$hide=mobile

[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2016 (THPT)

CHỦ ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC MARKOV

Mục tiêu của bài thi này là tìm hiểu một số trường hợp riêng của định lý Markov: nếu \(P(x)\) là một đa thức với hệ số thực và có bậc không vượt quá \(n\) thì  \[\underset{|x|\le 1}{\max}|P'(x)|\le n^2\underset{|x|\le 1}{\max}|P(x)|.\] Chứng minh của định lý Markov vượt quá chương trình toán THPT. Ta sẽ tìm cách chứng minh những trường hợp riêng khi \(n\le 3\) của định lý và khảo sát một số bài toán xung quanh các trường hợp đó. Trong các bài toán dưới đây, biến số \(x\) chỉ nhận giá trị thực.

A. Bất đẳng thức Markov cho đa thức bậc nhất

  1. Giả sử \(a,b\) là hai số thực sao cho \(|ax+b|\le 1\) khi \(|x|\le 1\). Chứng minh rằng
    a) \(|a|\le 1\).
    b) \(|bx+a|\le 1\) khi \(|x|\le 1\).

B. Bất đẳng thức Markov cho các đa thức bậc hai và bậc ba

  1. Giả sử \(a,b,c\) là ba số thực sao cho các giá trị của đa thức \(ax^2+bx+c\) tại \(1,0, -1\) đều thuộc đoạn \([-1,1]\). Chứng minh rằng
    a) \(|2ax+b|\le 4\) khi \(|x|\le 1\).
    b) \(|cx^2+bx+a|\le 2\) khi \(|x|\le 1\).
  2. Giả sử \(a,b,c,d\) là bốn số thực sao cho các giá trị \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) của đa thức \(ax^3+bx^2+cx+d\) tương ứng tại \(-1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\) đều thuộc đoạn \([-1,1]\).
    a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(A, B\), ta có đẳng thức $$|A +B|+|A -B|=2\max\{|A|,|B|\}.$$ b) Bằng cách biểu diễn \(3ax^2 + 2bx+c\) theo \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) và \(x\), hãy chứng minh rằng \(|3ax^2+2bx+c|\le 9\) khi \(|x|\le 1\).
    c) Chứng minh rằng \(|dx^3+cx^2+bx+a|\le 4\) khi \(|x|\le 1\).

C. Hai bất đẳng thức khác cho các tam thức

  1. Cho \(a,b,c\) là ba số thực và \(n\) là một số nguyên dương. Giả sử đa thức \(f(x)=ax^{2n}+bx+c\) có các giá trị tại \(1, 0, -1\) đều thuộc đoạn \([-1, 1]\). Chứng minh rằng
    a) \(|f(x)|\le \dfrac{2n-1}{\sqrt[2n-1]{4^nn^{2n}}}+1\) khi \(|x|\le 1\).
    b) Với mỗi \(1\le M<\infty\), ta có \(|f(x)|\le 2M^{2n}-1\) khi \(1\le |x|\le M\).

CHỦ ĐỀ: ĐỊNH LÝ DIRICHLET

Sự phân bố của số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên, cách xây dựng các số nguyên tố là những bài toán được quan tâm từ rất lâu trong Số học. Dưới đây chúng ta sẽ tìm cách chứng minh trường hợp đặc biệt của một trong những kết quả đẹp nhất của Số học: định lý Dirichlet về sự tồn tại vô hạn số nguyên tố trong một cấp số cộng mà số hạng đầu tiên và công sai nguyên tố cùng nhau.

A. Khái niệm cấp

  1. Cho \(a, n\) là các số nguyên nguyên tố cùng nhau với \(n\geq 2\). Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên dương \(c\) nhỏ nhất với tính chất \(a^c\equiv 1 \pmod n\). Số nguyên \(c\) được gọi là cấp của \(a\) modulo \(n\) và được kí hiệu là \(\textrm{ord}_n(a)\).
  2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\), \(a^k \equiv 1\pmod n\) khi và chỉ khi \(\textrm{ord}_n(a)\mid k\).
  3. Chứng minh rằng \(\textrm{ord}_n(a)\mid \varphi(n)\), trong đó \(\varphi\) kí hiệu hàm số phi của Euler, định nghĩa bởi công thức: \(\varphi(1)=1\) và với \(n>1\), \[\varphi(n)=n \prod_{ p \ \textrm{ là ước nguyên tố của}\ n}\left( 1-\frac{1}{p}\right).\] (Nhắc lại rằng kí hiệu \(x\mid y\) nghĩa là \(x\) là một ước của \(y\).)

B. Sự tồn tại số nguyên tố trong một số cấp số cộng

  1. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng \(4k+3\).
  2. a) Chứng minh rằng ước nguyên tố lẻ của một số có dạng \(n^2+1\) luôn đồng dư với \(1\) modulo \(4\).
    b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng \(4k+1\).
  3. a) Chứng minh rằng ước nguyên tố \(\neq 3\) của số tự nhiên có dạng \(n^2-n+1\) phải đồng dư với \(1\) modulo \(6\).
    b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng \(6k+1\).

C. Sự tồn tại số nguyên tố trong cấp số cộng có dạng \(nk+1\)

Trong các bài tập sau đây, ta cố định một số nguyên \(k\geq 3\). Ta nhắc lại rằng một số nguyên dương được gọi là không có ước chính phương nếu trong phân tích ra thừa số nguyên tố của nó, mỗi số nguyên tố đều xuất hiện với số mũ \(\leq 1\). Như vậy, các số nguyên dương không có ước chính phương đầu tiên là \(1, 2, 3, 5, 6,7,10,11, 13, 14, 15, 17,\ldots\).
  1. Với \(a\) là một số nguyên \(\neq 0\) và \(p\) là một số nguyên tố, ta dùng kí hiệu \(v_p(a)\) để chỉ số mũ đúng của \(p\) trong phân tích của \(a\) ra thừa số nguyên tố, nói cách khác \(p^{v_{p}(a)} \mid a\) nhưng \(p^{v_p(a)+1}\nmid a\). Giả sử \(p\) là một ước nguyên tố của \(k^k-1\). Kí hiệu \(c\) là cấp của \(k\) modulo \(p\). Chứng minh rằng \(v_p(k^{c}-1)= v_p(k^k-1)\).
  2. Kí hiệu \(\mathcal{D}\) là tập tất cả các ước nguyên dương \(d\) của \(k\) sao cho \(d<k\) mà \(\frac{k}{d}\) là một số nguyên không có ước chính phương. Kí hiệu $$\begin{align}\mathcal{D}_1 & =\{ d\in \mathcal{D}\mid \ \textrm{số ước nguyên tố của}\ \frac{k}{d}\ \textrm{là lẻ}\}, \\  \mathcal{D}_2 & =\{ d\in \mathcal{D}\mid \ \textrm{số ước nguyên tố của}\ \frac{k}{d}\ \textrm{là chẵn}\}\end{align}.$$ Đặt \[A= \prod_{d\in \mathcal{D}_1}(k^d-1), \quad B = \prod_{d\in \mathcal{D}_2}(k^d-1).\] (Ta qui ước \(A=1\) nếu \(\mathcal{D}_1=\emptyset\) và tương tự \(B=1\) nếu \(\mathcal{D}_2= \emptyset\).) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố \(p\) mà \(p\mid k^k-1\) nhưng \(p \not \equiv 1 \pmod k\) thì ta có \(v_p(A)=v_p(B)+ v_p(k^k-1)\).
  3. Chứng minh rằng \(k^k-1\) có một ước nguyên tố có dạng \(nk+1\).
  4. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố có dạng \(nk+1\).

Post a Comment


$hide=home

$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=post$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

$hide=home

Kỷ Yếu$cl=violet$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Journals$cl=green$type=three$count=6$sr=random$t=oot$h=1$l=0$meta=hide$rm=hide$sn=0

Name

Ả-rập Xê-út,1,Abel,5,Albania,2,AMM,2,Amsterdam,5,Ấn Độ,1,An Giang,22,Andrew Wiles,1,Anh,2,Áo,1,APMO,19,Ba Đình,2,Ba Lan,1,Bà Rịa Vũng Tàu,52,Bắc Giang,49,Bắc Kạn,1,Bạc Liêu,9,Bắc Ninh,47,Bắc Trung Bộ,7,Bài Toán Hay,5,Balkan,37,Baltic Way,30,BAMO,1,Bất Đẳng Thức,66,Bến Tre,46,Benelux,13,Bình Định,44,Bình Dương,21,Bình Phước,38,Bình Thuận,34,Birch,1,Booklet,11,Bosnia Herzegovina,3,BoxMath,3,Brazil,2,Bùi Đắc Hiên,1,Bùi Thị Thiện Mỹ,1,Bùi Văn Tuyên,1,Bùi Xuân Diệu,1,Bulgaria,5,Buôn Ma Thuột,1,BxMO,12,Cà Mau,13,Cần Thơ,14,Canada,39,Cao Bằng,6,Cao Quang Minh,1,Câu Chuyện Toán Học,36,Caucasus,2,CGMO,10,China,10,Chọn Đội Tuyển,347,Chu Tuấn Anh,1,Chuyên Đề,124,Chuyên Sư Phạm,31,Chuyên Trần Hưng Đạo,3,Collection,8,College Mathematic,1,Concours,1,Cono Sur,1,Contest,610,Correspondence,1,Cosmin Poahata,1,Crux,2,Czech-Polish-Slovak,25,Đà Nẵng,39,Đa Thức,2,Đại Số,20,Đắk Lắk,54,Đắk Nông,7,Đan Phượng,1,Danube,7,Đào Thái Hiệp,1,ĐBSCL,2,Đề Thi HSG,1643,Đề Thi JMO,1,Điện Biên,8,Định Lý,1,Định Lý Beaty,1,Đỗ Hữu Đức Thịnh,1,Do Thái,3,Doãn Quang Tiến,4,Đoàn Quỳnh,1,Đoàn Văn Trung,1,Đống Đa,4,Đồng Nai,49,Đồng Tháp,51,Du Hiền Vinh,1,Đức,1,Duyên Hải Bắc Bộ,25,E-Book,33,EGMO,16,ELMO,19,EMC,8,Epsilon,1,Estonian,5,Euler,1,Evan Chen,1,Fermat,3,Finland,4,Forum Of Geometry,2,Furstenberg,1,G. Polya,3,Gặp Gỡ Toán Học,26,Gauss,1,GDTX,3,Geometry,12,Gia Lai,25,Gia Viễn,2,Giải Tích Hàm,1,Giảng Võ,1,Giới hạn,2,Goldbach,1,Hà Giang,2,Hà Lan,1,Hà Nam,29,Hà Nội,231,Hà Tĩnh,72,Hà Trung Kiên,1,Hải Dương,49,Hải Phòng,42,Hàn Quốc,5,Hậu Giang,4,Hậu Lộc,1,Hilbert,1,Hình Học,33,HKUST,7,Hòa Bình,13,Hoài Nhơn,1,Hoàng Bá Minh,1,Hoàng Minh Quân,1,Hodge,1,Hojoo Lee,2,HOMC,5,HongKong,8,HSG 10,100,HSG 11,87,HSG 12,581,HSG 9,402,HSG Cấp Trường,78,HSG Quốc Gia,99,HSG Quốc Tế,16,Hứa Lâm Phong,1,Hứa Thuần Phỏng,1,Hùng Vương,2,Hưng Yên,32,Hương Sơn,2,Huỳnh Kim Linh,1,Hy Lạp,1,IMC,25,IMO,54,India,45,Inequality,13,InMC,1,International,307,Iran,11,Jakob,1,JBMO,41,Jewish,1,Journal,20,Junior,38,K2pi,1,Kazakhstan,1,Khánh Hòa,16,KHTN,53,Kiên Giang,64,Kim Liên,1,Kon Tum,18,Korea,5,Kvant,2,Kỷ Yếu,42,Lai Châu,4,Lâm Đồng,33,Lạng Sơn,21,Langlands,1,Lào Cai,16,Lê Hải Châu,1,Lê Hải Khôi,1,Lê Hoành Phò,4,Lê Khánh Sỹ,3,Lê Minh Cường,1,Lê Phúc Lữ,1,Lê Phương,1,Lê Quý Đôn,1,Lê Viết Hải,1,Lê Việt Hưng,1,Leibniz,1,Long An,42,Lớp 10,10,Lớp 10 Chuyên,452,Lớp 10 Không Chuyên,230,Lớp 11,1,Lục Ngạn,1,Lượng giác,1,Lương Tài,1,Lưu Giang Nam,2,Lý Thánh Tông,1,Macedonian,1,Malaysia,1,Margulis,2,Mark Levi,1,Mathematical Excalibur,1,Mathematical Reflections,1,Mathematics Magazine,1,Mathematics Today,1,Mathley,1,MathLinks,1,MathProblems Journal,1,Mathscope,8,MathsVN,5,MathVN,1,MEMO,10,Metropolises,4,Mexico,1,MIC,1,Michael Guillen,1,Mochizuki,1,Moldova,1,Moscow,1,Mỹ,9,MYTS,4,Nam Định,32,Nam Phi,1,Nam Trung Bộ,1,National,249,Nesbitt,1,Newton,4,Nghệ An,50,Ngô Bảo Châu,2,Ngô Việt Hải,1,Ngọc Huyền,2,Nguyễn Anh Tuyến,1,Nguyễn Bá Đang,1,Nguyễn Đình Thi,1,Nguyễn Đức Tấn,1,Nguyễn Đức Thắng,1,Nguyễn Duy Khương,1,Nguyễn Duy Tùng,1,Nguyễn Hữu Điển,3,Nguyễn Mình Hà,1,Nguyễn Minh Tuấn,8,Nguyễn Phan Tài Vương,1,Nguyễn Phú Khánh,1,Nguyễn Phúc Tăng,1,Nguyễn Quản Bá Hồng,1,Nguyễn Quang Sơn,1,Nguyễn Tài Chung,5,Nguyễn Tăng Vũ,1,Nguyễn Tất Thu,1,Nguyễn Thúc Vũ Hoàng,1,Nguyễn Trung Tuấn,8,Nguyễn Tuấn Anh,2,Nguyễn Văn Huyện,3,Nguyễn Văn Mậu,25,Nguyễn Văn Nho,1,Nguyễn Văn Quý,2,Nguyễn Văn Thông,1,Nguyễn Việt Anh,1,Nguyễn Vũ Lương,2,Nhật Bản,3,Nhóm $\LaTeX$,4,Nhóm Toán,1,Ninh Bình,41,Ninh Thuận,15,Nội Suy Lagrange,2,Nội Suy Newton,1,Nordic,19,Olympiad Corner,1,Olympiad Preliminary,2,Olympic 10,98,Olympic 10/3,5,Olympic 11,89,Olympic 12,30,Olympic 24/3,6,Olympic 27/4,20,Olympic 30/4,66,Olympic KHTN,6,Olympic Sinh Viên,73,Olympic Tháng 4,12,Olympic Toán,300,Olympic Toán Sơ Cấp,3,PAMO,1,Phạm Đình Đồng,1,Phạm Đức Tài,1,Phạm Huy Hoàng,1,Pham Kim Hung,3,Phạm Quốc Sang,2,Phan Huy Khải,1,Phan Thành Nam,1,Pháp,2,Philippines,8,Phú Thọ,30,Phú Yên,26,Phùng Hồ Hải,1,Phương Trình Hàm,11,Phương Trình Pythagoras,1,Pi,1,Polish,32,Problems,1,PT-HPT,14,PTNK,45,Putnam,25,Quảng Bình,44,Quảng Nam,31,Quảng Ngãi,33,Quảng Ninh,43,Quảng Trị,26,Quỹ Tích,1,Riemann,1,RMM,12,RMO,24,Romania,36,Romanian Mathematical,1,Russia,1,Sách Thường Thức Toán,7,Sách Toán,69,Sách Toán Cao Học,1,Sách Toán THCS,7,Saudi Arabia,7,Scholze,1,Serbia,17,Sharygin,24,Shortlists,56,Simon Singh,1,Singapore,1,Số Học - Tổ Hợp,27,Sóc Trăng,28,Sơn La,11,Spain,8,Star Education,5,Stars of Mathematics,11,Swinnerton-Dyer,1,Talent Search,1,Tăng Hải Tuân,2,Tạp Chí,14,Tập San,6,Tây Ban Nha,1,Tây Ninh,29,Thạch Hà,1,Thái Bình,39,Thái Nguyên,49,Thái Vân,2,Thanh Hóa,57,THCS,2,Thổ Nhĩ Kỳ,5,Thomas J. Mildorf,1,THPT Chuyên Lê Quý Đôn,1,THPTQG,15,THTT,6,Thừa Thiên Huế,35,Tiền Giang,19,Tin Tức Toán Học,1,Titu Andreescu,2,Toán 12,7,Toán Cao Cấp,3,Toán Chuyên,2,Toán Rời Rạc,5,Toán Tuổi Thơ,3,Tôn Ngọc Minh Quân,2,TOT,1,TPHCM,126,Trà Vinh,5,Trắc Nghiệm,1,Trắc Nghiệm Toán,2,Trại Hè,34,Trại Hè Hùng Vương,25,Trại Hè Phương Nam,5,Trần Đăng Phúc,1,Trần Minh Hiền,2,Trần Nam Dũng,9,Trần Phương,1,Trần Quang Hùng,1,Trần Quốc Anh,2,Trần Quốc Luật,1,Trần Quốc Nghĩa,1,Trần Tiến Tự,1,Trịnh Đào Chiến,2,Trung Quốc,12,Trường Đông,19,Trường Hè,7,Trường Thu,1,Trường Xuân,2,TST,55,Tuyên Quang,6,Tuyển Sinh,3,Tuyển Tập,44,Tuymaada,4,Undergraduate,66,USA,44,USAJMO,10,USATST,7,Uzbekistan,1,Vasile Cîrtoaje,4,Vật Lý,1,Viện Toán Học,2,Vietnam,4,Viktor Prasolov,1,VIMF,1,Vinh,27,Vĩnh Long,20,Vĩnh Phúc,63,Virginia Tech,1,VLTT,1,VMEO,4,VMF,12,VMO,46,VNTST,22,Võ Anh Khoa,1,Võ Quốc Bá Cẩn,26,Võ Thành Văn,1,Vojtěch Jarník,6,Vũ Hữu Bình,7,Vương Trung Dũng,1,WFNMC Journal,1,Wiles,1,Yên Bái,17,Yên Định,1,Yên Thành,1,Zhautykov,11,Zhou Yuan Zhe,1,
ltr
item
MOlympiad: [Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2016 (THPT)
[Đáp Án] Đề Thi Olympic Toán Sinh Viên Học Sinh 2016 (THPT)
MOlympiad
https://www.molympiad.net/2018/02/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-toan-quoc-2013-thpt.html
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/
https://www.molympiad.net/2018/02/de-thi-olympic-toan-sinh-vien-toan-quoc-2013-thpt.html
true
2506595080985176441
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS PREMIUM CONTENT IS LOCKED Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy