$hide=mobile

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Toàn Quốc 2015 (Đại Số)

BẢNG A

  1. Cho $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là các nghiệm của phương trình $x^{3}-2015 x+4=0$. Hãy tìm hạng của ma trận $$A=\left[\begin{array}{lll}\alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right]$$
  2. Ký hiệu $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thức một biến với hệ số thực, $D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ là toán tử đạo hàm $$D(f(x))=f^{\prime}(x), \quad \forall f(x) \in \mathbb{R}[x].$$ Chứng minh rằng không tồn tại một ánh xạ $\mathbb{R}$-tuyến tính $d: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ sao cho $d^{2}=D$.
  3. Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một đa thức $P(x)$ sao cho với mọi $n \in \mathbb{Z}$ ta có $$f(n+1)-f(n)=P(n).$$ Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $Q(x)$ sao cho với mọi $n \in \mathbb{Z}$ ta có $$f(n)=Q(n).$$
  4. Bạch Tuyết chia 3 lít sữa vào cốc của bảy chú lùn. Trước bữa ăn, các chú lùn chơi một trò chơi như sau: Chú lùn thứ nhất chia đều tất cả sữa trong cốc của mình vào cốc của sáu chú lùn còn lại (cốc của chú không còn sữa nữa). Tiếp theo, chú lùn thứ hai cũng chia đều tất cả sữa đang có trong cốc của mình vào cốc của sáu chú còn lại. Các chú lùn khác cũng lần lượt làm như vậy. Sau khi chú lùn thứ bảy chia đều tất cả sữa của mình vào cốc của sáu chú lùn kia, mọi người nhận thấy trong cốc của mỗi chú lượng sũa bằng đúng với lượng sữa ban đầu Bạch Tuyết chia cho. Hỏi ban đầu mỗi chú lùn được chia cho bao nhiêu lít sữa?
  5. Trong một lớp học về Xây dựng Câu lạc bộ, có tất cả $n$ sinh viên, thầy giáo yêu cầu các sinh viên lập một số câu lạc bộ từ các thành viên của lớp theo hai nguyên tắc sau: Mỗi câu lạc bộ có một số lẻ thành viên; Hai câu lạc bộ khác nhau luôn có một số chẵn các thành viên chung. Ta đánh số các sinh viên từ 1 đến $n$ và gọi $C_{1}, \ldots, C_{m}$ là các câu lạc bộ được tạo ra. Kí hiệu $A$ là ma trận với $m$ hàng và $n$ cột được cho bởi $$a_{i j}= \begin{cases}1 & \text { nếu sinh viên } j \text { thuộc câu lạc bộ } C_{i} \text {, } \\ 0 & \text { nếu ngược lại. }\end{cases}.$$ a) Chứng minh rằng ma trận $A A^{t}$ có định thức là một số nguyên lẻ ($A^{t}$ kí hiệu ma trận chuyển vị của $A$).
    b) Chứng minh rằng $m \leq n$, nói cách khác, không thể xây dựng được quá $n$ câu lạc bộ thỏa mān hai nguyên tắc nêu trên.

BẢNG B

  1. Cho ma trận vuông cấp $5$ $$A:=\left[\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] .$$ Tính $A^{2015}$.
  2. Cho $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là các nghiệm của phương trình $x^{3}-2015 x+4=0$. Hãy tìm hạng của ma trận $$A=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right]$$
  3. Ký hiệu $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thức một biến vói hệ số thực, $D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ là toán tử đạo hàm $$D(f(x))=f^{\prime}(x), \quad \forall f(x) \in \mathbb{R}[x] .$$ Chứng minh rằng không tồn tại một ánh xạ $\mathbb{R}$-tuyến tính $d: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ sao cho $d^{2}=D$.
  4. Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ là một ánh xạ thỏa mãn diều kiện: Tồn tại một đa thức $P(x)$ sao cho với mọi $n \in \mathbb{Z}$ ta có $$f(n+1)-f(n)=P(n).$$ Chứng minh rằng tồn tại một đa thức $Q(x)$ sao cho với mọi $n \in \mathbb{Z}$ ta có $$f(n)=Q(n).$$
  5. Giả sử mỗi diểm trong mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu, xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng trong mặt phẳng đó luôn tồn tại một hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu.

Post a Comment


$hide=mobile

$hide=mobile

$hide=mobile

$show=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0$hide=mobile

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,3,Amsterdam,5,Ấn Độ,2,An Giang,24,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,53,Bắc Giang,50,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,48,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,38,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,67,Bến Tre,46,Benelux,14,Bình Định,46,Bình Dương,24,Bình Phước,39,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,6,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,13,Cà Mau,14,Cần Thơ,15,Canada,40,Cao Bằng,7,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,365,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,125,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,619,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,26,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,56,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi,1,Đề Thi HSG,1793,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,51,Đồng Tháp,52,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,17,ELMO,19,EMC,9,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,27,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,30,Hà Nội,234,Hà Tĩnh,73,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,50,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,2,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,101,HSG 11,91,HSG 12,599,HSG 9,425,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,106,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,33,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,26,IMO,56,IMT,1,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,316,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,17,KHTN,55,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,34,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,17,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,43,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,455,Lớp 10 Không Chuyên,229,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,11,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,10,MYM,231,MYTS,4,Nam Định,34,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,52,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,4,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,43,Ninh Thuận,16,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,99,Olympic 10/3,5,Olympic 11,92,Olympic 12,30,Olympic 24/3,7,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,69,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,304,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,29,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,46,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,32,Quảng Ngãi,34,Quảng Ninh,44,Quảng Trị,28,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,13,RMO,24,Romania,37,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,13,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,62,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,7,Thừa Thiên Huế,37,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,127,Trà Vinh,6,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,10,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,14,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,56,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Sinh 10,680,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,67,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,21,Vĩnh Phúc,66,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,47,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,20,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad.NET: [Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Toàn Quốc 2015 (Đại Số)
[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Toàn Quốc 2015 (Đại Số)
MOlympiad.NET
https://www.molympiad.net/2018/03/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-toan-quoc-2015-dai-so.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/03/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-toan-quoc-2015-dai-so.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy