- a) Chứng minh rằng $$\det\left(\begin{array}{llll} 1 & a_{1} & a_{1}\left(a_{1}-1\right) & a_{1}\left(a_{1}-1\right)\left(a_{1}-2\right) \\ 1 & a_{2} & a_{2}\left(a_{2}-1\right) & a_{2}\left(a_{2}-1\right)\left(a_{2}-2\right) \\ 1 & a_{3} & a_{3}\left(a_{3}-1\right) & a_{3}\left(a_{3}-1\right)\left(a_{3}-2\right) \\ 1 & a_{4} & a_{4}\left(a_{4}-1\right) & a_{4}\left(a_{4}-1\right)\left(a_{4}-2\right) \end{array}\right)=\prod_{1 \leq i<j \leq 4}\left(a_{j}-a_{i}\right)$$ b) Giả thiết $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$ là các số nguyên, chứng minh $\displaystyle\prod_{1 \leq i<j \leq 4}\left(a_{j}-a_{i}\right)$ chia hết cho $12$.
- Cho các số thực phân biệt $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$. Chứng minh rằng với mọi bộ số thực $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$ tồn tại duy nhất một đa thúc $P(x)$ bậc không quá $5$ thỏa mãn $$P\left(a_{i}\right)=P^{\prime}\left(a_{i}\right)=b_{i},\, i=1,2,3,$$ ở đây $P^{\prime}$ ký hiệu đạo hàm của đa thức $P$.
- a) Ký hiệu $V_{4}$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực bậc không quá $4$. Định nghĩa ánh xạ $e:{V}_{4} \rightarrow{V}_{4}$ như sau: với mỗi đa thức $f \in{V}_{4}$, $\displaystyle e(f):=\sum_{i=0}^{4} \frac{f^{(i)}}{i !},$ trong dó $f^{(i)}$ ký hiệu đạo hàm bậc $i$ của $f$ $\left(f^{(0)}=f\right)$. Chứng minh rằng $e$ là một ánh xạ tuyên tính khả nghich từ $V_{4}$ vào chính nó.
b) Ký hiệu $V$ là không gian vecto các đa thức với hệ số thực. Với mỗi đa thức $f$, đặt $\displaystyle e(f):=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}}{i !}$. Chứng minh rằng $e$ là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ không gian $V$ vào chính nó. - Cho ma trận khối $X=\left(\begin{array}{l}E_{m} & B \\ C & E_{n}\end{array}\right),$ được tạo thành từ các ma trận đơn vị $E_m$, $E_n$ cấp $m$, $n$ tương ứng và các ma trận $B$, $C$ với kích thưóc $m \times n$ và $n \times m$ tương ứng. Chứng minh rằng $$\det(X)=\det(E_{n}CB)=\det(E_{m}-BC).$$ b) Tổng quát, cho ma trận khối $X=\left(\begin{array}{l}A & B \\ C & D\end{array}\right),$ trong đó $A$, $D$ là các ma trận vuông, $A$ khả nghịch, chứng minh rằng $$\det(X)=\det(A) \det(D-CA^{-1} B).$$
- Cho $P$ là một đa thức bậc $n$ với hệ số hữu tỷ. Giả sử số thực $a$ là một nghiệm của $P$ vói bội $>n / 2$. Chứng minh rằng $a$ là một số hữu tỷ.
- Trên hình vuông $A B C D$ ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh $X$, $Y$ (không nhất thiết phân biệt) là một dãy các đỉnh kề nhau $X X_{1} X_{2} \ldots X_{n-1} Y$: như vậy $$X_{0}=X, X_{1}, \ldots, X_{n-1}, X_{n}=\boldsymbol{Y}$$ là các đỉnh của hình vuông và $X_{i} X_{i+1}$ là cạnh của hình vuông, số $n$ được gọi là độ dài của đường đi. Với mỗi số tự nhiên $n$, gọi $x_{n}$, $y_{n}$, $z_{n}$ tương ứng là số các đường đi độ dài $n$ giữa: một đỉnh và chính nó, một đỉnh và một đỉnh cố định kề nó, một đỉnh và đỉnh đối diện (đỉnh đối xứng qua tâm). Ví dụ, $x_{0}=1$, $y_{0}=0$, $z_{0}=0$, $x_{1}=0$, $y_{1}=1$, $z_{1}=0$, $x_{2}=2$, $y_{2}=0$, $z_{2}=2$.
a) Thiết lập công thức truy hồi cho $x_{n}$, $y_{n}$, $z_{n}$.
b) Tìm công thúc tổng quát của $x_{n}$, $y_{n}$, $z_{n}$.
[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Toàn Quốc 2014 (Đại Số)
Đề Thi HSG
Olympic Sinh Viên
Olympic Toán
MOlympiad.NET là dự án thu thập và phát hành các đề thi tuyển sinh và học sinh giỏi toán. Quý bạn đọc muốn giúp chúng tôi chỉnh sửa đề thi này, xin hãy để lại bình luận facebook (có thể đính kèm hình ảnh) hoặc google (có thể sử dụng $\LaTeX$) bên dưới. BBT rất mong bạn đọc ủng hộ UPLOAD đề thi và đáp án mới hoặc liên hệ Chúng tôi nhận tất cả các định dạng của tài liệu: $\TeX$, PDF, WORD, IMG,... | |