Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 TP Đà Nẵng 2013-2014

1. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R^*} \to \mathbb{R}$ sao cho $$f(x + y) = {x^2}f\left( {\frac{1}{x}} \right) + {y^2}f\left( {\frac{1}{y}} \right),\forall x,y \in \mathbb{R^*}.$$
2. Cho $n$ số nguyên dương $x_1, x_2,...x_n$ đôi một khác nhau ($n \ge 2$). Đặt $A=\{1,2,...,n\}$. Với mội $i \in A$ lấy ${p_i} = \prod\limits_{j \in A\backslash \{ i\} } {({x_i} - {x_j})} $. Chứng minh $\sum\limits_{i \in A} {\frac{{{x_i}^k}}{{{p_i}}}} $ nguyên với mọi $k$ tự nhiên.
3. Cho đường thẳng $d$ và điểm $A$ không nằm trên $d$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $d$ và $K$ là trung điểm của $AH$. Hai đường tròn $(M)$, $(N)$ di động nhưng luôn tiếp xúc với $d$ và tiếp xúc với nhau tại $A$. Chứng minh
   a) Phương tích của $K$ với đường tròn đường kính $MN$ không đổi.
   b) Chứng minh đường tròn đường kính $MN$ luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.
4. Cho bảng kẻ ô vuông kích thước $(2n) \times (2n+1)$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho $k$ thoả mãn điều kiện: ta có thể tô màu $k$ ô vuông đơn vị của bảng sao cho không có hai ô vuông đơn vị nào được tô mà có đỉnh chung.
5. Cho số nguyên tố $p>3$. Gọi $k = \left\lfloor {\frac{{2p}}{3}} \right\rfloor $. Chứng minh \[\sum\limits_{i = 1}^k {C_p^i} \vdots {p^2}\]
6. Cho tam giác $ABC$ và điểm $C'$ nằm trên đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng
   a) Tồn tại duy nhất tam giác $A'B'C'$ đồng dạng với tam giác $ABC$ mà các điểm $A'$ và $B'$ nằm lần lượt trên đường thẳng $BC$ và $AC$.
   b) Trực tâm của tam giác $A'B'C'$ không phụ thuộc vị trí của điểm $C'$ trên đường thẳng $AB$.
7. Cho $(H)$ là một đa giác đều $24$ cạnh. Mỗi đỉnh của $(H)$ sẽ được tô bởi chỉ một trong hai màu xanh và đỏ. Khi đó, nếu $(K)$ là một đa giác đều thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
   
   • Tập đỉnh của $(K)$ là tập con của tập đỉnh của $(H)$.
   • Tất cả các đỉnh của $(K)$ được tô bởi cùng một màu thì ta gọi $(K)$ là một mẫu đơn sắc.
   Hãy tính số cách tô màu các đỉnh của $(H)$ sao cho không có mẫu đơn sắc nào được tạo ra.