[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Toàn Quốc 2014 (Đại Số)

1. a) Chứng minh rằng $$\det\left(\begin{array}{llll} 1 & a_{1} & a_{1}\left(a_{1}-1\right) & a_{1}\left(a_{1}-1\right)\left(a_{1}-2\right) \\ 1 & a_{2} & a_{2}\left(a_{2}-1\right) & a_{2}\left(a_{2}-1\right)\left(a_{2}-2\right) \\ 1 & a_{3} & a_{3}\left(a_{3}-1\right) & a_{3}\left(a_{3}-1\right)\left(a_{3}-2\right) \\ 1 & a_{4} & a_{4}\left(a_{4}-1\right) & a_{4}\left(a_{4}-1\right)\left(a_{4}-2\right) \end{array}\right)=\prod_{1 \leq i<j \leq 4}\left(a_{j}-a_{i}\right)$$ b) Giả thiết $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ là các số nguyên, chứng minh $\displaystyle\prod_{1 \leq i<j \leq 4}\left(a_{j}-a_{i}\right)$ chia hết cho $12$.
2. Cho các số thực phân biệt $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$. Chứng minh rằng với mọi bộ số thực $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ tồn tại duy nhất một đa thúc $P(x)$ bậc không quá $5$ thỏa mãn $$P\left(a_{i}\right)=P^{\prime}\left(a_{i}\right)=b_{i},\, i=1,2,3,$$ ở đây $P^{\prime}$ ký hiệu đạo hàm của đa thức $P$.
3. a) Ký hiệu $V_{4}$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực bậc không quá $4$. Định nghĩa ánh xạ $e:{V}_{4} \rightarrow{V}_{4}$ như sau: với mỗi đa thức $f \in{V}_{4}$, $\displaystyle e(f):=\sum_{i=0}^{4} \frac{f^{(i)}}{i !},$ trong dó $f^{(i)}$ ký hiệu đạo hàm bậc $i$ của $f$ $\left(f^{(0)}=f\right)$. Chứng minh rằng $e$ là một ánh xạ tuyên tính khả nghich từ $V_{4}$ vào chính nó.
   b) Ký hiệu $V$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực. Với mỗi đa thức $f$, đặt $\displaystyle e(f):=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}}{i !}$. Chứng minh rằng $e$ là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ không gian $V$ vào chính nó.
4. Cho ma trận khối  $X=\left(\begin{array}{l}E_{m} & B \\ C & E_{n}\end{array}\right),$ được tạo thành từ các ma trận đơn vị $E_m$, $E_n$ cấp $m$, $n$ tương ứng và các ma trận $B$, $C$ với kích thưóc $m \times n$ và $n \times m$ tương ứng. Chứng minh rằng $$\det(X)=\det(E_{n}CB)=\det(E_{m}-BC).$$ b) Tổng quát, cho ma trận khối $X=\left(\begin{array}{l}A & B \\ C & D\end{array}\right),$ trong đó $A$, $D$ là các ma trận vuông, $A$ khả nghịch, chứng minh rằng $$\det(X)=\det(A) \det(D-CA^{-1} B).$$
5. Cho $P$ là một đa thức bậc $n$ với hệ số hữu tỷ. Giả sử số thực $a$ là một nghiệm của $P$ vói bội $>n / 2$. Chứng minh rằng $a$ là một số hữu tỷ. 
6. Trên hình vuông $A B C D$ ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh $X$, $Y$ (không nhất thiết phân biệt) là một dãy các đỉnh kề nhau $X X_{1} X_{2} \ldots X_{n-1} Y$: như vậy $$X_{0}=X, X_{1}, \ldots, X_{n-1}, X_{n}=\boldsymbol{Y}$$ là các đỉnh của hình vuông và $X_{i} X_{i+1}$ là cạnh của hình vuông, số $n$ được gọi là độ dài của đường đi. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $x_{n}$, $y_{n}$, $z_{n}$ tương ứng là số các đường đi độ dài $n$ giữa: một đỉnh và chính nó, một đỉnh và một đỉnh cố định kề nó, một đỉnh và đỉnh đối diện (đỉnh đối xứng qua tâm). Ví dụ, $x_{0}=1$, $y_{0}=0$, $z_{0}=0$, $x_{1}=0$, $y_{1}=1$, $z_{1}=0$, $x_{2}=2$, $y_{2}=0$, $z_{2}=2$.
   a) Thiết lập công thức truy hồi cho $x_{n}$, $y_{n}$, $z_{n}$.
   b) Tìm công thúc tổng quát của $x_{n}$, $y_{n}$, $z_{n}$.

DOWNLOAD ĐÁP ÁN