Ninh Bình,10,HSG 9 Ninh Thuận,3,HSG 9 Phú Thọ,5,HSG 9 Phú Yên,8,HSG 9 Quảng Bình,12,HSG 9 Quảng Nam,11,HSG 9 Quảng Ngãi,10,HSG 9 Quảng Ninh,15,HSG 9 Quảng Trị,9,HSG 9 Sóc Trăng,7,HSG 9 Sơn La,3,HSG 9 Tây Ninh,15,HSG 9 Thái Nguyên,5,HSG 9 Thanh Hóa,16,HSG 9 Thừa Thiên Huế,8,HSG 9 Tiền Giang,6,HSG 9 TPHCM,10,HSG 9 Trà Vinh,2,HSG 9 Tuyên Quang,5,HSG 9 Vĩnh Long,10,HSG 9 Vĩnh Phúc,11,HSG Cấp Trường,80,HSG Quốc Gia,109,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,38,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,57,IMT,2,India - Ấn Độ,47,Inequality,13,InMC,1,International,340,Iran,13,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,30,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,24,KHTN,59,Kiên Giang,69,Kim Liên,1,Kon Tum,19,Korea - Hàn Quốc,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,45,Lai Châu,7,Lâm Đồng,41,Lăng Hồng Nguyệt Anh,1,Lạng Sơn,33,Langlands,1,Lào Cai,32,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Hồng Phong,5,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,2,Leibniz,1,Long An,46,Lớp 10 Chuyên,641,Lớp 10 Không Chuyên,341,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lưu Lý Tưởng,1,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,12,Menelaus,1,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,MYTS,4,Nam Định,43,Nam Phi,1,National,275,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,65,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Minh Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,9,Nguyễn Nhất Huy,1,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,2,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Song Thiên Long,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,54,Ninh Thuận,23,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,21,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,124,Olympic 10/3,5,Olympic 10/3 Đắk Lắk,5,Olympic 11,116,Olympic 12,48,Olympic 23/3,2,Olympic 24/3,10,Olympic 24/3 Quảng Nam,10,Olympic 27/4,22,Olympic 30/4,57,Olympic KHTN,7,Olympic Sinh Viên,75,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,327,Olympic Toán Sơ Cấp,3,Ôn Thi 10,2,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Quang Đạt,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,35,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,50,Putnam,27,Quảng Bình,53,Quảng Nam,50,Quảng Ngãi,40,Quảng Ninh,53,Quảng Trị,35,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,13,RMO,24,Romania,37,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,70,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia - Ả Rập Xê Út,8,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,28,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,28,Sóc Trăng,30,Sơn La,16,Spain,8,Star Education,1,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,17,Tập San,3,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,34,Thạch Hà,1,Thái Bình,42,Thái Nguyên,55,Thái Vân,2,Thanh Hóa,70,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,16,THTT,6,Thừa Thiên Huế,48,Tiền Giang,26,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,141,Trà Vinh,9,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,36,Trại Hè Hùng Vương,28,Trại Hè Phương Nam,7,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,10,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trường Đông,20,Trường Hè,8,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,468,TST 2008-2009,1,TST 2010-2011,21,TST 2011-2012,23,TST 2012-2013,31,TST 2013-2014,29,TST 2014-2015,23,TST 2015-2016,25,TST 2016-2017,41,TST 2017-2018,41,TST 2018-2019,31,TST 2019-2020,36,TST 2020-2021,27,TST 2021-2022,33,TST 2022-2023,2,TST An Giang,6,TST Bà Rịa Vũng Tàu,10,TST Bắc Giang,5,TST Bắc Ninh,11,TST Bến Tre,7,TST Bình Định,4,TST Bình Dương,5,TST Bình Phước,7,TST Bình Thuận,8,TST Cà Mau,5,TST Cần Thơ,4,TST Cao Bằng,2,TST Đà Nẵng,8,TST Đắk Lắk,10,TST Đắk Nông,1,TST Đồng Nai,11,TST Đồng Tháp,12,TST Gia Lai,4,TST Hà Nam,6,TST Hà Nội,10,TST Hà Tĩnh,13,TST Hải Dương,10,TST Hải Phòng,11,TST Hòa Bình,2,TST Hưng Yên,8,TST Khánh Hòa,7,TST Kiên Giang,9,TST Kon Tum,6,TST Lâm Đồng,10,TST Lạng Sơn,2,TST Lào Cai,4,TST Long An,5,TST Nam Định,8,TST Nghệ An,7,TST Ninh Bình,11,TST Ninh Thuận,3,TST Phú Thọ,5,TST Phú Yên,4,TST PTNK,9,TST Quảng Bình,11,TST Quảng Nam,5,TST Quảng Ngãi,6,TST Quảng Ninh,7,TST Quảng Trị,8,TST Sóc Trăng,3,TST Sơn La,6,TST Thái Nguyên,6,TST Thanh Hóa,7,TST Thừa Thiên Huế,3,TST Tiền Giang,4,TST TPHCM,13,TST Trà Vinh,1,TST Vĩnh Long,5,TST Vĩnh Phúc,7,Tuyeenr Sinh 10 Tuyên Quang,2,Tuyên Quang,10,Tuyển Sinh,4,Tuyển Sinh 10,981,Tuyển Sinh 10 An Giang,12,Tuyển Sinh 10 Bà Rịa Vũng Tàu,21,Tuyển Sinh 10 Bắc Giang,19,Tuyển Sinh 10 Bạc Liêu,7,Tuyển Sinh 10 Bắc Ninh,15,Tuyển Sinh 10 Bến Tre,33,Tuyển Sinh 10 Bình Định,19,Tuyển Sinh 10 Bình Dương,12,Tuyển Sinh 10 Bình Phước,18,Tuyển Sinh 10 Bình Thuận,14,Tuyển Sinh 10 Cà Mau,5,Tuyển Sinh 10 Cần Thơ,8,Tuyển Sinh 10 Cao Bằng,2,Tuyển Sinh 10 Chuyên SPHN,15,Tuyển Sinh 10 Đà Nẵng,16,Tuyển Sinh 10 Đắk Lắk,20,Tuyển Sinh 10 Đắk Nông,5,Tuyển Sinh 10 Đồng Nai,18,Tuyển Sinh 10 Đồng Tháp,22,Tuyển Sinh 10 Gia Lai,9,Tuyển Sinh 10 Hà Giang,1,Tuyển Sinh 10 Hà Nam,14,Tuyển Sinh 10 Hà Nội,80,Tuyển Sinh 10 Hà Tĩnh,18,Tuyển Sinh 10 Hải Dương,16,Tuyển Sinh 10 Hải Phòng,13,Tuyển Sinh 10 Hậu Giang,3,Tuyển Sinh 10 Hòa Bình,15,Tuyển Sinh 10 Hưng Yên,12,Tuyển Sinh 10 Khánh Hòa,11,Tuyển Sinh 10 KHTN,19,Tuyển Sinh 10 Kiên Giang,30,Tuyển Sinh 10 Kon Tum,4,Tuyển Sinh 10 Lâm Đồng,9,Tuyển Sinh 10 Lạng Sơn,6,Tuyển Sinh 10 Lào Cai,9,Tuyển Sinh 10 Long An,17,Tuyển Sinh 10 Nam Định,21,Tuyển Sinh 10 Nghệ An,22,Tuyển Sinh 10 Ninh Bình,19,Tuyển Sinh 10 Ninh Thuận,10,Tuyển Sinh 10 Phú Thọ,7,Tuyển Sinh 10 Phú Yên,10,Tuyển Sinh 10 PTNK,35,Tuyển Sinh 10 Quảng Bình,10,Tuyển Sinh 10 Quảng Nam,15,Tuyển Sinh 10 Quảng Ngãi,11,Tuyển Sinh 10 Quảng Ninh,10,Tuyển Sinh 10 Quảng Trị,6,Tuyển Sinh 10 Sóc Trăng,15,Tuyển Sinh 10 Sơn La,3,Tuyển Sinh 10 Tây Ninh,13,Tuyển Sinh 10 Thái Nguyên,16,Tuyển Sinh 10 Thanh Hóa,24,Tuyển Sinh 10 Thừa Thiên Huế,22,Tuyển Sinh 10 Tiền Giang,14,Tuyển Sinh 10 TPHCM,23,Tuyển Sinh 10 Tuyên Quang,2,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Long,12,Tuyển Sinh 10 Vĩnh Phúc,19,Tuyển Sinh 2008-2009,1,Tuyển Sinh 2009-2010,1,Tuyển Sinh 2010-2011,6,Tuyển Sinh 2011-2012,20,Tuyển Sinh 2012-2013,63,Tuyển Sinh 2013-2014,78,Tuyển Sinh 2014-2015,78,Tuyển Sinh 2015-2016,60,Tuyển Sinh 2016-2017,72,Tuyển Sinh 2017-2018,126,Tuyển Sinh 2018-2019,57,Tuyển Sinh 2019-2020,69,Tuyển Sinh 2020-2021,58,Tuyển Sinh 2021-202,1,Tuyển Sinh 2021-2022,70,Tuyển Sinh 2022-2023,108,Tuyển Sinh Chuyên SPHCM,7,Tuyển Tập,45,Tuymaada,6,UK - Anh,16,Undergraduate,69,USA - Mỹ,62,USA TSTST,6,USAJMO,12,USATST,8,USEMO,4,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,3,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,28,Vĩnh Long,35,Vĩnh Phúc,83,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,50,VNTST,23,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,22,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,13,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad.NET: [Ian Stewart] 17 Phương Trình Thay Đổi Thế Giới
[Ian Stewart] 17 Phương Trình Thay Đổi Thế Giới
https://1.bp.blogspot.com/-LL3bH6oV-mY/WuM4SF9JwaI/AAAAAAAABDI/7SYRGHLq0Awwjj_FhXh0MP_31QYqyWBKwCLcBGAs/s1600/17equations.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-LL3bH6oV-mY/WuM4SF9JwaI/AAAAAAAABDI/7SYRGHLq0Awwjj_FhXh0MP_31QYqyWBKwCLcBGAs/s72-c/17equations.jpg
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2018/04/17-phuong-trinh-thay-doi-the-gioi.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/04/17-phuong-trinh-thay-doi-the-gioi.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU Tag ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED
NỘI DUNG CAO CẤP NÀY ĐÃ BỊ KHÓA
STEP 1: SHARE THIS ARTICLE TO A SOCIAL NETWORK
BƯỚC 1: CHIA SẺ BÀI VIẾT NÀY LÊN MẠNG XÃ HỘI
STEP 2: CLICK THE LINK ON YOUR SOCIAL NETWORK
BƯỚC 2: BẤM VÀO ĐƯỜNG DẪN TRÊN MẠNG XÃ HỘI CỦA BẠN
Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy Table of Content